基于噪聲白化的高光譜數據子空間維數算法

陳潔， 杜磊， 李京， 韓亞超， 高子弘

(1.中國國土資源航空物探遙感中心，北京 100083； 2.中國科學院遙感與數字地球研究所，北京 100101)

基于噪聲白化的高光譜數據子空間維數算法

陳潔1,2， 杜磊1， 李京1， 韓亞超1， 高子弘1

(1.中國國土資源航空物探遙感中心，北京 100083； 2.中國科學院遙感與數字地球研究所，北京 100101)

高光譜影像數據的相鄰波段間相關性較強，信號與噪聲共存，根據最小二乘原理，使觀測數據與噪聲的投影誤差之和最小化的HySime (hyperspectral signal identification by minimum error)算法，通過數據觀測值減去噪聲估計值后得到信號的估計值，進而可以計算信號相關矩陣的估計值。該算法在準確估計噪聲的情況下是可行的，但實際上經光譜降維去相關后得到的各像元噪聲估計值往往并不準確，因此，原始的HySime算法得到的結果可能并不理想。提出一種基于噪聲白化的HySime改進算法，它不必進行逐像元的噪聲去除，而是先對原始數據進行噪聲白化處理，然后準確獲取噪聲的協方差矩陣估計值，再利用HySime算法進行信號相關矩陣計算，實現了提高算法精度的目的。通過模擬和實驗數據的驗證，改進的算法結果更準確穩定，與經典的NSP (noise subspace projection)算法在不同情況下所得結果有很好的一致性，通過引入噪聲白化的過程，提高了算法對非白噪聲的適應性。

高光譜降維; HySime; 噪聲白化; 信號相關矩陣

0 引言

以小于20 nm光譜分辨率進行數據采集的高光譜數據的相鄰波段間通常具有較強的相關性，它們的DN值以及顯示出來的視覺效果往往很相似。若把高光譜圖像表達成一個矩陣，矩陣的每一列代表其對應波段的光譜響應數據值，可以通過對該矩陣進行一系列運算，使得變化后的矩陣前若干列波段數據就可以表示原圖像的大部分信息，而后幾列的數據則主要以噪聲為主。通過這樣的方法可以用低維數的數據代表高維數據，減小了數據處理量的同時，也抑制了噪聲的影響。數據降維結果的好壞將直接影響到下一步端元提取算法的最終效果，在數據降維的過程中，如何選擇合適的去相關方法和怎樣準確確定所需低維數據的維數，是2個重要的關鍵步驟。

經過多年的研究，高光譜數據在去相關方面已有相對成熟和穩定的方法，并已得到廣泛應用。去相關變換，就是去除高光譜數據波段間相關性的變換，即變換后數據波段處于不同的維度空間，代表數據的矩陣列相互正交。主成分變換(principal components analysis, PCA)和最小噪聲分離(minimumnoise fractions, MNF)是當今使用最頻繁的兩種去相關算法。PCA變換就是通過一種基于K-L的線性變化，它將原始圖像矩陣中的變量變成一組不相關的隨機變量，并按照協方大小順序排列，組成新的圖像矩陣。一般情況下該矩陣第一個主成分含有所有波段中80%的方差信息。但PCA變換對噪聲比較敏感，即信息量大的主成分分量，信噪比不一定高，當某個信息量大的主成分中包含的噪聲的方差大于信號的方差時，該主成分分量形成的圖像質量就差。因此，Andrew等[1]提出了MNF變換，該方法本質上是兩次PCA的重疊運算，變換后的數據向量相互正交，第一分量集中了主要的信息，與PCA變化不同的是向量按照信噪比大小排列，從而克服了噪聲對影像質量的影響。隨后，James等[2]提出了NAPC變換方法(noise-adjusted principal component, NAPC)，一般認為MNF和NAPC算法等價，稱呼起來也一般將兩者等同[3]。實際應用中，往往按照NAPC方法的思路來實現。

但數據維數的確定方法還處在研究階段。PCA和MNF變換方法，在變換之后都有同一個問題需要解決，即“選取多少個主分量”，換句話說，就是低維數據究竟選多少維來代表高維數據才合適。實際應用中需要研究者根據個人經驗進行選擇，這使得維數的確定有很強的主觀性和盲目性，而維數選取的正確與否，將直接影響后續處理的精度和數據分析，因此，選用適當的準則和方法確定最優的維數，對接下來的數據處理和分析有著重要意義。基于上述考慮，本文分析和梳理了常用的噪聲白化處理方式和子空間維數確定方法，提出了一種以噪聲白化為基礎的高光譜數據子空間維數計算方法，然后利用該算法對模擬和實際數據進行維數計算，最后通過與不同的算法的對比來檢驗其穩定性和準確性。

