層狀橫觀各向同性地基性質對剛性條基搖擺振動的影響

艾智勇， 任廣鵬

(1. 同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092； 2. 同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室， 上海 200092)

層狀橫觀各向同性地基性質對剛性條基搖擺振動的影響

艾智勇1，2， 任廣鵬1，2

(1. 同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092； 2. 同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室， 上海 200092)

分析了土體的橫觀各向同性及層狀性質對剛性條形基礎搖擺振動的影響。首先利用解析層元法得出層狀橫觀各向同性地基的總剛度矩陣。再根據剛性條形基礎與地基相互作用的混合邊值條件，建立了一組對偶積分方程，并借助Jacobi正交多項式求解了該對偶積分方程，從而得到地基動力柔度系數。計算結果與已有文獻的結果吻合較好。同時，算例結果表明：土的水平向與豎向彈性模量比的減小、豎向的剪切模量與彈性模量比的增大,以及水平向泊松比與豎向泊松比比值的增大,都將導致地基動力柔度系數增大；而且,層狀地基中上層土的彈性模量的減小使得地基動力柔度系數也增大。

搖擺振動； 層狀地基； 橫觀各向同性； 對偶積分方程

研究地基土和基礎在動力荷載作用下的響應，對地震工程及動力機器基礎等實際問題具有一定的指導意義。LAMB[1]首先研究了均勻彈性半空間體在表面振動荷載作用下的響應；馬曉華等[2]研究了飽和均質地基上條形彈性基礎的搖擺振動問題；胡燦陽等[3]采用錐體模型分析了均質半空間內埋置圓盤平動和轉動時的地基阻抗。考慮到天然土體是由長期自然沉積而形成，且往往呈現出橫觀各向同性的性質。STONELEY[4]研究了橫觀各向同性彈性半空間體內波的傳播問題；KHOJASTEH等[5-6]利用位移勢原理推導出了兩層及多層橫觀各向同性彈性半空間體的三維動力格林函數；AI等[7-8]求出了層狀橫觀各向同性彈性半空間在豎向和水平簡諧荷載作用下的解析層元解。何芳社等[9]等采用Fourier-Bessel級數分析了橫觀各向同性飽和半空間上圓形環板的簡諧振動。

解析層元法的優勢在于數值計算過程中只涉及負指數函數、土體材料參數和土層厚度，這使得計算過程更加穩定有效。故本文運用解析層元法研究橫觀各向同性地基上剛性條形基礎的搖擺振動問題，并通過算例分析了橫觀各向同性參數和成層特性對基礎搖擺振動的影響。

1 平面橫觀各向同性層狀地基解析層元

AI等利用積分變換等方法推導出了單層和多層平面橫觀各向同性地基動力問題的解析層元解，其中變換域中單層地基的解析層元如式(1)，

(1)

變換域中下臥半空間的解析層元如式(2)，

(2)

(3a)

(3b)

對于多層半空間，將式(1)應用于層狀地基的每一層，將式(2)應用于下臥半空間，并結合層間連續性條件和式(3)，則可建立層狀土體的總剛度矩陣：

(4)

式中:Ki為第i層地基的解析層元;Kh為下臥半空間的解析層元。

2 層狀地基與剛性條形基礎共同作用

剛性條形基礎在橫觀各向同性層狀地基表面作搖擺振動，如圖1所示。

假定剛性條形基礎與地基完全光滑接觸，且地基表面土體的剪應力為零。若在條形基礎底部給定位移，則邊界條件為

(5a)

式中:q(x)為接觸應力;基礎寬度為2b;轉角為θ。

圖1 剛性條形基礎與層狀橫觀各向同性地基相互作用

式(5)進行Fourier變換后代入式(4)，可得：

(6)

展開式(6)，可得：

(7)

式中，k*22為剛度矩陣求逆之后第2行第2列的元素。

結合式(5b)、式(5d)和式(7)可得一組對偶方程如下：

(8a)

(8b)

3 對偶積分方程求解

(9a)

(9b)

(10)

式中，an為待定系數， 并有如下關系式：

(11)

結合式(11)，并對式(10)進行Fourier變換得：

(12)

考慮到如下關系式：

(13)

將式(12)代入式(9a)，則得：

(14)

再利用下列關系式：

(15)

將式(15)代入式(14)得：

(16)

(17)

由式(17)求出a0,a1,…,an后，則基底反力的合力為

(18)

根據文獻[11]，定義基底反力的合力：

(19)

則地基的動力柔度系數為

(20)

需要說明的是，為了避免在數值逆變換中出現奇異性，本文人為設置地基的阻尼比為0.01。文獻[7]已證明這種人為增加的小阻尼對計算結果的影響可以忽略，因此本文的理論仍適用于純彈性體。鑒于本文的數值計算在復數域內進行，計算所求的a0為復數值，因此地基的動力柔度系數CV由實部Re[CV]和虛部lm[CV]組成。

4 數值驗證

圖2 與文獻[11]的地基動力柔度系數結果對比

5 橫觀各向同性參數影響

5.1 橫觀各向同性參數n對柔度系數的影響

肖仁成等[12]對9種來自不同國家的橫觀各向同性土層試驗數據進行了總結，故本文橫觀各向同性參數的取值參考了他們的工作。由于大多數地基Eh>Ev，在m=0.4，l=1情況下，分別選取n=1,2,3的情況進行計算，其它條件與驗證算例相同。計算出的地基動力柔度系數如圖3所示，由圖3可以看出：在其它條件相同的情況下，地基動力柔度系數實部和虛部的絕對值，隨著水平向與豎向彈性模量比n的增大而減小。

