基于二維插值模型的等照度曲線的繪制

韓 臻，張九紅

(沈陽建筑大學建筑與規劃學院，遼寧 沈陽 110168)

基于二維插值模型的等照度曲線的繪制

韓 臻，張九紅

(沈陽建筑大學建筑與規劃學院，遼寧 沈陽 110168)

本文從等照度曲線的基本概念出發，建立二維插值模型，采用雙線性插值法與三次內插值算法繪制等照度曲線。再通過工程實例，利用MATLAB編程定量比較傳統的平均值法繪制的等照度曲線與新的算法繪制的等照度曲線在精確度上的差異。

等照度曲線；二維插值；MATLAB

引言

照明設計旨在為使用者提供一個良好的光環境，以使其得以正常的學習、工作、生活[1]。使用者可以在良好的光環境下正常地發揮自身的視覺、聽覺、智力等因素以完成自身活動。而在學校、工廠等對工作面照度要求較高的場所，過高或過低的照度值不僅會使人工作效率下降，更會損害人的身體健康。因此在確定了燈具種類、照明方式及燈具布置方法之后根據工作面上的等照度曲線對室內照明設施進行檢驗是十分必要的。傳統的等照度曲線一般采用平均值法，這種算法所需數據量大，照度測量過程繁瑣且所繪等照度曲線精確度低，誤差大。在一些對精確度要求較高的場所，傳統的等照度曲線無法準確的描述工作面上照度分布情況，從而會對照明設計產生一定的影響。本文建立的二維插值模型所采用的雙線性插值算法和三次內插值算法可繪制更加精準的等照度曲線，并且所需測點數較少，方便設計師進行測量、計算。

1 等照度曲線的概念及作用

等照度曲線是指將指定工作面上照度值相同的所有點用適當坐標系(平直角坐標系或極坐標系)繪成的曲線，如圖1所示。

圖1 直角坐標系等照度曲線Fig.1 Iso-illuminance curve in rectangular coordinate system

測量點的選取應采用中心點照度測量法或四點照度測量法。工作面上選擇的測量點的照度值可根據測點至點光源的距離r以及點光源在i方向上的發光強度I計算得出。

(1)

式中E為測點的照度值；I為點光源在i方向上的發光強度；r為測點至點光源的距離。

等照度曲線在建筑設計及工程檢驗中有著極其重要的作用。一是檢驗室內照明設施是否滿足《建筑照明設計標準》(GB 50034—2013)的要求；二是檢驗室內照明設施是否滿足室內的設計條件。

2 二維插值模型的建立

通過已知的有限個數據點的近似函數進行取值的過程稱為插值。若已知節點為一維變量，則插值函數為一元函數，此時稱為一維插值；若已知數據構成網格，即節點為二維節點時，則插值函數為二維函數(曲面)，此時則稱為二維插值。二維插值常用的方法有雙線性插值法、三次內插值法、Nearest法等。本文分別采用雙線性插值法和三次內插值法繪制等照度曲線。

2.1 雙線性插值法

雙線性插值法是二維插值模型中較為常用的算法之一，雙線性插值法是根據點O(x0,y0)周圍相鄰的四個點的照度值，通過兩次插值計算得出其照度值f(x0,y0)，如圖2所示。

圖2 雙線性插值原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of bilinear interpolation principle

首先計算α和β。

(2)

根據f(m,n)和f(m,n+1)插值求f(m,y)。

f(m,y)=f(m,n)+
α[f(m,n)-f(m,n+1)]

(3)

再根據f(m+1,n)和f(m+1,n+1)插值求f(m+1,y)。

f(m+1,y)=f(m+1,n)+
α[f(m+1,n)-f(m+1,n+1)]

(4)

最后根據f(m,y)和f(m+1,y)二次插值求f(x,y)。

f(x,y)=f(m,y)+
β[f(m+1,y)-f(m,y)]

(5)

將式(3)與式(4)代入式(5)，整理得到

f(x,y)=f(m,y)+β[f(m+1,n)-
f(m,n)]+αβ[f(m+1,n)+f(m,n+1)-f(m,n)-f(m+1,n+1)]

(6)

故工作面上任意一點的照度值可由其周圍四個測點的照度值根據式(6)進行二維插值得到。

2.2 三次內插值法

為了更加精確的計算點O(x0,y0)的照度值，取得更加良好的插值效果。本文在此建立三次內插值算法的模型繪制等照度曲線，以比較雙線性插值法與三次內插值法的不同。

若用插值函數s(x)=sin(πx)/(πx)對測點的照度值進行插值，這時不僅需要考慮直接相鄰的四個測點對計算點O的影響，還應該考慮周圍的16個測點的照度值對其的影響，如圖3所示。

插值函數s(x)可采用式(7)近似。

(7)

圖3 三次內插值原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of the three interpolation principle

三次內插值法計算點O照度值的方法與雙線性插值法近似，首先計算s(2+α)，s(1+α)，s(α)，s(1-α)以及s(2+α)，s(1+α)，s(α)，s(1-α)；再根據f(m-2,n)，f(m-1,n)，f(m,n)，f(m+,n)計算f(x0,n)，同理可求f(x0,n-2)，f(x0,n-1)和f(x0,n+1)。最后根據f(x0,n-1)，f(x0,n)，f(x0,n+1)，f(x0,n+2)求出f(x0,y0)。

