非均勻節點情形下的一類三角B樣條曲線

謝宇迪，蔣新昕

(遼寧師范大學 數學學院 ,遼寧 大連116029)

非均勻節點情形下的一類三角B樣條曲線

謝宇迪，蔣新昕

(遼寧師范大學 數學學院 ,遼寧 大連116029)

給出一類在非均勻節點情形下帶參數的三角B樣條基函數，討論了這類基函數的性質以及在重節點情形時的變化,并利用這類基函數構造了相應的三角B樣條曲線，這類曲線具有與二次非均勻B樣條曲線相似的性質。在控制頂點不變的情況下，可以通過改變形狀參數取值來調節曲線的形狀。此外，它還能精確表示圓、橢圓等曲線。

非均勻B樣條；基函數；曲線設計

0 引言

三角樣條曲線在計算機輔助幾何設計中被廣泛地應用[1]，SCHOENBERG I J[2]首次提出三角樣條的概念, 韓旭里教授在三角樣條函數的研究中，提出并討論了分段的二次三角多項式曲線、三次三角多項式曲線及帶有參數的二次三角多項式曲線[3-5]的性質和應用 ；文獻[6]提出了k(k≥2)階的帶形狀參數三角多項式均勻B樣條曲線，可以精確表示圓、橢圓等一些曲線；文獻[7]提出了帶多形狀參數的非均勻三角多項式曲線，它是同類型單形狀參數曲線的推廣。

本文給出了另一類基于四點分段的帶參數非均勻二次三角B樣條曲線，當所有節點等距時，此類曲線即成為文獻[8]中的均勻二階三角B樣條曲線，對于給定控制點，利用參數的不同取值可以局部或整體地控制曲線形狀，而無須通過改變控制點調整曲線的形狀，此外，還給出了該曲線表示橢圓和圓的方法。通過實例表明，所給曲線具有結構簡單、使用靈活的優點，為曲線設計提供了一種有效的方法。

1 帶形狀參數二階三角B樣條基函數

定義1 任給節點u0

bi(u)=

(1)

為第i個帶形狀參數μi,λi+1,μi+2,λi+3的非均勻二階三角B樣條基函數。其中

從式(1)可知基函數具有如下性質：

性質1：當ui0；

性質2：當u0≤u≤ui或ui+4≤u≤un+4時，bi(u)=0；

性質4：在實際應用中有時需要利用重節點技術，與單形狀參數情況類似，當基函數的節點重數k≤4時，這時只要把對應的區間縮小為0，并去掉基函數的相應段即可。例如當ui+3=ui+4時，Δui+3=0，進行如下定義：

bi(u)=

(2)

容易證明重節點時多形狀參數的基函數的連續性有如下定理：

定理1 如果u=uj是基函數bi(u)的k(k=2,3,4;j=i+1,i+2,i+3,i+4)重節點,則基函數的支撐區間從4減少為5-k段，k=2,3時基函數連續，k=4時不連續。

圖1表示重節點時的基函數，這里的節點u=0為三重節點，可知由于參數的取值不同，多形狀參數的二次三角多項式基函數(虛線)呈現不對稱，單形狀參數的基函數(實線)對稱。

圖1 重節點時的基函數

2 基函數的連續性

定理2 設節點向量U={u0,u1,...un+4}滿足u0

由αi，βi的定義可知：

經計算可得：

圖2表示均勻節點下的基函數的圖像。其中實線表示形狀參數λi=μi=1時 ，即單形狀參數的情形；虛線表示均勻節點下多形狀參數的基函數圖像，虛線對應的λi=(0.4,1,1,0.8,0.3,0)，i=1,2,3,4,5 ;μi=(0.5,0.8,0.2,0.4,0,0.1),i=0,1,…4。

圖3表示形狀參數λi、μi對非均勻節點的基函數的影響。其中節點向量為U={0,2,5,6,8,12,13,15,20,27}，實線表示單形狀參數的基函數圖像，虛線表示多形狀參數的基函數圖像，形狀參數的取值與圖2相同。由此可見，多參數對基函數的影響使其左右發生變化，故可作局部調控。

圖2 均勻節點的基函數

圖3 非均勻節點的基函數

3 二次三角B樣條曲線

定義2 任給R2或R3中的控制點p0,p1,...pn，節點向量U=(u0,u1,...,un+4)及形狀參數-1<λi,μi≤1，則：

(3)

稱為多形狀參數的二次非均勻三角B樣條曲線，其中bi(u)由式(1)所定義。 當ui

(4)

由基函數的定義可知，式(4)定義的曲線實際上含有4個形狀參數μi、λi+1、μi-1、λi，利用這些參數可以達到整體及局部可調，以下分兩種情況討論：

(1)當μi=λi=μi-1=λi+1=μ時，即為單參數曲線，αi、βi與形狀參數無關，μ增大時，曲線越靠近線段Pi-2Pi-1，μ起整體調控的作用。圖4的曲線從上到下μ=1、0.5、0。

(2)當λi≠μi-1且μi≠λi+1時，這時αi、βi與形狀參數有關，當λi=-1，μi=-1 時曲線段為直線段Pi-3Pi。圖5中,曲線2的μ1=-0.5,λ2=0.8,μ3=-1,λ4=0.2,可見曲線右端變而左端不變；曲線3的μ1=1,λ2=-1,μ3=1,λ4=0.5，曲線左端變而右端不變；曲線1參數取μ1=0.5,λ2=λ4=0.8,μ3=-1，可見多參數比單參數更具靈活可調控性。

