深度參與讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生

數(shù)學(xué)是一門特別的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的模仿和記憶只占微小的部分，更多地需要學(xué)生的理解，需要學(xué)生在不斷的探索中，打破固有認識，形成新的穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)。《數(shù)學(xué)課程標準》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純依靠模仿和記憶，動手實踐、自主探究和合作交流也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。”從這個角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該加強學(xué)生的主動性，突出學(xué)生的主體地位，讓他們在不斷的嘗試和探究中去發(fā)現(xiàn)，去獲取，去主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，達成深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要注重給學(xué)生探索的機會，讓學(xué)生建立在比較和發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上去主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，形成數(shù)學(xué)領(lǐng)悟，達成深度學(xué)習(xí)。具體可以從以下幾個方面來展開：依托生活經(jīng)驗來促進數(shù)學(xué)認識，達成概念的清晰化；依托探索比較來推升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進認識的深入化；依托數(shù)學(xué)本質(zhì)來推動學(xué)生領(lǐng)悟，形成方法的自然化；依托操作活動來凸顯數(shù)學(xué)規(guī)律，助力建構(gòu)的真實化。

依托生活經(jīng)驗，認識數(shù)學(xué)概念

學(xué)生在走進課堂時并非一無所有，他們的生活經(jīng)驗和已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都會在學(xué)習(xí)過程中起作用。因此，我們在教學(xué)中首先要考慮教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生過往生活之間的聯(lián)系，考慮到影響學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)概念的因素，然后制訂相應(yīng)的策略，引導(dǎo)學(xué)生在生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上發(fā)掘概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，達成概念的清晰化。當(dāng)然，生活經(jīng)驗對學(xué)生的概念建構(gòu)有兩種方向不同的影響：一種是正向促進作用，另一種是負向干擾作用。在學(xué)習(xí)中，我們要有所甄別，有選擇地利用學(xué)生的生活經(jīng)驗。

例如：在“平移和旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)中，筆者首先創(chuàng)設(shè)了一個游樂場的情境，將學(xué)生帶入不同的項目中，讓學(xué)生一邊看圖一邊做動作，想象一下在玩這個項目時人會做什么樣的運用——在看到摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬等項目的時候，學(xué)生不由自主地將手圈動起來；而在看到彈簧床、火箭升空等項目的時候，學(xué)生做了很夸張的上下運動的手勢。所有的項目呈現(xiàn)完畢后，筆者將這些項目做一個定型，讓學(xué)生面對這些項目，回憶剛才的手勢，嘗試根據(jù)不同項目中運動方式的不同來將這些項目分類。學(xué)生們很自然地將這些運動方式分成了旋轉(zhuǎn)和移動兩種。在這樣的認識的基礎(chǔ)上，筆者再讓學(xué)生自己給這兩種不同的運動方式取個名字，在生活中找一找哪些物體的運動形式跟這些運動方式是一致的，學(xué)生就深入到生活實際中去找到很多的例子。在這個案例的學(xué)習(xí)中，筆者沒有給學(xué)生定義怎樣的運動叫作平移，怎樣的運動叫作旋轉(zhuǎn)，而是給學(xué)生一個熟悉的生活情境，讓他們自己用眼睛去觀察，用手勢去模仿，用大腦去思考，這樣自己抽象出兩種不同運動方式來，之后再讓學(xué)生走進更廣闊的生活天地去豐富已有的認識，學(xué)生對這兩種運動形式的認識就足夠清晰了。

另外一個教學(xué)實例是“角的認識”。因為學(xué)生在生活中認識的角是立體的、多元的，而數(shù)學(xué)概念中的角是比較規(guī)范的，所以，筆者在教學(xué)中力圖讓學(xué)生自己來抽象出“數(shù)學(xué)角”。實際教學(xué)時，筆者以這樣一個情境來引入：兩只河馬在比誰的嘴張開得更大，你能來做個公正的裁判嗎？在情境中，筆者請用兩只手來比劃一下兩只河馬嘴張開的樣子，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)判斷河馬的嘴張開的大小就是要看兩只手張開的程度。如果我們把河馬嘴張開的樣子畫出來，只要用兩條一端相連的線即可，當(dāng)然，我們還可以運用學(xué)具盒中的活動小棒來做成一個“角”。在這個過程中，學(xué)生對角的第一認識就建立了，也感知到判斷角的大小就是看兩條線張開的程度。之后，筆者再引導(dǎo)學(xué)生來觀察角，認識到角的各部分名稱，學(xué)生腦海中的“數(shù)學(xué)角”的概念就初步建立了。很顯然，這樣的角是有別于生活中的一些角的，比如動物的角，當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)達到一定的火候時，筆者再將這樣的角拿出來讓學(xué)生比較，學(xué)生就建立了生活中的角是個物體，數(shù)學(xué)上的角是反映兩條邊張開的程度的概念。在這樣的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對角的認識經(jīng)歷了三個過程，從河馬的嘴張開的樣子到用手來模擬再到將決定河馬的嘴張開的程度的關(guān)鍵因素畫出來，學(xué)生一步步接近了角的數(shù)學(xué)概念，經(jīng)歷這樣三個過程，學(xué)生的認識就從生活中遷移到數(shù)學(xué)中來，形成了清晰的認識。

