教、學、做相統一 講、探、練相結合

教育教學的核心是“人的發展”。隨著“學生發展核心素養”和“數學學科素養”的頒布，數學新課程改革已走向內涵發展期的“深水區”，數學課堂教學從理念到行為都要發生根本的變化。只有贏在課堂才能贏得未來。數學素質教育主陣地是課堂，課堂的“靈魂”是學生的“學習過程”。為了每一個學生能更好地掌握數學知能，在數學學習過程中獲得提出問題、分析問題和解決問題的智慧，我工作室近十年來進行了“自覺數學課堂”的教學研究，構建自覺數學課堂的原則是“因材循導、自覺體悟、平等對話”，其主要教學策略元素是：思（引發真學）——展（多維促進）——變（變式引領）——悟（感悟反思）——歸（四基四能）。關注數學教學本質的回歸：關注學習組織、學習起點、學習過程、課堂形態、教育角色、教育評價等一系列的變革，即讓數學課堂教學從空間結構和時間秩序及活動流程都要發生變化。旨在讓數學課堂從“知識的課堂”——“能力的課堂”——“創新的課堂”——“自覺的課堂”進行一路轉型，讓課堂從教師如何“教”轉變為學生如何“學”，關注創造新知、激發創新潛能、促進深度學習的發生、提升學生高階思維品質。“自覺數學課堂”的教學策略是“學、教、做相統一，講、探、練相結合”。從以教為中心、以學為中心進入教中有學、學中有教、不分彼此的“第三種教學關系”，實現了促進個性化學習的一種混合式學習。2017年5月23日《初中生世界》編輯部在泰州市舉行了江蘇省初中數學名師發展共同體活動，本文以這次活動中筆者為八年級學生上的蘇科版初中數學九年級上冊《§2.1圓（1）》教學實踐為例。

一、關注前經驗喚醒，以“真學”定“真教”

學生在小學階段對圓的相關知識已有了一定的認知，在新知教學中，我們必須首先弄清他們對圓的知識已經了解了多少？已掌握了哪些？有哪些知識是正確的？哪些知識是模糊的？哪些知識是錯誤的？認知結構的狀況如何？最近發展區在哪里？我們的教學起點在哪里？帶學生走向哪里？……這些都是以“真學”定“真教”的本質性問題。

【“自覺體悟”環節教學片斷】

師：同學們能舉一些生活中有關圓的例子嗎？

生1：車輪、轉盤。

生2：帽子、硬幣。

師：這兩位同學舉的例子中的圖形都是圓嗎？

生（眾）：是！

師：老師再給出下列圖形（如圖1），請你判定哪些圖形是圓？

生3：就第一個籃球不是圓，其他都是圓！

師：為什么籃球不是圓？

生3：圓是平面圖形，籃球是立體圖形。

師：你們還有不同的看法嗎？

圖1

生：沒有了。

師：看來同學們在對“圓”的“正確認識”上還有一定的誤區！到底什么樣的平面圖形才是圓呢？等我們探究完圓的定義，再來討論這個問題。

啟示：讓學生在接受新知前我們要讓他們從精神上、心理上、智力上、經驗上都要作好學習新知識的準備，特別是在學生小學已學過的相關內容上，要找到切入口將新知能自覺地同化（或順應）到舊知中，這類活動的設計切入口要小，但要平中見奇、引人入勝，且是具體的、現實的、有意義的和富有挑戰性的，通過他們的感知、分析、判斷、想象和歸納等心智活動，豐富基本活動經驗，激發對新知的興趣和好奇心。只有學生獲得了實際的感觀，才有探究和接受新知的“思維新基點”。讓學生在自覺體悟中形成認知沖突，才能激發學生進一步探究的熱情，這是學生認知的基礎。

