精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究能力

【摘 要】高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅要求用數(shù)學(xué)知識(shí)解決各種各樣的實(shí)際問題，更重要的是強(qiáng)調(diào)在解決問題中獲得運(yùn)用數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力。本文結(jié)合案例，論述從操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、思維性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)三個(gè)方面精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；思維性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）27-0009-03

【作者簡介】徐彩娥，江蘇省太倉高級(jí)中學(xué)（江蘇太倉，215400）教師，高級(jí)教師，蘇州市名教師，江蘇省優(yōu)秀教育工作者。

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是根據(jù)國家課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生認(rèn)知水平及數(shù)學(xué)教學(xué)思想發(fā)展的脈絡(luò)，創(chuàng)設(shè)問題情境，充分利用實(shí)踐手段、設(shè)計(jì)系列問題、增加輔助環(huán)節(jié)，在教學(xué)思維活動(dòng)的參與下引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、積極、批判地思考，給出驗(yàn)證和理論的證明，從而使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)建構(gòu)，逐步把握認(rèn)識(shí)事物與真理的方式方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力和科學(xué)研究意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種探索活動(dòng)。江蘇省太倉高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)根據(jù)高中的教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有計(jì)劃、有步驟、有目的地開設(shè)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程。我們將高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)依據(jù)開展形式，分為操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、思維性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和圖形計(jì)算器模擬實(shí)驗(yàn)三類。下文就對這三種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行詳細(xì)分析。

一、操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的和要求，教師指導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手操作，制作或使用一些簡單的工具，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論或假設(shè)、進(jìn)行探究數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)活動(dòng)。操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)按照實(shí)驗(yàn)?zāi)康姆譃轵?yàn)證式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和理解式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

1.驗(yàn)證式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

驗(yàn)證式實(shí)驗(yàn)的目的并不是讓學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)，而是讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論或了解公式的應(yīng)用。

【案例1】橢圓定義的應(yīng)用。

（1）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：在圓形紙片內(nèi)部設(shè)置一個(gè)不同于圓心的一點(diǎn)，折疊紙片，使圓周的邊界上有一點(diǎn)與該點(diǎn)重合，重復(fù)這個(gè)過程數(shù)次，形成一系列折疊，它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓。

（2）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簳?huì)用橢圓定義來解釋實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)象，加深對橢圓定義的深刻理解，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和論證能力。

（3）現(xiàn)象與解釋：

經(jīng)過觀察，可以猜想眾多折痕圍出的圖形是橢圓。

證明：如圖1所示，∵M(jìn)，O關(guān)于直線AB對稱，∴PO=PM，

∴PC+PO=PC+PM=r，即橢圓上的點(diǎn)到圓心C與另一個(gè)定點(diǎn)O的距離和等于圓的半徑。

2.理解式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

理解式實(shí)驗(yàn)主要針對一些很難直觀想象的數(shù)學(xué)公式、定理和結(jié)論，通過制作實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ突虿僮髌渥兓^程，達(dá)到直觀、便于理解的目的。

【案例2】圓錐曲線的探索。

（1）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：從手電筒打出的光束是呈圓錐形，當(dāng)光束打到墻面上時(shí)，光斑的邊緣就形成了一條曲線，畫出手電筒光束形成的圓錐曲線，并寫出對應(yīng)的方程。

（2）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^觀察平面截圓錐面的情境，獲得自身體會(huì)，使得學(xué)生對圓錐曲線的概念有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，由此引出圓錐曲線的概念。

（3）實(shí)驗(yàn)工具：手電筒、一張紙。

（4）實(shí)驗(yàn)過程：

①在一張紙上畫出直角坐標(biāo)系，并把它貼到墻上；

②手電筒垂直照向紙，使光束在紙上形成一個(gè)圓，并使光束的中心在原點(diǎn)，然后保持手電筒不動(dòng)，描出光斑的邊緣，測量出半徑，寫出圓方程；

③改變手電筒與墻面的夾角，使得光斑形成一個(gè)橢圓，并使得對稱軸位于豎直方向，中心在原點(diǎn)，然后保持手電筒不動(dòng)，描出橢圓的形狀，測量出長軸、短軸的長，寫出它的方程。

④用類似上述的方法，探索還能得到其他哪些曲線。

（5）現(xiàn)象和解釋：

手電筒發(fā)出的光束形狀可以近似看成一個(gè)圓錐，設(shè)圓錐的母線與軸線的夾角為α，紙面與軸線的夾角為β。（如圖2）

當(dāng)β=90°時(shí)（即手電筒垂直與紙面時(shí)），光束在紙上形成一個(gè)圓。

改變紙面與圓錐軸線的夾角，當(dāng)β=α?xí)r（即手電筒與圓錐的母線紙面平行時(shí)），光斑形成的圖形形狀是拋物線。

當(dāng)手電筒既不與紙面垂直，紙面又不與圓錐的母線平行時(shí)，需要分兩種情況討論：

當(dāng)β>α?xí)r，光斑形成的圖形是橢圓；

當(dāng)β<α?xí)r，光斑形成的圖形是雙曲線的一支。

二、思維性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

思維性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)又稱為“探索建構(gòu)式”實(shí)驗(yàn)，它是通過對數(shù)學(xué)對象的不同變化形態(tài)下的展示，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思維方式探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）的教學(xué)活動(dòng)。思維性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)重在思維訓(xùn)練，實(shí)驗(yàn)分四個(gè)階段進(jìn)行：探究情境的創(chuàng)設(shè)，學(xué)生形成問題，確認(rèn)研究中的問題，對問題做出解釋。

