非剛性軸承潤滑與變形耦合下的軸系校中研究

蔣 平，朱漢華，嚴新平，朱軍超

（武漢理工大學 能源與動力工程學院，武漢 430063）

非剛性軸承潤滑與變形耦合下的軸系校中研究

蔣 平，朱漢華，嚴新平，朱軍超

（武漢理工大學 能源與動力工程學院，武漢 430063）

軸承油膜是影響軸系校中的動態因素之一。在油膜剛度的計算過程中，較多學者采用船級社推薦值，或將軸承考慮為剛性，利用差分法或有限元法對其進行求解。文章對軸承彈性變形與油膜壓力進行耦合分析，獲得最優小擾動量，得到更符合實際情況的油膜剛度，利用vb.net編寫有限元軸系校中軟件并對某油船軸系進行校中計算，分析了軸承油膜對軸系校中的影響程度，可為船舶軸系校中計算及檢驗提供參考。

軸系校中；有限元法；油膜剛度；vb.net

0 引 言

軸系是船舶的重要組成部分，其安裝的好壞與否直接影響船舶的運行狀態。軸系校中常使用的方法主要有：傳遞矩陣法、三彎矩法和有限元法。在上世紀九十年代，由于計算機運行速度不高，傳遞矩陣法成為當時最流行的方法，許多學者應用該方法進行分析討論[1]。大連海事大學的魏海軍[1]將艉軸多支承、油膜剛度利用傳遞矩陣法一一進行分析。在本世紀初，周瑞平[2]對三彎矩法進行了改進，加入了影響軸系校中的多個因素，提高了三彎矩校中的準確性。隨著計算機的高速發展，有限元法計算速度和精度得到巨大的提升，大連理工大學的曹學濤和劉玉君等[3]利用商用有限元軟件對軸系進行了校中分析，認為該方法的計算結果具有很高的精度，且計算時間也不是很長。

之前，許多船級社和學者對軸系校中的影響因素進行了大量研究。DNV船級社在校中計算中考慮了軸承支座的熱變形，同時也在著手研究船體、支承變形和螺旋槳水動力對軸系校中的影響[4]。中國船級社提出了在校中計算時需要考慮齒輪箱中的齒輪嚙合力影響[5]。波蘭船舶研究中心的Lech Murawski將船體剛度、軸承剛度、油膜剛度進行耦合，分析剛度對軸承反力的影響[6]。荷蘭的Machine Support公司在其軸系設計軟件ShaftDesigner的軸系校中模塊中加入了后艉軸承水力潤滑的影響。

隨著船舶的巨型化發展，油膜潤滑對軸系校中的影響愈顯突出。DNV船級社在校中計算中給出油膜剛度推薦值。荷蘭Machine Support公司在其船舶推進軸系設計軟件Shaft Designer中將水力潤滑與接觸應力進行耦合分析，獲得了更符合實際的應力分布圖。武漢理工大學的周瑞平利用有限差分法求解了軸承剛度。江南造船集團公司的耿厚才利用數值計算方法獲取了油膜的剛度與阻尼并計算了彈性支承下的軸承反力。

1 軸系校中有限元法

1.1 坐標系的建立

以軸系螺旋槳末端為坐標原點，軸系理論中心線為x軸，正向指向船艏，過原點垂直x軸向上為z軸正向；根據右手法則，y軸方向為垂直紙面向內。P為集中載荷，q為均布載荷，Zb為軸承變位，θ為軸截面轉角，Q為軸截面剪力，M為彎距，m為外加力偶，R為軸承支反力。一般取與z軸同向為正，順時針方向為正，其中軸承位移一般取相對軸系理論中心線向下為正，向上為負。

1.2 有限元剛度矩陣

在推導船舶軸系單元剛度矩陣的時候，將單元看作為一段梁單元，利用勢能法、伽遼金法均可得到梁單元的剛度矩陣。在國內外的很多著作中[7]，都對其進行了詳細的推導，故本文就不再進行推導，只給出最終結果。軸系單元剛度矩陣可以表示如下：