二、運用做中學、思、探，自覺認知圓的本質

在小學時學生已經學習過如何用圓規畫圓，他們對圓的認識若只停留在這個水平上，是不夠的，我們要精心設計遞進性學習活動，讓學生在做中學、思、探，引導學生發現圓的形成過程，給出圓的“運動定義”。讓學生“用圓規畫圓”這是做中學的起點，也是讓學生進行做中學、思、探的基礎，我們的數學教學活動起點要低，但立意要高，活動的精度要好。

【“探究導學”環節教學片斷】

師：請同學們用圓規在學案紙上畫一個圓。

（學生畫圓）

師：請同學比較小組內各位同學所畫的圓，你有什么發現或感悟？

（小組交流后）

生4：畫一個圓需要兩個要素：圓心和半徑。

師：這兩個要素對作出的圓的形狀與大小有什么影響？

生4：圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小。

師：請同學們思考，如何在運動場上畫一個半徑為20m的圓？小組交流。

（小組交流后）

生5：讓一個同學拉住20m長的繩子的一端固定在一點，另一個同學拉直20m長的繩子在運動場上繞著固定的一點旋轉一周，他畫出來的圓即為所求。

師：其他小組有不同的意見嗎？

生6：我們小組認為，可在運動場上取一點作為圓心，將運動場上所有到這個點的距離等于20m的點用一條曲線連起來就可以得到要畫的圓。

師：還有不同的想法嗎？

生：沒有了。

師：現在我們回顧圓規畫圓和用繩子畫圓的過程，請看視頻（如圖2、圖3）。

圖2 圖3

師：小組交流——圓規畫圓和用繩子畫圓它們有什么共同點和不同點？（小組交流后）

生7：它們的共同點是一個點固定，另一個點繞著它旋轉一周；不同點是畫小圓用圓規，畫大圓用繩子。

生8：他說得不對！它們的共同點是一個點固定，另一個點繞著它旋轉一周，還要加上運動點到固定的點的長度（距離）要保持不變。

師：好的！請同學們再探究：圓規畫圓和用繩子畫圓，它們能畫出圓的本質是什么？

（小組交流后）

生9：將一條線段的一個端點固定，另一個端點繞著它旋轉一周，所畫出的圖形就是圓。

生10：還要加上“在同一平面內”和“畫出的是封閉的圖形”。

師：這兩位同學基本上說出了圓規畫圓和用繩子畫圓的本質。現在老師來用幾何畫板演示一下（如圖4）。

師：看完老師的動畫演示，你有什么感悟？怎樣給圓下定義？請互動交流后小組整理。

（學生交流互動后）

生11：在平面內，把線段OP繞著端點O旋轉1周，端點P運動所形成的封閉圖形叫作圓。

師：這位同學說得很好！這就是圓的“運動定義”（板書）。定點O叫作圓心，線段OP（定長）叫作圓的半徑。以點O為圓心的圓，記為“⊙O”，讀作“圓O”。現在再請同學們思考：圓是一條線？還是一個面？

生12：一條線，不是一個面！

師：為什么？

生12：圓是“在平面內，把線段OP繞著端點O旋轉1周，端點P運動所形成的封閉圖形”而不是“線段OP運動所形成的圖形”。

師：現在我們再回頭看一下剛才的問題判斷：（如圖1）下列圖形哪些是圓？

生13：只有（4）是圓。

師：為什么硬幣不是圓？

生13：硬幣是圓面！圓是一條封閉的曲線。

啟示：“自覺數學課堂”教學的本質并不是只關注活動經驗的簡單積累，而應更加重視如何能夠幫助學生在經驗的積累中實現相應的思維發展，并不斷地向更高層次提升，只有這樣才能讓學生學會用知識生成智慧。為了幫助學生形成智慧，我們就應更加重視數學學習活動的學程設計，要更加重視學生對于學習活動的直接參與。這里通過學生熟悉的圓規在紙上畫“小圓”開始，再讓學生解決在運動場上畫半徑為20m的“大圓”，探究用圓規畫圓和用繩子畫圓的本質上的異同性，讓圓的“運動定義”“自覺生成”。因此，我們要通過遞進性的學習活動，運用做中學、思、探，讓學生自覺認知圓的本質，促進學生對圓的“運動定義”的“同化”和“順應”。