5.2 橫觀各向同性參數m對柔度系數的影響

在n=1，l=1情況下，分別取m=0.2,0.3,0.4，其它條件與驗證算例相同，分析豎向的剪切模量與彈性模量比m對地基動力柔度系數的影響，計算結果如圖4所示。由圖4可以看出：地基動力柔度系數實部和虛部的絕對值隨著豎向的剪切模量與彈性模量比m的增大而增大，并且動力柔度系數隨無量綱頻率變化的趨勢與圖3相似。

圖3 n對地基動力柔度系數的影響

圖4 m對地基動力柔度系數的影響

5.3 橫觀各向同性參數l對柔度系數的影響

在m=0.4，n=1情況下，分別取l=1,1.5,2，分析水平向泊松比與豎向泊松比的比值l對地基動力柔度系數的影響，計算結果如圖5所示。由圖5可以看出：地基動力柔度系數實部和虛部的絕對值隨著水平向泊松比與豎向泊松比的比值l的增大而增大。

圖5 l對地基動力柔度系數的影響

綜上可見，橫觀各向同性參數對剛性條形基礎的動力柔度系數有較明顯的影響。當基礎搖擺的無量綱頻率較小(b0<0.5)時，動力柔度系數實部受橫觀各向同性參數影響大，虛部受到的影響小；當基礎搖擺的無量綱頻率較大(b0>0.5)時，動力柔度系數實部受到橫觀各向同性參數的影響減弱，虛部受到的影響變大。此外，由式(19)可知，基底反力的合力與動力柔度系數成反比，故基礎搖擺的頻率對合力也會產生一定影響。而且橫觀各向同性參數取不同值時，動力柔度系數隨基礎搖擺的無量綱頻率b0變化的規律相似，即：動力柔度系數實部隨著無量頻率的增加先增大后減小，并在無量綱頻率b0=0.75附近達到峰值；而虛部的絕對值隨著無量頻率的增加而增加。

6 層狀參數影響

三層地基的三種不同工況下的彈性參數取值見表1。其它參數取值為：n1=n2=n3=2，μvh1=μh1=μvh2=μh2=μvh3=μh3=0.25，Gv1=Gv2=Gv3=2 MPa；上兩層地基厚度相等，最下層為半空間。地基動力柔度系數的計算結果見圖6，由圖6可以看出：對比工況1和工況2，土層一彈性模量增大時，基礎動力柔度系數減小；對比工況2和工況3，地基上面兩層土的平均彈性模量相同，而地基動力柔度系數曲線不同，并且工況3的上層土的彈性模量大，而其地基動力柔度系數的絕對值小。綜上，其它條件相同的情況下，上層土的彈性模量對地基的動力柔度系數影響較大；并且上層土的彈性模量越大，地基的動力柔度系數的實部和虛部的絕對值越小。因此，對地基進行動力分析時，有必要考慮地基成層性的影響。

表1 計算工況一覽

圖6 地基成層性對地基動力柔度系數的影響

7 結 論

本文利用層狀橫觀各向同性地基的解析層元解答，并結合剛性條形基礎與地基接觸的混合邊值條件建立對偶積分方程，利用Jacobi正交多項式求解出地基的動力柔度系數。通過與文獻結果的對比，說明了本文理論和數值計算方法的合理性。算例分析表明：土的橫觀各向同性性質和成層性對地基動力柔度系數產生了較大的影響，故在工程實踐中有必要考慮兩者的影響。

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XIAO Rencheng, ZHAO Xihong. Effect of transversely isotropic soil on settlement of buildings[J]. Rock and Soil Mechanics, 2007, 28(10):2133-2137.

Influences of layered transversely isotropy property of soils on rocking vibration of a rigid strip foundation

AI Zhiyong1, 2, REN Guangpeng1, 2

(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Influences of transversely isotropy and layered property of soils on rocking vibration of a rigid strip foundation were analyzed. The total stiffness matrix for the plane transversely isotropic layered soils was obtained by employing the analytical layer-element method. Based on the mixed boundary conditions of the contact problem, a pair of dual integral equations was established. Meanwhile, with the aid of Jacobi orthogonal polynomials, the dynamic compliance coefficients could be obtained. Numerical results were carried out by computer programs. The results agree well with the present theory and existing references. Further numerical examples show that with the decrease of the ratio of horizontal elastic modulus to vertical elastic modulus of soils, the dynamic flexibility coefficient is getting larger. It is also demonstrated that the increase of the ratio of vertical shear modulus to elastic modulus and the increase of the ratio of horizontal Poisson’s ratio to vertical Poisson’s ratio will lead to the increase of the dynamic flexibility coefficient. Moreover, the decrease of the elastic modulus of the upper soil will lead to the increase of the dynamic flexibility coefficient.

rocking vibration; layered soils; transverse isotropy; dual integral equation

2015-10-22 修改稿收到日期：2016-01-25

艾智勇 男，博士，教授，1966年生

TH212； TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.009