1 噪聲估算與白化

在各種因素的影響下，獲取影像信息的同時不可避免地采集了噪聲，而圖像噪聲的影響是不容忽視的，為此在對影像質量進行評估、解譯、分析和應用之前，都需要進行噪聲估算。目前，遙感影像噪聲估計主要有3種方法： 試驗室法、暗電流法和圖像法。試驗室法和暗電流法都需要對圖像有一定的先驗知識，需要一系列復雜的精確測量，在實際應用中實現較難； 圖像法則利用遙感影像直接進行分析來估算噪聲，因此該方法被廣泛應用于圖像的噪聲估算[4]。針對高光譜影像，基于圖像法進行噪聲估算，主要利用了高光譜圖像的相同類別和性質像元的空間域相關性和高光譜數據波段間的波段域相關性。

1.1 噪聲估算

通過上述分析可知，高光譜數據相鄰波段間往往具有很強的相關性，噪聲估算的基本思想就以此為基礎： 多元線性回歸算法的運用一方面可以消除波段間的相關性，另一方面可以將計算得到的波段殘差作為噪聲的估計。目前常用的方法有Roger提出的全圖光譜維去相關法[5]，即對整個圖像進行逐像元的噪聲估計，計算噪聲協方差矩陣并予以去除，認為其結果即為信號真實值。和Roger及Arnold提出的空間、光譜維去相關法(spectral and spatial decorrelation method, SSDC)[6]類似，SSDC方法同樣是在進行信號去相關處理的同時，計算信號殘差值，并以此作為噪聲估計進行去除，其優勢在于它利用高光譜圖像像元在相鄰空間域和光譜域的相關性，受地物覆蓋類型影響小，自動化程度高，無需人工干預，是目前較穩定的高光譜圖像噪聲評估方法之一[7]。SSDC方法實現步驟如下[8]： ①首先需要對整個高光譜圖像數據進行分塊處理。數據分塊要求數據塊連續、均勻且相互不重疊。理論上分塊越小則均一性越高、數據越獨立，但為了使分塊數據的回歸分析結果具有一定的統計意義，數據塊的大小一般推薦為15行×15列； ②求取對各數據塊進行多元線性回歸運算的回歸參數，并計算噪聲方差； ③針對高光譜影像的任一波段，取所有均勻子塊方差的均值作為該波段圖像的噪聲方差的最優估計。實際應用中，由于分塊得到的子塊并不總是均勻的，因此可以只選取其中合理的子集進行方差檢驗。子集的選取可以通過對方差進行排序，然后前后各去掉15%來實現。

1.2 噪聲白化

噪聲白化是指對噪聲數據進行去相關，且噪聲協方差被單位化的過程。若a為m×1維隨機向量序列(均值=0)，則其協方差矩陣可表示為一個m×m維的矩陣Ca，如果該協方差矩陣Ca非奇異，且不為單位矩陣，則稱隨機向量a為有色(或非白)隨機向量。令協方差矩陣特征值分解為

Ca=VDVT,

(1)

且

(2)

記變換

(3)

則b的協方差矩陣為單位矩陣I，即隨機向量b是標準白色隨機向量，換言之，有色的隨機向量a經過線性變換Wa后，變成了白色隨機向量。一般將線性變換矩陣W稱為隨機向量a的白化矩陣。

通過研究發現，對于某一隨機變量，能使其進行白化的變換矩陣并不是唯一存在的[9]，例如上述分析的W矩陣和通常MNF變換中使用的白化矩陣

(4)

都可以達到使a白化的效果。進一步的研究顯示，當采用不同的白化矩陣，所得的白化結果b并不一樣，以變換矩陣W和FT為例進行如下實驗說明：

通過以上實驗和結果可知，雖然變換矩陣W和FT都可以使隨機變量a“白化”，但白化矩陣W的變換結果并不改變變量a原有的分布特征，而白化矩陣FT則不論變量a原有的分布特征如何，變化后均呈高斯分布。在對高光譜數據進行處理時，通常會假設高光譜信號數據與噪聲之間不相關，即噪聲協方差矩陣為對角陣，因此當對高光譜觀測數據進行白化時，建議采用噪聲FT作為其白化矩陣。

2 HySime算法

José M. Bioucas-Dias(2008)[10]根據最小二乘原理，提出了HySime (hyperspectral signal identification by minimum error)算法。HySime是一種估算高光譜數據子空間維數的方法，該方法首先估計信號與噪聲相關矩陣，然后選擇以最小均方誤差形式最優地表達信號子空間的特征向量子集。

