基于兩段卡爾曼濾波的永磁同步電機磁鏈在線辨識

韓曉燕，劉秀敏

(中原工學院信息商務學院， 鄭州 450007)

0 引 言

永磁同步電機(以下簡稱PMSM)近年來在機器人、電動汽車、家電等領域獲得越來越廣泛的應用[1]。相比于異步電機，PMSM的功率密度更大、效率更高，而且少了轉差之后控制也更加簡單。

無論是PMSM的無位置傳感器控制、最大轉矩電流比控制，還是依賴模型的其他控制算法，都需要知道準確的永磁體磁鏈參數ψr。近年來，許多學者致力于PMSM的在線參數辨識以提高電機的控制性能[2-5]。文獻[2]采用遺傳算法來估計PMSM的4個參數，包括了ψr，收獲了良好的辨識結果。文獻[3]采用模型參考自適應同時估計電機的4個參數，并依據Lyapunov穩定性設計了4個自適應律，但同時估計這么多參數會導致算法的收斂速度很慢，甚至無法收斂。文獻[4]也是通過模型參考自適應同時辨識了R和ψr，同時，分析了逆變器的非線性產生的電壓測量誤差對辨識結果的影響。

文獻[5-6]中以交直軸的電流和磁鏈為狀態方程構造了四階經典卡爾曼濾波(以下簡稱KF)算法，獲得了磁鏈在d，q軸下的分量。相比于模型參考自適應等算法，卡爾曼濾波的收斂速度更快、精度更高，而且對噪聲的魯棒性也更好，但同時也由于高階逆矩陣的求解存在運算量大的問題，進而導致硬件成本增加。針對該問題，有學者嘗試將高階卡爾曼濾波進行分解降階處理來減少運算量，從而在形式上構造了兩段卡爾曼濾波器(以下簡稱TSKF)[7]。為了得到和分解前的卡爾曼濾波器完全等價的兩段卡爾曼濾波器形式，文獻[8]在TSKF的基礎上提出了最優TSKF[8]。近年來，TSKF也被應用到了電機控制中，文獻[9-10]將其用于PMSM的無傳感器控制，對轉子的位置進行了觀測。本文提出基于兩段卡爾曼濾波的PMSM在線磁鏈辨識方法，在文獻[6]的基礎上用TSKF代替KF，將四階KF分解成2個二階KF：一個全階KF和一個增廣KF，其中增廣KF的狀態變量就是需要辨識的交直軸磁鏈。實驗結果表明，采用了TSKF后，減少了運算量，同時準確獲得了永磁體磁鏈參數。

1 電機模型的建立

假設磁路不飽和，磁場呈正弦分布，忽略鐵耗，那么PMSM在d,q軸下的電壓：

(1)

式中:ud,id,Ld和uq,iq,Lq分別是d,q軸的定子電壓、定子電流和定子電感;R是定子電阻;ω是轉子轉速;ψr是轉子磁鏈。

在PMSM的運行中，不同工況下，由于溫度等因素的影響，永磁體磁鏈ψr的幅值和方向會發生變化，如圖1所示，從而將式(1)改寫：

(2)

圖1 PMSM磁鏈變化示意圖

由于磁鏈隨溫度變化的速度比較緩慢，因此可認為其在一個采樣周期內為恒定值，即:

(3)

將式(2)寫成狀態方程的形式：

(4)

若采樣周期為T，則式(4)可以離散化為式(5):

(5)

2 基于卡爾曼濾波的磁鏈辨識

2.1 經典卡爾曼濾波

為了利用卡爾曼濾波進行磁鏈的在線估計，將磁鏈ψrd,ψrq作為狀態變量加到式(5)中，可以得到四階的卡爾曼濾波模型：

(6)

根據式(6)，可以采用經典的卡爾曼濾波進行狀態變量的觀測，算法如下：

(7)

( (8)

( (9)

( (10)

(11)

采用式(7)～式(11)的經典卡爾曼濾波算法時，狀態相量為四階，輸入相量和輸出相量均為二階，此時運算量大，需要消耗較多的硬件資源。

2.2 兩段卡爾曼濾波

(12)