三、提供先行組織者，助力學生自覺創造新知

在《圓（1）》這一教學內容中，學生的認知難點是圓的“集合定義”，教學重點是點與圓的位置關系的認知與判斷方法，為了減輕學生的認知負荷，突破教學難點，讓學生建立對新知的“有序理解”，我改變了教材中的知識呈現的順序。在教學中，我們常常要讓教材的邏輯結構要服從學生的認知邏輯結構，這就需要我們深度了解學情，靈活處理教材，這樣才能使學生的學習過程鮮活而靈動。

【“深度探究”環節教學片斷】

師：請同學們觀察圖4，思考：圓將平面分成幾部分？

生14：圓將平面分成三部分，分別是圓內部分、圓上部分和圓外部分。

師：現在老師向這個圓所在的平面內撒若干個點，如圖5所示，請你說出點與圓的位置關系。先請認真思考后在小組內交流。

（學生小組內交流后）

生15：點與圓的位置關系有三種：分別是點在圓內、點在圓上和點在圓外。

師：我們怎樣判斷點與圓的這三種位置關系呢？

（生一臉茫然）。

師：現在讓同學們先解決一個問題，能否從解決這個問題中獲得一些啟示。

教師給出問題情境（先行組織者）：海平面內，以點O為圓心的10km內和邊界上有暗礁，A船距點O的距離為8km，B船距點O的距離為10km，C船距點O的距離為15km，請判斷A船、B船和C船分別有無觸礁的危險？

生16：A船、B船有觸礁的危險，C船沒有。

師：為什么？

生16：因為以點O為圓心的10km內和邊界上有暗礁，A船距點O的距離為8km，說明A船在圓內；B船距點O的距離為10km，說明B船在圓周上，它們都有觸礁的危險，而C船距點O的距離為15km，說明它在圓外，就沒有觸礁的危險。

師：如何判斷點與圓的位置關系，你有何想法？

生17：將點與圓心連接起來，用這條線段的長度與半徑進行比較就行。

師：我們記圓的半徑為r，這條線段的長度為d，如何判定點和圓的位置關系呢？現在請各小組畫圖并探究。

（小組合作探究后）

生18：當dr時，點在圓外。

生19：老師，反過來也是可以的。當點在圓內時，則dr.

師：同學們，探究得很好！前一個同學說的是點與圓位置關系的判定方法，后一個同學說的是點與圓位置關系的性質。現在我們將點與圓位置的判定和性質用“ ”來表示，讀成“等價于”，它的含義是從左邊能得到右邊的同時，也能從右邊得到左邊。點與圓的位置關系用“ ”表述如圖6.

師：剛才我們在畫半徑為20m的大圓時，有小組說“可在運動場上取一點作為圓心，將運動場上所有到這個點的距離等于20m的點用一條曲線連起來就可以得到要畫的圓”。現在我們重點討論“點在圓上d=r”，根據“等價于”的意義，它的含義是什么？

生20：如果點在圓上則這個點到圓的距離等于半徑；如果一個點到圓心的距離等于半徑，則這個點在圓上。

師：這句話似曾相識，在哪里遇到過的？

生20：學線段的垂直平分線的時候。

師：當時是怎么說的？

生20：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上；最后得到了“線段垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合”。

生21：老師，還有呢！角平分線上的點到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；最后得到了“角平分線是到角兩邊距離相等的點的集合”。