圖4 單形狀參數曲線

圖5 多形狀參數曲線

4 橢圓及整圓的表示

定理3 如果給定4個控制頂點Pi-3(-a,-b)，Pi-2(-a,b)，Pi-1(a,b)，Pi(a,-b)，其中a、b是均不為0的實數，節點等距，且令λi=μi=0，當u∈[ui,ui+1]時，ri(u) 為一段橢圓弧。

證明： 根據式(4)

經計算，有

(5)

這即為橢圓的四分之一參數方程。

推論1 對于二次三角B樣條曲線，如果控制頂點為P0(-a,-b),P1(-a,b),P2(a,-b)，P3(a,-b)，P4(-a,-b)，P5(-a,b)，P6(a,b)，則ri(u) 為一段橢圓。若a=b，則為整圓。圖6為橢圓。

圖6 橢圓

5 實例應用

開區間和閉曲線的構造是曲線設計中的基本內容，為保證生成開的二次三角B樣條曲線，只要令p0=2p1-p2，pn+1=2pn-pn-1，可構造插值于p1和pn且在u1和un處分別以p2-p1和pn-pn-1為切向量的開三角B樣條曲線。圖7表示單形狀參數，λi=μi=0,0.5;圖8表示多形狀參數，實線對應λi=(0.4,0,0,0,-0.5,0,0.8)，i=2,3,...,8，μi=(0.5,0.8,0,2,0.4,0.5,-0.2,0)，i=1,2,...,7。

圖7 單參數下的開曲線

圖8 多參數下的開曲線

圖9 單形狀參數下閉曲線

圖10 多形狀參數下閉曲線

6 結論

本文給出了在非均勻節點情形下多參數的一類二階三角B-樣條曲線，該曲線是基于四點分段，即曲線每一段只與4個控制點有關。同時它也具有二次B樣條曲線的許多重要性質，如連續性、凸包性、幾何不變性等。并且通過參數的取值不同可以達到整體或局部形狀調控，應用重節點的技巧可以生成以此類基函數構造的開曲線和閉曲線。此外，它還可以表示橢圓及圓等圓錐曲線。

[1] 李成剛,馮靜,凌玲.基于WPF交互式繪圖系統的開發[J].微型機與應用,2011,30(6):50-52.

[2] SCHOENBERG I J. On trigonometric spline interpolation[J].J.Math.M.,1964,13(5):795-825.

[3] Han Xuli. Piecewise quadratic trigonometric polynomial curves[J].Mathematics of Computation, 2003,72(243):1369-1377.

[4] Han Xuli. Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter[J].Computer Aided Geometric Design,2004,21(6):535-548.

[5] 吳曉勤,韓旭里.帶參數的二次三角多項式樣條曲線[J].工程圖學學報，2006,27(1)：93-97.

[6] 王文濤,汪國昭.帶形狀參數的三角多項式均勻B樣條[J].計算機學報，2005,28(7)：1192-1198.

[7] 謝進，鄔弘毅，鄧四清，等.多形狀參數的二次非均勻三角多項式曲線[J].工程圖學報，2007,28(5)：291-295.

[8] 王晶昕,王迪.均勻結點情形下的兩類二階三角B樣條曲線[J].遼寧師范大學學報：自然科學版，2014,37(3):297-303.

Littelfuse雙向瞬態抑制二極管陣列保護高速接口免受ESD侵害——適合保護HDMI、USB2.0、USB3.0和eSATA等高速接口

中國，北京，2017年3月28日訊——Littelfuse公司作為全球電路保護領域的領先企業，今日宣布推出了一個旨在保護電子設備免受破壞性靜電放電(ESD)損壞的瞬態抑制二極管陣列(SPA?二極管)系列產品。 SP3042系列雙向分立型瞬態抑制二極管陣列包括采用硅雪崩技術制造的反向瞬態抑制二極管，它可安全吸收IEC 61000-4-2國際標準(±30 kV接觸放電)所規定最高值的反復性ESD震擊，而不會造成性能減退。 當空間利用率極高的01005封裝存在交流信號時，反向配置可為數據線提供對稱ESD保護。 該系列產品的低負載電容(VR=0 V條件下為0.35 pF，典型值)使其成為保護HDMI2.0、USB2.0、USB3.0和eSATA等高速接口的理想選擇。

SP3042系列瞬態抑制二極管具備下列關鍵優勢：

?雙向設計可確保在印刷電路板(PCB)上放置零件時實現組裝靈活性。

?可在整個工作電壓范圍內提供線性頻率響應性能，這是高速接口保護的一個重要考慮因素。

?低動態電阻(僅為0.5 Ω)使其能對ESD事件作出快速響應。

?為電壓高達30 kV和浪涌電流高達2 A(8/20 μs)的高速接口提供全面的ESD保護。

(Littelfuse公司 供稿)

A type of trigonometric B-spline curves in non-uniform knot area

Xie Yudi，Jiang Xinxin

(School of Mathematics， Liaoning Normal University, Dalian 116029,China)

The basis function of non-uniform trigonometric B-spline with shape parameter is constructed and its properties and variation of basis function at the multiple points are discussed.Based on the basis function,a trigonometric B-spline curve is defined.This curve possesses properties similar to those of quadratic non-uniform B-spline. By changing values of the shape parameters,it can adjust the curve shape without changing the control points.Besides, the circle and ellipse can be represented with the basis function accurately.

non-uniform B-spline;basis function;curve design

TP391

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.07.014

謝宇迪，蔣新昕.非均勻節點情形下的一類三角B樣條曲線[J].微型機與應用，2017,36(7)：46-49.

2016-12-14)

謝宇迪(1993-)，通信作者,女，碩士研究生，主要研究方向：計算機輔助幾何設計。E-mail:897233076@qq.com。

蔣新昕(1993-)，女，碩士研究生，主要研究方向：計算機輔助幾何設計。