式中：E為單元材料的彈性模量，船舶軸系材料E一般取2.06×1011Pa；I為單元對z軸的慣性矩；L為單元的長度。

在獲得了各個軸段單元剛度矩陣后，將這些剛度矩陣按一定規則進行處理，使其組成一個總的剛度矩陣K。

1.3 外部載荷的處理

由軸系校中所建立的模型發現，作用于軸系上的外部載荷分為均布載荷和集中載荷兩大類。集中載荷作用于軸系節點上，可以直接作為載荷向量分量；而均布載荷平均分布于軸段上，需要進行等值節點力的轉換才可以進行下一步的計算。根據結構力學的相關知識，對均布載荷進行等效節點力的轉換，使其能夠產生相同的效果：作用于長為L軸段上的均布載荷q等效于分別作用于軸段兩端的集中力qL/2和彎矩qL2/12。

1.4 約束條件的設置

船舶軸系校中最終是要將軸系敷設成某種曲線狀態。因此在校中計算過程中，需要對軸承位移進行修改。在有限元校中方法中，對軸系支承位移進行修改主要有兩種方法：置大數法、置換法。置大數法是一種近似計算的方法，其計算精度沒有置換法高；另一方面，置大數法由于需要將整體剛度矩陣中的某一值乘上一個足夠大的數，從而導致該剛度矩陣的模在Matlab中顯示為無窮大，進而無法進行求逆運算，作者通過在Matlab中驗證發現某些剛度矩陣無法通過置大數法進行求解。

船舶軸系整根軸受力與變形關系：

式中：δ=［δ1,δ2,…δ2n］T；F=［F1,F2,…F2n］T

式中：K整個結構（軸系）的剛度矩陣；δ為作用于每個節點上的線位移和角位移；F為作用于每個節點上的集中力和彎矩；n為所劃分節點個數。

將（2）式展開，代入邊界條件并進行相關變換后可得：

式中：k為軸系剛度矩陣中的各個元素；δ為作用于每個節點上的線位移和角位移；F為作用于每個節點上的集中力和彎矩；b為第r處節點所產生的軸承變位。

通過（3）式變換，當有軸承變位時，只有載荷量發生變化，而系統的剛度矩陣沒有任何改變，可以達到簡化計算的效果。置換法是一種通用的處理方法，不管單元剛度矩陣如何變化，只要結構的幾何構造正確，集成總體剛度矩陣之后總是可以通過置換法使得總體剛度矩陣為非奇異，同時這種方法也存在編程繁瑣的弊端。

2 軸承潤滑與變形耦合基本原理

2.1 雷諾方程及其求解[8]

穩定運轉的向心滑動軸承雷諾二維方程：

式中：h為徑向油膜厚度；U為軸頸線速度；p為油膜分布壓力。

式中：r為軸頸半徑；d為軸頸直徑；L為軸承長度；Cr為軸承半徑間隙；λ，φ為軸承軸向和圓周方向無量綱坐標，）；H為無量綱油膜厚度；P為無量綱油膜壓力。

本文分析對象為穩定運轉的向心滑動軸承，其油膜厚度是穩定不變的，故在對（5）式進行差分迭代計算之前可給出油膜的厚度方程，將此方程無量綱處理后可得[9]：

式中：ε為各個截面上的軸頸偏心率，φ為偏位角。

將油膜離散為長方形網格，行列分別表示圓周方向和軸向方向，將偏微分方程離散為代數式形式，進而將各節點油膜壓力用已知量進行表示，再加入各個邊界條件，便可對其進行求解，通過反復迭代，便可得到滿足精度要求的油膜壓力分布。編程思路如圖1所示。

本文在進行雷諾方程求解的時候，為了提高計算精度，同時加快計算速度，在對求解區域離散時采用了半步長插入形式；在進行迭代求解時，采用了超松弛算法（SOR）。

2.3 軸承潤滑與變形的耦合[10，13-14]

為了能夠達到將軸承彈性變形與油膜壓力兩者進行耦合分析的目的，在對軸承變形進行計算時，采用了有限元的思想。

對求解區域 （軸承內表面）劃分網格，網格大小與形式保持與上述求解油膜壓力分布時所劃分的網格一致。在獲得了油膜各個節點壓力后，將這些壓力以外部載荷形式作用于已進行了有限元網格劃分的軸承各節點上，加入符合實際的約束，進行有限元求解獲得相應的軸承表面位移變化Δh。將此Δh疊加到最初油膜厚度中，再次進行雷諾方程求解，以此不斷循環，直至達到相應精度。編程思路如圖2所示。

2.4 油膜剛度計算算例

根據上述方法，對一艘油船后艉軸承油膜進行了計算，該船后艉軸承主要參數如下：軸承寬1 180 mm，軸頸外徑548 mm，軸承半徑間隙0.5 mm，軸頸偏心距0.23mm。采用Matlab軟件處理可獲得未考慮軸承變形油膜壓力分布圖、考慮軸承變形油膜壓力分布圖以及考慮軸承變形軸承內表面變形圖。