(13)

將式(13)代入到式(7)～式(11)中，就可以得到如下的TSKF更新算法。

第一個方程組為更新狀態相量的預測值：

(14)

第二個方程組為更新狀態相量的最優估計：

(15)

TSKF的初始估計值和初始協方差矩陣也可以由以下關系得到：

(16)

經過式(14)～式(16)的變換過程，原來的四階卡爾曼濾波器就分解為2個二階的卡爾曼濾波器，兩者在數學上是完全等價的。但相比之下，狀態相量為二階，輸入相量和輸出相量均為二階的TSKF卻能在運算量上比四階的經典卡爾曼濾波器減少很多。文獻[10]指出，相比于四階KF，二階TSKF的乘法運算量減少了20.3%，加法運算量減少了22.5%，因此可以減少運算時間、降低硬件成本。實際應用中，由于式(14)～式(16)中有很多零矩陣，因此TSKF的運算時間要比理論上更加短。

3 實驗驗證

基于TSKF的PMSM磁鏈在線辨識框圖如圖2所示。電機參數如下：額定電壓310 V，額定電流1.5 A，額定轉速4 500 r/min，定子電阻2.7 Ω，d軸電感42 mH，q軸電感71 mH，永磁體磁鏈ψr=0.34 Wb。控制芯片采用TI公司的TMS320F28335，時鐘頻率設為150 MHz。實驗結果如圖3～圖5所示。

圖2 基于TSKF的PMSM磁鏈辨識框圖

(a) 轉速指令

(b) 永磁體磁鏈辨識結果

圖3不同轉速下的磁鏈辨識實驗

(a) 經典KF的運算時間

(b) TSKF的運算時間

圖4KF和TSKF運算時間對比實驗

圖5 3 000 r/min時的電流波形

同時可以看到，辨識結果要比實際值略高，且轉速越高，辨識結果越接近實際值。這是由于逆變電路的非線性導致的，轉速越高，非線性的影響越小。

圖4對比了經典KF算法和TSKF算法的程序運行時間。驅動器的開關頻率設為5 kHz，算法運行周期為200 μs。其中經典KF算法用時89.6 μs，TSKF算法用時68.3 μs。采用TSKF能夠節省23.8%的運算時間，該實驗驗證了TSKF算法的實用性。

4 結 語

本文針對PMSM的永磁體磁鏈辨識，提出一種基于兩段卡爾曼濾波的在線辨識算法。首先構建了以交直軸電流和磁鏈為狀態變量的四階經典卡爾曼濾波器，然后利用變換矩陣將其分解為2個二階卡爾曼濾波器，變換后的兩段卡爾曼濾波器減少了運算時間，從而能夠降低硬件成本。最后，實驗結果驗證了該算法的有效性和實用性。

[1] 王成元,夏加寬,楊俊友,等.電機現代控制技術[M].北京：機械工業出版社,2006.

[2] 肖曦,許青松,王雅婷,等.基于遺傳算法的內埋式永磁同步電機參數辨識方法[J].電工技術學報,2014,29(3):21-26.

[3] 陳振鋒,鐘彥儒,李潔.嵌入式永磁同步電機自適應在線參數辨識[J].電機與控制學報,2010,14(4):9-13.

[4] KAN L,ZHU Z Q,QIAO Z,et al.Influence of nonideal voltage measurement on parameter estimation in permanent-magnet synchronous machines[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2012,59(6):2438-2447.

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[6] 史宇超,孫凱,馬鴻雁,等.內埋式永磁同步電機永磁磁鏈的在線辨識[J].電工技術學報,2011,26(9):48-53.

[7] FRIEDLAND B.Treatment of bias in recursive filtering[J].IEEE Transactions on Automation Control,1969,14(4): 359-367.

[8] HSIEH C S,CHEN F C.Optimal solution of the two-stage Kalman estimator[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1999,44(1):194-199.

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[10] 易伯瑜,康龍云,林玉健,等.基于雙段卡爾曼濾波的永磁電機無傳感器控制[J].華南理工大學學報 (自然科學版),2013,12(10):49-55.