【案例3】蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4中“實(shí)習(xí)作業(yè)”：制作煙囪彎頭（如圖3，單位：cm），不考慮焊接處的需要，選用的矩形鐵片應(yīng)滿足怎樣的尺寸？請你設(shè)計(jì)一個(gè)最合理的裁剪方案。（在矩形鐵片上畫出的裁剪線應(yīng)是什么圖形？）

1.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

（1）安排制作直角煙道模型的課前實(shí)踐活動(dòng)，在利用火腿腸制作煙道模型的過程中，通過斜切火腿腸、觀察截面橢圓的展開圖，增加感性認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步的理性分析打下基礎(chǔ)；

（2）利用TI計(jì)算器進(jìn)行函數(shù)模型擬合分析，讓學(xué)生應(yīng)用信息技術(shù)驗(yàn)證猜想，為推理證明埋下必要的線索；

（3）加強(qiáng)自主探究、合作交流活動(dòng)，將每個(gè)學(xué)生的作業(yè)即時(shí)投射到大屏幕上，為課堂中的師生、生生互動(dòng)提供材料，并引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析。

2.實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹Ｍㄟ^煙囪彎頭的設(shè)計(jì)，不僅讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活”，而且促使學(xué)生將所學(xué)的圓柱的側(cè)面展開圖、二面角、直線與平面的關(guān)系等立體幾何知識(shí)和y=Asin（ωx+φ）+B的圖象與性質(zhì)方面的知識(shí)聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

3.實(shí)驗(yàn)工具：火腿腸、美工刀1把、矩形紙片一張、TI計(jì)算器。

4.實(shí)驗(yàn)過程：

（1）課前探究。

第一步：先切去火腿腸兩頭，將其切成一個(gè)圓柱體，再將圓柱體按約45°斜切成兩段，拼成一個(gè)直角煙道的模型。

第二步：用美工刀將其中一段火腿腸包裝紙切開，然后將其展平在一張紙上，并觀察曲線的形狀特征。

（2）學(xué)生初步確定曲線函數(shù)圖象：截面橢圓的展開曲線可能是正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象。

（3）借助TI計(jì)算器操作確認(rèn)。

選取一張學(xué)生的圖片，導(dǎo)入到TI計(jì)算器的坐標(biāo)系中，然后讓學(xué)生完成下面操作：①在曲線上有針對性地選一些點(diǎn)（至少5個(gè)），測量各點(diǎn)的坐標(biāo)，并將測得的坐標(biāo)列成電子表格；②至少選用兩種函數(shù)模型進(jìn)行回歸分析，并比較一下效果。

（4）實(shí)驗(yàn)結(jié)果和解釋。

可將此問題數(shù)學(xué)化為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，供學(xué)生利用理論進(jìn)行推理論證：水平面α與斜平面β成45°的二面角，α∩β=l，且l與截面圓O相切。設(shè)圓柱底面半徑為1，點(diǎn)Q為截面橢圓上任一點(diǎn)P在水平截面α上的投影，設(shè)AQ=x，PQ=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式。

“實(shí)驗(yàn)操作→直覺猜想→直觀驗(yàn)證→推理論證”是科學(xué)探究的一般方法。讓學(xué)生參與探究的全過程，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。在學(xué)生利用TI計(jì)算器擬合并得出初步結(jié)論時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行嚴(yán)密論證是不可或缺的一環(huán)。在探究過程中，通過層層設(shè)問，適時(shí)點(diǎn)撥，使學(xué)生調(diào)動(dòng)、運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)，最終揭開直觀現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)奧秘。

三、計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)

計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)指借助于計(jì)算機(jī)的快速運(yùn)算功能和圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）的教學(xué)活動(dòng)。計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)能為教學(xué)活動(dòng)提供并展示各種所需的圖文資料，創(chuàng)設(shè)、模擬各種與教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)的情境，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供豐富多彩的學(xué)習(xí)情境和有力的學(xué)習(xí)工具。

【案例4】拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)。

1.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。通過TI計(jì)算器模擬拋擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，記錄正面向上的頻率。

2.實(shí)驗(yàn)工具。TI計(jì)算器。

3.實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹ｓw驗(yàn)拋擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，真正感受出現(xiàn)正面的概率為1/2。

4.實(shí)驗(yàn)過程。利用TI計(jì)算器，記錄正面向上的次數(shù)，計(jì)算正面向上的頻率p=m/n。

5.實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。分別統(tǒng)計(jì)小組和全班學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到正面向上的概率是1/2。

6.理論解釋。拋擲一枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種：正面向上和正面向下，且兩種事件是互斥的，所以拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面向上的概率是1/2。

以往的教學(xué)因?yàn)槿狈?shí)驗(yàn)的環(huán)境，常常將結(jié)論直接提供給學(xué)生，學(xué)生沒有質(zhì)疑的機(jī)會(huì)，自然也沒有質(zhì)疑的念頭，這對科學(xué)探究精神的培養(yǎng)是不利的。這里借助TI計(jì)算器進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有效地驗(yàn)證或探究數(shù)學(xué)問題，使得做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)成為可能。

可見，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不但可以改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，而且使得數(shù)學(xué)探究活動(dòng)變得豐富多彩、方法靈活多樣。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的開設(shè)，不但有利于培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)，而且改變了學(xué)生學(xué)習(xí)方式，拓展了問題研究的空間，真正做到富有創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，真正有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和研究能力，真正有效提高了學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]孫建國，章建躍.信息技術(shù)環(huán)境下的問題解決能力培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（05）.