圖1 雷諾方程求解Fig.1 Solution of Reynold’s equation

圖2 軸承變形與潤滑耦合分析Fig.2 Analysis of coupling bearing deformation with lubrication

圖3 耦合計算結果Fig.3 Results of coupling calculation

在Matlab中調用已編制的m文件，可以獲得不考慮軸承變形與考慮軸承變形這兩種情況下的無量綱油膜壓力峰值、無量綱最小油膜厚度以及計算所耗的時間，具體數值如表1所示。

表1 不同因素下的油膜參數Tab.1 Oil film parameters under different factors

由表1可以看出：在考慮了軸承的彈性變形之后，油膜壓力明顯變小；由于軸承產生彈性變形，導致了最小油膜厚度變大；本文在求解中發現考慮軸承彈性變形的計算時間遠遠大于不考慮軸承變形的計算時間，這主要是因為計算中需要進行六面體八節點單元的剛度矩陣計算與組裝，而這一過程需要大量計算時間。

在進行計入油膜影響的船舶軸系校中計算前，需要計算出油膜的平均剛度，而油膜剛度的計算分為差分法和有限元法兩種。在利用差分法進行油膜剛度計算時，小擾動量的選擇決定著油膜剛度的正確與否。本文中在1×10-1mm～1×10-10mm之間平均選取10個小擾動量，計算了在不同擾動量下的油膜平均剛度。

由表2可以看出，隨著小擾動量Δy逐漸變小，潤滑油的油膜剛度也逐漸變小，當小擾動量小到某一數值時，潤滑油的油膜剛度將基本不再變化，認為此時的小擾動量為最佳值，可以利用該值來求解油膜剛度。本文中，認為最佳小擾動量Δy為1×10-5mm。較不考慮軸承彈性變形，在考慮了軸承彈性變形之后的油膜剛度比前者略大。在本文的校中計算中，取考慮了軸承變形的油膜剛度2.196 450×108N/m。

3 實船分析

根據有限元軸系校中原理，作者利用vb.net編制了軸系校中軟件，軟件主要輸入數據有：各個軸段的密度、浮力系數、外徑及內徑等。主要輸出數據為：直線校中結果、軸承影響系數、合理校中結果等。

本文以一艘油船軸系為例，利用自編的有限元軸系校中軟件進行了計算，將油船數據輸入后，可以直接在輸出文件中得到軸承的影響系數如表3所示。

在計及油膜影響時，引入上述2.3中的油膜剛度計算方法，利用有限元的校中方法，計算了油膜影響下的各個軸承的負荷情況。

由表4可以看出：考慮了彈性軸承的潤滑影響之后，軸系合理校中的各個軸承負荷與不考慮任何影響因素的軸承負荷相比分別變化了-9.074%、2.983%、-6.787%、2.096%和-1.746%。可見，當軸承負荷較大時，油膜厚度減小，相當于作用在軸系上的等效軸承變位減小，使得軸承負荷相應地減小；反之亦然。在軸系校中中，計入油膜影響后，增加了軸系的柔度，從而實現了軸系通過自身對軸承負荷進行均勻調配，保證了軸系的安全性與穩定性。

4 結 論

（1）在本文油膜剛度計算過程中，將油膜壓力與軸承變形耦合分析并取小擾動量為1×10-5mm可以獲得更接近實際情況的油膜剛度。油膜剛度值一般保留三位有效數字即可滿足軸系校中計算的要求，而通過其他算例的計算發現，一般取小擾動量為1×10-5mm可以保證剛度精確到三位有效數字。

（2）在油膜潤滑計算中，將軸承彈性變形與油膜潤滑進行耦合分析。即將有限元法與差分法進行組合，采用耦合問題的方法進行求解，計算結果更符合實際情況。該方法具有計算精度高，結果更合理的優點，但是計算時間較長。

（3）在軸系校中中，計入軸承潤滑油膜影響后，實現了軸系通過自身對軸承負荷進行均勻的調配，保證了軸系校中安全性與穩定性。

[1]魏海軍,王宏志.船舶軸系校中多支承問題研究[J].船舶力學,2001,5(1):49-54. Wei Haijun,Wang Hongzhi.Study on multi-bearings of shipping shaft system alignment[J].Journal of Ship Mechanics, 2001,5(1):49-54.

