基于二次函數圖像的若干問題探究

何東泉

（江門市江海區禮樂中學 廣東江門 529000）

摘 要：二次函數自身具有較強的圖形屬性，函數圖像性質清晰，因此可以作為一種圖形工具，用以求解一些其他章節以及考點中的題目。本文將基于數形結合的思想，淺析二次函數圖像如何用于求解一元二次方程、一元二次不等式以及恒成立問題。

關鍵詞：二次函數 數形結合 函數圖像

引言

從自身來看，二次函數屬于高中數學的一個基礎板塊和常見考點，主要考題包括解析式的確立、值域范圍的求解、導數的應用、圖像平移[1]等。

除了單獨作為高中數學的考點外，二次函數還能夠延伸到其他的問題之中，在不等式、方程等章節中應用頻繁。數形結合[2]的思想指的是：“數”和“形”往往是分不開的，有時抽象的代數問題可能會具有直觀、易懂的幾何含義，此時借用簡單的圖像去求解數量上的關系，能夠達到事半功倍的效果。二次函數的圖像是拋物線，具有一些特殊的、明晰的幾何性質，因此也可以用二次函數圖像的“形”求解一些復雜的代數問題，比如一元二次方程根的求解、恒成立問題等。本文將主要結合數形結合的思想，分析如何使用二次函數的圖像性質求解一些常見的相關題目。

一、二次函數與一元二次方程、不等式

1.一元二次方程與不等式的解法

在求解一元二次方程和一元二次不等式的相關問題時，可以借助二次函數的圖像進行求解：一元二次方程的根其實就是二次函數的圖像和e軸的交點；一元二次不等式的求解則可以根據二次函數圖像的遞增、遞減的性質，得出題目所要求的滿足條件的未知數集合。由此，二次函數與這兩種題型建立了聯系，是重要的解題工具。

在解這類問題時，考生必須要根據數形結合的思想，建立起三者之間的聯系，既要充分利用圖像的性質，也要靈活變通或進行轉換，具體來看可以使用一道基礎的題型來說明這類問題的解法，例題：求滿足不等式x2-5x+2<26的解的集合。解題步驟如下所示。

2.一元二次方程求根問題的拓展

首先給出一道相關的例題：已知關于x的方程x2+mx-4=x有兩個根，分別記做x1與x2，如果x1與x2的絕對值均大于1，求參數m的取值范圍。

一般情況下，處理這些題目的基礎步驟是先要根據二次函數的解析式在直角坐標系中描繪出相應的函數圖像：二次函數常用的表示方法是y=ax2+bx+c且a不為0，根據a的正負可以確定圖像的開口方向，由“左同右異”的口訣可以根據a和b確定圖像對稱軸的位置，常數項系數c的符號可以給出圖像與y軸交點的位置，匯總來看，需要確定二次函數的對稱軸、頂點坐標、遞增區間與遞減區間、與坐標軸（x軸、y軸）交點的情況。在此基礎之上，很多代數難題就變得更加直觀、易懂，能夠利用圖形屬性得以迎刃而解。

在上述例題中，解題步驟如上所示。

3.二次函數與恒成立問題

二次函數的圖像與不等式、方程之間的關系可以拓展出許多課題，恒成立問題便是典型的代表。恒成立問題[3]指的是：不等式或等式無論變量取何值時都能夠成立，在此條件下求解參數的取值范圍。

二次函數在恒成立題目中的應用主要有兩類題型，一類是在全部實數域上的恒成立，此時做法比較簡單，若ax2+bx+c大于0恒成立，則根據圖像性質可知，拋物線開口向上且與橫軸無交點，即a大于0且判別式b2-4ac小于0；另一類問題是在某一區間內的恒成立，此類題目就要具體問題具體分析，更加需要在“數”與“形”之間進行轉換，也更能檢驗學生靈活運用數學工具的能力和理解數學涵義的深入程度。這類問題雖難，但是本質上依然是建立起不等式與函數圖像之間的關聯，比如當m≤x≤n時x2+bx+c大于0恒成立，可由此可以繪制如下三種情況的圖像，則對應的三個條件分別是：①-b/20，②m≤-b/2≤n且b2-4c<0，③-b/2>n且f（n）>0，三個條件解集的并集即為最終答案。

結語

根據近年來的高考經驗，將二次函數作為解題工具的考題越來越多，且題型多變、綜合性強，這就要求教師在平時要注重培養學生們觀察與分析的能力，學生們也要融會貫通，深入理解二次函數圖像與這類題目的內在聯系，難題便可迎刃而解。

參考文獻

[1]黃興豐， 湯炳興， 龔玲梅，等. 經驗教師數學課堂教學策略的個案研究——以九年級“二次函數圖像平移”的教學為例[J]. 數學教育學報， 2012（1）：44-49.

[2]劉希棟. 數形結合“惑”然開朗——對一個困惑“補救措施”的剖析[J]. 數學通報， 2016， 55（8）：52-54.

[3]章榮學. 含參不等式恒成立問題的解法[J]. 讀寫算：教師版， 2015（1）：88-89.