(5)

特征值分解為

(6)

式中

E=[e1,…,eL]

(7)

所張成的L維空間可以分解為2個互相正交的子空間〈Ek〉和〈Ek〉⊥，對應的特征向量分別記為

Ek=?ei1,…,eik」,

(8)

(9)

用于記錄特征向量的排列順序L，即

L={i1,i2,…,iL}。

(10)

若子空間〈Ek〉上的投影矩陣記為

(11)

則y在〈Ek〉上的投影為

(12)

(13)

式中： 第一項表示投影誤差能量，隨著k的增大，該項減小； 第二項表示噪聲能量，隨著k的增大，該項增大。

由于公式(11)和

(14)

將式(13)進一步表示為

(15)

(16)

由此，式(15)等號右側最小值的求取，只需找出δi的所有負值即可，這樣對應的(k,L)即為所求的值。

José M. Bioucas-Dias在介紹HySime算法時，將端元數目估算過程與信號子空間的確定聯系起來，通過該算法確定的子空間能最近似地表達原始數據信息，所以該子空間的維數等價于需要估算的端元數目。

3 算法改進

分析式(15)和式(16)可知，Hysime算法中，噪聲相關矩陣的估算和信號相關矩陣的估算是非常重要的2個步驟，它們所對應的特征向量值計算也直接影響著最終的結果。在原始的Hysime算法中，噪聲估算采用的是逐像元的進行噪聲估計的全圖光譜維去相關法，得到每個像元的噪聲估計值后，用原始數據觀測值減去噪聲估計值后得到近似真實信號的估計值，進而可以計算信號相關矩陣的估計值。也就是說，原始HySime算法中處理噪聲采取的策略是“去除”[11]，該方法對于準確估計圖像噪聲的情況下是可行的，但實際應用中，要對整幅圖像的每個像元噪聲值都進行精準估計的計算量和難度很大，而且往往不太可能真正實現，因此，利用原始HySime算法進行噪聲估計和去除的結果精度可能并不理想。

(17)

通過上式得解算可知，當噪聲為白噪聲，不論噪聲大小如何變化，HySime算法所求得的特征向量保持不變，即特征向量所確定的子空間不隨噪聲的變化而變化。由此可見，若某一觀測數據的噪聲為有色噪聲時，可以首先對其噪聲進行白化變換，然后再利用HySime算法對數據進行噪聲估計，從而消除該算法對噪聲變化的影響，提高對噪聲變化的適應能力。

(18)

對數據進行噪聲白化，將白化后的觀測數據記為yw，并將yw作為原始Hysime算法的輸入數據，此時噪聲為白噪聲，所以其協方差矩陣為單位矩陣，即

(19)

觀測數據相關矩陣記為Ryw，則信號相關矩陣為觀測數據減去噪聲數據，即

(20)

(21)

故式(15)可表示為

(22)

即噪聲白化之后，(2-pij)的所有負值對應的(k,L)即為所求的子空間維數。

4 驗證與分析

4.1 模擬數據實驗

模擬數據是在已知的信號數據中人工添加噪聲構成的。信號數據由若干端元波譜乘以各自對應的豐度得到，其中端元波譜從美國地質調查局(United States Geological Survey,USGS)光譜庫中隨機選擇，并將光譜曲線參照AVIRIS的響應函數和中心波長重采樣到224個波段； 豐度數據按照Dirichlet分布隨機生成。選擇Dirichlet分布的原因在于，它可以保證各端元的豐度值為非負且所有的豐度值相加和為1，而且通過改變Dirichlet分布的參數，可以方便地改變各端元的分布形狀，使得模擬數據的生成有很強的靈活性[13]。在獲得信號數據之后，可以根據實驗分析的需要加入一定量的噪聲值以得到特定的信噪比數據。另外，為模擬真實的高光譜數據中不存在只含有某一種端元的純像元情況，可通過設置最大豐度閾值ρ來控制像元“純度”，即在得到服從Dirichlet分布的豐度樣本后，根據需要對所得候選樣本進行篩選。

模擬數據實驗的目的主要有2個方面，一是對比不同情況下改進算法與原算法的計算結果，二是以NSP(noise subspace projection)算法[14]作為參考，評價改進算法的優劣。NSP方法只利用樣本協方差矩陣或者相關矩陣的特征值估計端元數目，并且在樣本數據量較少和缺少先驗知識的情況下，仍能較好地進行端元估算，具有較好的穩定性和實用性。

