數學巨人的“冪”事

劉華東

斐波那契解“棋盤問題”

古印度有一個國王，很喜歡下棋.國王從來沒有遇到過敵手，只贏不輸.一天，國王下令：誰能贏了他，就可以滿足這個人提出的一個愿望.

一位從未跟國王下過棋的大臣要求與國王對弈.結果聰明的大臣贏了.

國王大度地說：“提出你的要求吧，我會信守諾言的.”

大臣輕輕地說：“我只想要一些麥粒，能把棋盤放滿.這個棋盤共有64個方格，陛下，請在第一個格子里放一粒麥粒，第二個格子里放2粒，第三個格子里放4粒，第四個格子里放8粒……依此類推，直至第64個格子.”

國王一聽，不假思索地說：“這個小小的要求，我立刻就滿足你.”于是，命令管糧食的大臣按計算方式算好麥粒的數目.管糧食的大臣計算后，走到國王面前悄聲說：“陛下，按照他的要求，全國的糧食加起來也不夠啊！”說完大臣把計算結果給國王看，得數是18 446 744 073 709 551 615（粒），1立方米的麥粒大約是1 500萬粒，一共要給他12 000立方米的麥粒.國王一聽傻了眼，這可怎么辦？

中世紀，意大利數學家斐波那契（L.Fibonacci，1170～1250）再解這個問題時，遇到了難以表達的大數問題，斐波那契被迫給出了一種記法：先算出棋盤前兩行之和，再加1得65 536，將65 536枚金幣裝入一保險箱，將65 536個保險箱放入一座房子，再將65 536座這樣的房子放進一座城市，65 536座這樣的城市所含的金幣減去1，就是棋盤上所有麥粒數字的和.

在沒有冪的表示方法的時代，要表達一個大數是多么不容易啊！

海邊的奇思

敘拉古是古希臘的一個獨立城邦.敘拉古國王希羅（Hiero）之子蓋羅（Gelo）是大數學家阿基米德（Archimedes，前287～前212）的好朋友.

一天，阿基米德同蓋羅在海邊一起散步，阿基米德三句話不離本行，談起了大數問題.

“我們腳下的這片沙灘共有多少粒沙呢？”阿基米德問朋友.

“有無窮多粒吧.”蓋羅回答.

“那么整個西西里島上的沙粒數呢？”阿基米德接著問.

“當然也是無窮多.”蓋羅不假思索地答道.

“可是，親愛的朋友，不僅西西里島，世界上任何地方的沙粒數都是有限的.我可以證明，我能找到一個大數，使得整個地球，甚至整個宇宙的沙粒數不超過這個數！”阿基米德自信地說.（那時候的天文學家認為，宇宙就是以地球為中心、地日距離為半徑的球.）

“是真的嗎？太不可思議了！”蓋羅睜大眼睛看著眼前的這位數學家.

“對于一個沒有學過數學的人來說，那的確令人難以置信.”阿基米德回答.

接下來，阿基米德開始向朋友介紹自己的大數計數法：從1數到1萬，再從1萬數到1萬萬，將1到1萬萬稱之為一階數；從1萬萬數到1萬萬個1萬萬，稱之為二階數；從1萬萬個1萬萬數到1萬萬個1萬萬個1萬萬，稱之為三階數……最后數到一萬萬階數.

雖然蓋羅平日里常常向阿基米德學數學，但他還是有點頭暈.阿基米德告訴朋友，根據他的證明，若將沙粒看成罌粟殼那么大，裝滿整個宇宙不超過1000個七階數（1后面有51個零）.而裝滿整個阿里斯塔克斯恒星球的沙粒數不超過10 000 000個八階數（1后面有63個零）.

蓋羅強烈要求阿基米德將其大數計數法和計算沙粒的計算方法寫成書，讓更多的希臘人學習.

計算沙粒數時，要面對1051這個大數，但在17世紀以前，人們并沒有簡便的大數記法.阿基米德采用“萬萬進”的記數方法表達了這個大數，并提出了一個定理——用今天的記號，就是10m×10n=10m+n.

在阿基米德之后，古希臘數學家丟番圖（Diophantus，3世紀）、阿拉伯數學家阿爾·卡拉吉（al-Karaji，953～1029）、意大利數學家斐波那契（L.Fibonacci，1170～1250）等都采用“加法法則”來記四次及更高次冪，如用“平方——平方”表示四次冪，用“平方——立方”表示五次冪等等.

15～16世紀的歐洲數學家則通過等差和等比數列之間的對應關系來呈現同底數冪的運算法則.德國數學家斯蒂菲爾（M.Sifel，1487～1567）在《整數算術》中討論了四種對應關系：冪的運算中的乘、除、乘方、開方分別對應于四則運算中的加、減、乘、除.以第二種為例，同底數冪的除法對應的是指數相減（如2m÷2n=2m-n）.

1637年法國數學家、哲學家笛卡爾（R.Descar，1596～1650）在《方法論》附錄（《幾何學》）中創用了冪的新記號：如用a3表示a·a·a，用a4表示a·a·a·a等等.有了笛卡爾的新記號，同底數冪運算等冪的運算法則的導出就變得自然而然了.

數學之精妙在于人們在生活中的不斷探索、思考、發現和應用，站在巨人的肩上我們可以看得更高、更遠.同學們，讓我們擁抱數學，明天你也許就是一位“數學巨人”.

（作者單位：江蘇省鹽城市中興實驗學校）