上述計算過程可用矩陣表示，如式(8)～式(10)所示。則工作面上所計算的點的照度值f(x0,y0)為

f(x0,y0)=XYZ

(11)

3 工程實例

以沈陽某高校圖書館地下室走廊為例，利用

X=[s(2+α)s(1+α)s(α)s(1-α)]

(8)

(9)

Z=[s(2+β)s(1+β)s(β)s(1-β)]T

(10)

MATLAB軟件[2]分別用雙線性插值和三次內插值兩種算法進行插值計算，繪制工作面的等照度曲線，并與傳統測量方法進行對比。測點布置圖如圖4所示，圖中M、N、O、P、Q和R六個點為檢驗點，用以比較不同算法繪制的等照度曲線值與真實值的相對誤差的大小。

圖4 測點布置圖Fig.4 Layout of measuring points

根據國家規范，走廊、流動區域的工作面為地面，使用XYC-I全數字色度計測量工作面上各測點的照度值并記錄如表1所示。

表1 測點照度記錄表Table 1 Illuminance of measuring point lx

將數據代入MATLAB程序中進行計算機運算，分別畫出雙線性插值和三次內插值所得到的等照度曲線，分別如圖5、圖6所示。

圖5 雙線性插值法等照度曲線Fig.5 Iso-illuminance curve painted by bilinear interpolation algorithm

圖6 三次內插值法等照度曲線Fig.6 Iso-illuminance curve painted by three interpolation algorithm

為了檢驗各個模型所繪制的等照度模型的精確度，現將六個檢驗點的實測值以及各種算法算得出的照度值記錄如表2所示。

表2 檢驗點照度值記錄表Table 2 Illuminance of test points lx

根據《建筑照明設計標準》(GB 50034—2013)[3]，走廊、流動區域的工作面最低照度值為50 lx。由等照度曲線可知：此走廊只有中間部分滿足照明規范，因此應重新選擇燈具或改變燈具的布置間距以提高工作面的照度值以滿足國家規范的要求。

4 結論

傳統的平均值法繪制的等照度曲線與雙線性插值算法繪制的等照度曲線都屬于線性插值，平均值法僅僅取四個測點的照度值的平均數作為其中心點的照度值，而雙線性插值法可根據周圍四個測點的照度值對區域內任意一點進行插值，傳統的平均值法要想到達同樣的精度只能細分網格，增大測點數量。

同時，由圖5與圖6直觀上可以看出雙線性插值法繪制的等照度曲線遠不如三次內插值法繪制的等照度曲線光滑，由于其采用線性插值的方法，使得其曲線在轉折處較為生硬。而三次內插值算法其插值函數s(x)=sin(πx)/(πx)對計算點進行三次插值，使得其曲線更加光滑，精確度也高于雙線性插值算法所繪制的曲線。

通過實測值與計算值的對比，由圖8可以直觀的看出三次內插值算法繪制的等照度曲線的相對誤差要遠低于雙線性插值的。計算可得其精確度比雙線性插值算法提高了40%。若想達到相同的精確度，雙線性插值算法所繪制的等照度曲線也只能利用微分的思想：細分網格、增加測點個數，不停地逼近三次曲線，這就大大增加了等照度曲線繪制的時間與計算量。同時，由于其采用線性插值函數，即使其測點數增加，其曲線轉折處依舊沒有三次內插值算法所繪制的等照度曲線光滑。

圖7 各算法照度計算值示意圖Fig.7 Measured value of illumination

圖8 各算法照度計算相對誤差示意圖Fig.8 Relative error of illuminance

目前建筑設計越來越重視室內的建筑物理環境設計，等照度曲線在室內照明設施檢驗中也起到了越來越重要的作用。為此，需要設計師能夠更加準確的繪制等照度曲線，做出理想的建筑室內照明設計。

[1] 柳孝圖.建筑物理[M].第3版.北京:中國建筑工業出版社,2010.

[2] 趙小川.MATLAB圖像處理——程序實現與模塊化仿真[M].北京:北京航空航天大學出版社,2014.

[3] 建筑照明設計標準:GB 50034—2013[S].北京:中國建筑工業出版社,2013.

To Draw the Iso-illuminance Curve Using Two-dimensional Interpolation Method

HAN Zhen, ZHANG Jiuhong

(SchoolofArchitectureandUrbanPlanning,ShenyangJianzhuUniversity,Shenyang110168,China)

In this paper, based on the basic concept of the iso-illuminance, a two-dimensional interpolation model is established, and the bilinear interpolation algorithm and the three interpolation algorithm are used to draw the curve. Through the engineering example, the paper uses MATLAB to compare the difference of the iso-illuminance curve drawn by the traditional method and the new algorithm.

iso-illuminance curve; two-dimensional interpolation; MATLAB

張九紅：E-mail: 364798540@qq.com 基金項目：國家自然科學基金(基于知覺適應的寒地建筑室內外過渡空間熱—光交互作用機理與評價體系研究)

TM923

A

10.3969/j.issn.1004-440X.2017.02.011