實驗策略如下： 分別取5,10,15,20為不同的端元數p，端元豐度滿足Dirichlet分布，構成信號數據，對以上4種信號數據分別加入一定量的噪音，使它們的信噪比SNR分別為15 dB，25 dB和35 dB，加入的噪聲又分為白噪聲和有色噪聲，豐度閾值ρ取1，上述每種組合都生成100組模擬數據，利用原始Hysime算法、改進的Hysime算法和NSP算法對上述數據進行測試。由于人工加入的噪聲信號相對簡單，所以噪聲估算方法采用逐像元估算的全圖光譜維去相關法。這里將虛警概率取值為10e-3和10e-4的NSP算法記為NSP_10e-3和NSP_10e-4。針對每種參數組合下的100組模擬數據進行信號子空間估計，將計算結果的均值和標準差作為評價指標。將各種算法最接近端元真實值的均值，和最小的標準差用粗體字體標出，若這兩個評價標準同時出現在同一個算法中，則表明該算法結果較其他算法更準確和穩定。所得結果如表1所示。

表1 不同參數條件下不同算法所得結果的均值和方差比較

通過表1的分析，可得出： ①在大多數情況下，改進的HySime和NSP算法估算的子空間維數更接近真實端元數目，不同情況下該算法的穩定性也較高； ②當噪聲為白噪聲時，改進的HySime與原始的HySime算法在不同參數條件下還具有一定程度的一致性，但噪聲為有色噪聲時，改進的算法在端元估計的準確性和穩定性上都要明顯優于原算法; ③改進的Hysime與NSP算法在不同參數條件下對端元的估算結果基本一致，這是因為兩算法在確定最優子空間之前，都對原始數據的噪聲進行了白化處理; ④白噪聲情況下，隨著信噪比的增加，各算法對信號子空間維數估計的精度也隨著提高。因為信噪比越高，信號對噪聲的抑制能力越好，噪聲對算法的影響也越小，這也從一個側面說明了噪聲估算和去除的重要性; ⑤在低信噪比條件下，噪聲為有色噪聲時Hysime_White與NSP算法所得結果與真實值吻合更好。因為當噪聲趨向于單波段噪聲時，噪聲主要存在于圖像的少數幾個波段，此時噪聲更容易與信號分離，因而估計的信號子空間也更準確。

4.2 真實數據實驗

實驗數據1997年6月采集的Nevada州Cuprite采礦區AVIRIS數據。該數據的DN值代表反射率，它含有400 nm至2 500 nm 的224個波段，輻射分辨率10 nm，空間分辨率20 m。通過初步分析，去掉了由于水汽吸收和信噪比較低的波段，僅使用余下的192個波段。

圖1為USGS發布的利用AVIRIS數據對Cuprite礦區的礦物填圖結果。

圖1 Cuprite采礦區典型礦物分布圖(來源USGS網站)

Cuprite采礦區有詳細的地面調查數據及背景資料。Gregg Swayze 等[15-16]利用1990年AVIRIS獲取的數據，從中確定了18種礦物類型，并通過對實地采樣樣本的X射線衍射礦物類別分析，驗證了分析結果; 利用1995年AVIRIS獲取的數據，分析了25種礦物的分布情況，并對23種礦物進行了礦物填圖。

從上述已有研究的結果中可以總結出，對Cuprite采礦區進行“維數估算”所得結果大致在18～30之間[14-15]。本文使用與模擬數據相同的四種算法，即HySime、改進HySime、虛警概率值分別為10e-3和10e-4的NSP算法對該實驗區域進行最優子空間估算，其中噪聲估算分別采用全圖光譜維去相關法和SSDC方法進行，所得結果如表2所示。

表2 Cuprite采礦區域維數估算結果

表2中的維數估算結果為26和27，與前人所估計的18-30維[14-15]有較好的一致性。同時也略大于18種和25種端元的結果，這是由于地物混合中非線性因素的影響、未知地物類型的存在以及光譜變異，得出的光譜維數估計值往往會大于實際的端元數[17]。

為了對本次維數估算結果的有效性進行評估，對Cuprite采礦區高光譜圖像采用MNF變換，選擇其結果的不同波段組合進行純像元指數(pure pixel index,PPI)計算，投影的迭代次數設置為20 000，閾值系數設置為2，在結果中統計PPI>1的像元數，結果如下表3所示：