這兩個案例中的數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)都沒有離開生活經(jīng)驗，不同的是，第一個案例的學(xué)習(xí)更多的是生活經(jīng)驗的數(shù)學(xué)化，而第二個案例中的生活經(jīng)驗是“取其精華，去其糟粕”。在實際教學(xué)的時候，我們要讓學(xué)生根據(jù)自己的認識來逐步將生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化，建立嚴謹、準確的數(shù)學(xué)概念，這樣的學(xué)習(xí)會讓學(xué)生獲益匪淺。

依托探索比較，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識

很多數(shù)學(xué)知識是彼此關(guān)聯(lián)的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們不能將知識孤立開來，而是要將新問題放到學(xué)生熟悉的環(huán)境中，調(diào)動學(xué)生已有的知識經(jīng)驗來尋找獲取新知識的突破口，這樣學(xué)生起來會事半功倍，會更加得心應(yīng)手。同時，學(xué)生在探索與比較的過程中能夠發(fā)現(xiàn)新舊知識間的相同和不同，能夠抓住兩者的本質(zhì)特征來區(qū)分他們，這對于學(xué)生認識的深入起到至關(guān)重要的作用。

例如：在“百分數(shù)的認識”教學(xué)中，因為學(xué)生在生活中已經(jīng)接觸過不少百分數(shù)，在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也有碰到百分數(shù)的情形，所以，筆者在實際教學(xué)中就直接讓學(xué)生來說自己找到的百分數(shù)表示的含義。幾位學(xué)生分別走上前來介紹自己找到的百分數(shù)：衣服的標簽上寫著“棉：40%”，學(xué)生很容易套用分數(shù)的意義來解釋這個百分數(shù)——衣服中棉的成分占所有材料100份中的40份；“全班學(xué)生的30%會游泳”，學(xué)生很快說出“會游泳的學(xué)生占全班人數(shù)100份中的30份”。在他們習(xí)慣性套用分數(shù)的意義來嘗試解釋百分數(shù)的含義后，筆者提出更高的要求：“能不能換種形式讓我們一目了然地知道你帶來的百分數(shù)表示什么含義？”在經(jīng)過獨立思考和小組交流之后，學(xué)生們展示了自己的認識：有的用線段圖來表示出簡單的百分數(shù)；有的提出可以用一個有100格的正方形來表示百分數(shù)。筆者肯定了他們的做法，并補充了利用圓來表示百分數(shù)的方法，讓學(xué)生對百分數(shù)的感知由語言層面上升到直觀形象上。在此之后，筆者讓學(xué)生們比較百分數(shù)和分數(shù)的聯(lián)系與不同，學(xué)生們的發(fā)現(xiàn)就多樣了。有的學(xué)生表示：百分數(shù)和分數(shù)表示的意義是相同的，都是將單位“1”平均分成若干份，表示其中的幾份來，不同的是百分數(shù)規(guī)定了將單位“1”分成的分數(shù)只能是100，而普通的分數(shù)不一定。有的學(xué)生表示：百分數(shù)其實就是一種特殊的分數(shù)。還有的學(xué)生認識到：兩者最大的區(qū)別就是分數(shù)既可以表示兩個量之間的關(guān)系，又可以是一個具體的數(shù)量，而百分數(shù)只能表示兩者之間的關(guān)系，不能表示一個具體的量。筆者認為：學(xué)生們之所以有這樣深刻的認識，過往的數(shù)學(xué)經(jīng)驗是不容忽視的，建立在認識分數(shù)意義的基礎(chǔ)上，學(xué)生不但搞清楚了百分數(shù)的含義，而且充分認識到兩者的聯(lián)系和區(qū)別，這為他們深刻的認識打下了堅實的基礎(chǔ)。

依托數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造。”這樣的說法指出了學(xué)生自己領(lǐng)悟的重要性，好的教師不是強行將自己知道的東西灌輸給學(xué)生，而是有能力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過自己的研究和思考總結(jié)出規(guī)律，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)在自己的理解之上，這樣的學(xué)習(xí)也會更加真實更加自然。