師：現在你們有什么要補充的？

生22：我們可以類似地得到“圓是到圓心的距離等于半徑的點的集合”。

師：很好！如果我們現在將圓心說成定點，半徑說成定長，這樣又該怎樣表述？

生：（眾）圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合。

師：這就是圓的集合定義（板書）。結合點與圓的位置關系，你們還能得到哪些類似的結論？

生23：圓的內部是到定點的距離小于定長的所有點的集合。

生24：圓的外部是到定點的距離大于定長的所有點的集合。

啟示：點與圓的位置關系的判定方法與圓的“集合定義”都是學生的認知難點，本學習活動從圓將平面分成幾個部分自然過渡到點與圓的位置關系的分類，當學生面對判定點和圓的位置關系而一籌莫展時，教師通過一個問題情境，啟發了學生的思維，找到了判定的策略，并由個性問題追溯到共性問題，總結出了一般規律。再通過“點在圓上 d=r”的雙向本質性的解讀，類比線段的垂直平分線和角平分線的“集合定義”，順理成章地得到了圓的“集合定義”，這樣提供先行組織者，不但使學生學會了在原有知識基礎上學習新知識的方法，也助力學生自覺創造新知。

四、講、探、練結合，促進高階思維自覺形成

“自覺數學課堂”突出自我責任、自覺體悟、思維素養、學習品質和自組織力。建構主義認為，學習過程一方面是對新信息的意義的建構，另一方面也包含對原有經驗的改造與重組。課堂教學中一定要讓學生的學習從淺層學習（理解、識記和應用）走向深層學習（分析、評價和創建），在教學策略上要關注講、探、練相結合，通過師生、生生和生本的多維互動，讓學生重構自己原有的認識，取得更加全面深刻的感悟，促進高階思維品質的自覺形成。

在“變式應用”環節教學中，我設計了如下的問題。

1.已知⊙O半徑為5，①若OP=3，則點P在⊙O____；②若OP=5，則點P在⊙O____；③若OP=7，則點P在⊙O____。

2.已知⊙O的半徑為r，OP=8.①若P在⊙O外，則r的取值范圍為r_________；②若P在⊙O內，則r的取值范圍為r_____；③若P在⊙O上，則r_____。

3.如圖7，矩形ABCD對角線相交于O，問題：點A、B、C、D是否在同一個圓上？如果在，圓心是什么？半徑是什么？

4.如圖8，已知線段PQ=4cm。（1）畫出下列圖形：到點P的距離等于2cm的點的集合；到點Q的距離等于3cm的點的集合。（2）在所畫圖中，到點P的距離等于2cm，且到點Q的距離等于3cm的點有幾個？請在圖中將它們表示出來。（3）在所畫圖中，到點P距離小于或等于2cm，且到點Q的距離大于或等于3cm的點的集合是怎樣的圖形？把它指出來。

啟示：在數學學習過程中，學生在已獲得了對感知新知的一些初步經驗的基礎上，再有同伴之間的良性差異互動，使他們看到了同伴與自己不一樣的思考、聽到了與自己不同的觀點，便能多角度和多途徑地完善對數學新知的理解，也豐富了自己所積累的學習活動經驗，這也是在“教、學、做”后的“講、探、練”的意義所在。在“變式應用”這個環節，用四個問題組成的“問題串”把學生的思維不斷地引向深入，激發學生多向度、本質性地認識問題，激活師生的創新意識和創造能力，擴大了學生的“認知半徑”和提升思維品質，也提高了學習策略運用水平。

知識是血肉，能力和方法才是靈魂；知識和方法相比，方法更容易成為能力；能力與方法攜手，便是潛在的創造力。數學知識的獲得和技能的養成是學生數學學習的內容，提升學生的思維能力、學習品質和數學素養才是數學教學的目標。只有通過有效的活動讓學生在積累基本活動經驗的基礎上，進行“自覺體悟”，要經過“教、學、做”相統一的學習過程，再經過“講、探、練”相結合的思維過程，才能促進學生的智慧生成。

（作者為江蘇省常州市田家炳初級中學教科室主任，江蘇省數學特級教師、正高級教師）