表3 不同參數下的PPI計算結果

PPI越大說明擁有的純像元可能性越大，光譜空間維的可分性越強。表中的數據說明，當波段數為26和30時，像元數目比較接近。通過查看MNF變化后的第40分量影像，其所含有的原影像信息已十分有限，主要體現為噪聲。因此可以推斷，經MNF變換后的影像主要信息大多集中在前40個波段中，隨著波段數的增加，其所含有的噪聲也隨之增多，而此時選取前26和30個波段進行PPI的計算所得像元數目比較接近，說明前26和前30個波段子集已經可以對原始高光譜影像信息進行較完整地表達，兩個波段數下所得的像元數接近，兩者具有較好的一致性。而波段數為10和20時，像元數較少，表明此時選擇的波段子集過小，導致原影像信息表達得不完全。40波段之后主要為噪聲信息，40和50波段數時像元數的增多可能是受噪聲數據的影響。

為了進一步驗證上述分析，選取上述6種情況下所得像元集合的交集，共得到475個像元。表明這475個像元在6種情況下都被標記為純像元，它們受噪聲影響較小，代表了最有可能成為端元的像元，記這一集合為Φ。光譜角表征的是未知光譜的響應曲線構成的N維空間矢量，與已知類別的光譜響應曲線構成的N維空間矢量之間的廣義夾角，夾角越小說明越相似。因此，可以通過計算光譜角來分析上述6種情況中除去交集的475個像元，剩余的像元相對于集合Φ的“獨立性”，光譜夾角越大，表明像元越“獨立”于集合Φ，像元屬于純凈像元的可能性越高。上述6種情況下計算所得的光譜夾角的最大值中，波段數為10時夾角最大值最小，為2.756°； 波段數為50時夾角最大值最大，為4.188°，而波段數為26和30時，夾角最大值基本一致，為4.114°，且與其他波段數的夾角最大值有明顯區別。這表明維數估算方法得到的信號子空間能很好地表達信息，也表明估算得到的維數應用于數據分析是有效的。

5 結論

1)改進的HySime維數估算算法，不需要逐像元地進行噪聲估算，一方面減少了計算量、提高了解算效率； 另一方面，消除了因噪聲估算不準確帶來的誤差效果，提高了結果精度。

2)改進的HySime維數估算算法不依賴于噪聲均值為零的假設條件，使原算法有了進一步的普適性，針對白化和有色噪聲數據，都能獲得接近真實維數值得結果。

3) 噪聲估計在實際的高光譜數據處理和分析中占有重要作用，不論噪聲為白色或有色的，對它的準確估計和消除，都會顯著提高高光譜數據的解譯精度。

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(責任編輯： 邢宇)

Hyperspectral data subspace dimension algorithm based on noise whitening

CHEN Jie1,2, DU Lei1, LI Jing1， HAN Yachao1, GAO Zihong1

(1.ChinaAeroGeophysicalSurveyandRemoteSensingCenterforLandandResources,Beijing100083,China; 2.InstituteofRemoteSensingandDigitalEarth,ChineseAcademyofSciences,Beijing100101,China)

The correlation between adjacent bands of hyperspectral image data is relatively strong. However, signal coexists with noise. The HySime (hyperspectral signal identification by minimum error) algorithm which is based on the principle of least squares is designed to calculate the estimated noise value and the estimated signal correlation matrix value. The algorithm is effective with accurate noise value but ineffective with estimated noise value obtained from spectral dimension reduction and decorrelation process. This paper proposes an improved HySime algorithm based on noise whitening process. Instead of removing noise pixel by pixel, the algorithm carries out the noise whitening process on the original data first, obtains the noise covariance matrix estimated value accurately, and uses the HySime algorithm to calculate the signal correlation matrix value so as to improve the precision of the resultant value. Simulation and experiment have reached some conclusions: Firstly, the improved HySime algorithm is more accurate and stable than the original HySime algorithm; Secondly, the improved HySime algorithm results have better consistency under different conditions compared with the classic NSP (noise subspace the projection) algorithm; Finally, the improved HySime algorithm improves the adaptability of non-white data noise with the noise whitening process.

Hyperspectral dimension reduction； HySime； noise whitening； signal correlation matrix

10.6046/gtzyyg.2017.02.09

陳潔，杜磊，李京,等.基于噪聲白化的高光譜數據子空間維數算法[J].國土資源遙感,2017,29(2):60-66.(Chen J,Du L,Li J,et al.Hyperspectral data subspace dimension algorithm based on noise whitening[J].Remote Sensing for Land and Resources,2017,29(2):60-66.)

2015-12-22；

2016-01-15

中國地質調查局地質調查項目“天山-北山重要成礦區帶遙感調查”(編號： 121201003000150008)和“高光譜地質調查技術方法研究”(編號： 1212031513012)共同資助。

陳潔(1980-),男,高級工程師,主要從事航空攝影技術方法、數據處理及遙感地質應用的研究。Email： 6592296@qq.com。

TP 751.1

A

1001-070X(2017)02-0060-07