[2]周瑞平.超大型船舶推進軸系校中理論研究[D].武漢:武漢理工大學,2005. Zhou Ruiping.The theoretic studies on the propulsion shafting alignment of ultra-large vessels[D].Wuhan:Wuhan University of Technology,2005.

[3]曹學濤,劉玉君,李艷君,鄧艷萍.基于ANSYS的船舶軸系校中的雙向優化研究[J].造船技術,2009,289(3):11-15. Cao Xuetao,Liu Yujun,Li Yanjun,et al.Research onmutual optimization of shafting alignment based on ANSYS[J].Marine Technology,2009,289(3):11-15.

[4]陸金銘,周海港,顧衛俊,馬 捷.船舶軸系動態校中軸承油膜的影響計算[J].船舶工程,2009,31(6):69-72. Lu Jinming,Zhou Haigang,Gu Weijun,et al.Calculation of the influences ofmarine shafting dynamic alignment affected by bearing oil film[J].Ship Engineering,2009,31(6):69-72.

[5]中國船級社.船上振動控制指南[S].2011.

[6]Lech Murawski.Shaft line alignment analysis taking ship construction flexibility and deformation into consideration[J].Marine Structures,2005,18(1):62-84.

[7]Daryl Logan.有限元方法基礎教程[M].北京:電子工業出版社,2003.

[8]朱漢華,劉焰明,劉正林,等.船舶艉軸承變形對其承載能力影響的理論及試驗研究[J].潤滑與密封,2007,32(6):12-14. Zhu Hanhua,Liu Yanming,Liu Zhenglin,et al.Theoretic and experimental research on the influence of ship stem bearing deformation to its carrying capacity[J].Lubrication Engineering,2007,32(6):12-14.

[9]劉正林,周建輝,劉 宇,陳汝剛.計入艉軸傾角的船舶艉軸承液膜壓力分布計算[J].武漢理工大學學報,2009,31 (9):111-113. Liu Zhenglin,Zhou Jianhui,Liu Yu,et al.Compution on pressure distribution of stern bearing liquid film reckoning in inclination of stern shaft[J].Journal ofWuhan University of Technology,2009,31(9):111-113.

[10]de Kraker A,van Ostayen Ron A J,Rixen D J.Calculation of stribeck curves for(water)lubricated journal bearings[J]. Tribology Internartional,2007,40(3):459-469.

[11]Class N K.Guidelines on shafting alignment[K].2006.

[12]SchifferW.Advancedmethods for static and dynamic shafting caculation[J].Brodogradnja,2007,58(2):158-164.

[13]劉志峰,湛承鵬,趙永勝,李小燕,夏龍飛,馬建川.傾斜狀態下靜壓油墊承載性能研究[J].工程力學,2015,32(5): 208-212. Liu Zhifeng,Zhan Chengpeng,Zhao Yongsheng,Li Xiaoyan,Xia Longfei,Ma Jianchuan.Research on the bearing performance of hydrostatic oil pad under tilting condition[J].Engineering Mechanics,2015,32(5):208-212.

[14]Ropars P,Desceliers C.Amodal strategy devoted to the hidden state variablesmethod with large interfaces[J].ComputationalMechanics,2015,55(5):1-14.

Research on bearing lubrication and deformation on shafting alignment

JIANG Ping,ZHU Han-hua,YAN Xin-ping,ZHU Jun-chao
(Energy and Power Engineering,Wuhan University of Technology,Wuhan 430063,China)

In the research of the influence of shafting alignment,rigidity of bearing oil film is one of the dynamic factors.In the calculation of rigidity of bearing oil film,most researchers used the recommended value of Classification Society or considered the bearings as rigid to solve by the finite differencemethod or finite elementmethod.In this paper,the coupled analysis of the bearing elastic deformation and pressure of oil film is carred out,The best small disturbance and most realistic rigidity of bearing oil film are obtained.The shafting alignment program with Visual Basic is developed and the shafting of a tanker is calculated,which could provide reference to the calculation and survey of shaft alignment.

shaft alignment;finite elementmethod;oil film stiffness;vb.net

U664.21

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.02.011

2016-09-23

國家自然科學基金重點項目（51139005）和校研究生創新基金（2012-zy-045）資助

蔣 平（1987-），男，碩士研究生，E-mail:jsczjp2000@163.com；朱漢華（1968-），男，教授，博士生導師。

1007-7294（2017）02-0211-07