例如：在教學(xué)“用方程解決實際問題”的時候，教學(xué)的障礙在于不少學(xué)生的方程思想比較淡薄，他們習(xí)慣于用數(shù)學(xué)方法來解決問題。所以，我們在實際教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷探索問題的過程，自己發(fā)現(xiàn)用方程解決問題的好處，從而自然地選用方程來促進問題的解決。在實際教學(xué)時，筆者給出了這樣一個相對復(fù)雜的問題：“小明和小華各收集了一些郵票，小華的郵票有72張，比小明的兩倍少18張，求小明原來各有多少張郵票？”學(xué)生獨立嘗試后列出算式來計算，經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)近半的學(xué)生犯了錯，有的用72÷2-18，有的用（72-18）÷2，還有的用72÷2+18。在一些學(xué)生將自己的線段圖展示出來之后，其中一些學(xué)生認識到自己的算法是錯誤的。于是，筆者請出錯的學(xué)生說一說自己錯誤的原因。很多學(xué)生談到一點，就是沒有先求出小明郵票的兩倍是多少，而是根據(jù)兩倍的關(guān)系首先用72除以2，分析學(xué)生這個思路，其實是缺乏整體認知，沒有能夠?qū)ⅰ靶∶鬣]票的兩倍”看成一個整體，先行求出這個整體是多少。在這樣的背景下，筆者引導(dǎo)學(xué)生用未知數(shù)來代表小明，把小明的郵票數(shù)和小華的郵票數(shù)之間的關(guān)系找出來，學(xué)生很快找到X×2=72+18或者X×2-18=72這樣的等式。交流這種方法的時候，學(xué)生們認為列式計算和用方程來解決問題各有好處：用方程來解決這樣的問題的時候很容易找到等量關(guān)系，可以直接根據(jù)“誰比誰的幾倍多（少）多少”來確定做比較的兩個量，所以列出方程比較輕松；而列式計算的計算過程比較簡單，列的式子容易犯錯誤。在對比兩種方法的時候，大部分學(xué)生還是選擇了方程。這樣的學(xué)習(xí)，不需要教師將方程的方法強加給學(xué)生，只要引導(dǎo)他們自己去回味兩種方法的思考過程，學(xué)生自然會做出選擇，這樣的領(lǐng)悟比別人給予的方法要有效得多。我們在實際教學(xué)中就是要讓學(xué)生自己在一定的背景中認識到問題，自己選擇適合自己的方法，建構(gòu)專屬于自我的知識體系。

依托操作活動，建構(gòu)數(shù)學(xué)體系

有效的數(shù)學(xué)建構(gòu)不能停留在猜想上，需要讓學(xué)生帶著問題深入實際，自己去操作和探索，從而找到問題的關(guān)鍵，并以此為開端來挖掘數(shù)學(xué)規(guī)律，完善認知體系。這樣的學(xué)習(xí)，可以給學(xué)生更真實的體驗，更多樣的認識，讓學(xué)生更接近真實的數(shù)學(xué)，為數(shù)學(xué)建構(gòu)過程助力。

例如：在“圓柱的表面積”的計算中，筆者直接出示一個圓柱體，請學(xué)生說一說它的表面積包括哪些部分，然后提出問題：“想要計算出圓柱體的表面積，我們可以怎樣做？”有學(xué)生很快回答：“只要算出圓柱上下兩個底面的圓的面積，再加上圓柱的側(cè)面的面積就可以了。”在這個回答的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生去思考哪種面積是我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握的，哪種面積需要我們?nèi)ヌ剿鳎瑥亩鴮W(xué)生的注意力牽引到求圓柱體的側(cè)面積的問題上；之后的學(xué)生交給學(xué)生自己去探索。在行間巡視的時候，筆者發(fā)現(xiàn)很多小組的學(xué)生通過合作將圓柱體分解來開，將圓柱的側(cè)面展開來研究，雖然他們展開的方式不盡相同，但是在交流中學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論是將這個側(cè)面展開成一個長方形還是展開成一個平行四邊形，都可以用底乘高來計算面積，而兩個平面圖形的底都等于圓柱體的底面圓的周長，高等于圓柱體的高。至此，求圓柱表面積的問題水落石出。這樣的學(xué)習(xí)完全放權(quán)給學(xué)生，讓他們根據(jù)自己的猜想去嘗試，去挖掘，讓他們在自己的活動中來建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，學(xué)生在這樣的過程中收獲的不僅是數(shù)學(xué)知識，而且有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，有寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，這對于學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有幫助的。

結(jié)束語

高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)依賴于學(xué)生主體，需要激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，讓他們在認識問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程中，完成認識的推進和知識的建構(gòu)，這樣的學(xué)習(xí)更加有意義，并能促進學(xué)生的可持續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，引領(lǐng)數(shù)學(xué)課堂走向深入。

參考文獻

[1]李慶奎.數(shù)學(xué)學(xué)與教的建構(gòu)主義視角研究[D].遼寧師范大學(xué)，2001.

[2]張慧萍.建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2007.

[3]李滿倉.淺論新課程改革背景下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)生活化[J].吉林省教育學(xué)院學(xué) 報，2010（2）：4-6.

[4]皮連生.學(xué)與教的心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

（作者單位：江蘇省海門市湯家中心小學(xué)）