基于Fancher模型的鋼板彈簧動剛度擬合精度研究＊

劉向陳偉趙景山嚴鋒毛竹君

（1.東風商用車有限公司技術中心，武漢 430056；2.清華大學，北京 100081）

基于Fancher模型的鋼板彈簧動剛度擬合精度研究＊

劉向1,2陳偉1趙景山2嚴鋒1毛竹君1

（1.東風商用車有限公司技術中心，武漢 430056；2.清華大學，北京 100081）

基于Fancher模型采用最小二乘算法實現了鋼板彈簧動剛度擬合，仿真與試驗對比結果表明，Fancher模型具有較高的擬合精度，能夠較好地模擬鋼板彈簧的遲滯特性。進一步基于不同組數和行程的試驗結果進行擬合精度研究，結果表明，基于2組試驗數據即能夠實現高精度擬合。結合2組動剛度試驗結果和Fancher模型，通過參數辨識即可獲取鋼板彈簧動剛度特性，能夠達到顯著降低試驗成本、縮短試驗周期的目的。

1 前言

鋼板彈簧非獨立懸架在商用車中廣泛采用，其剛度特性對整車平順性和操縱穩定性有直接影響[1]，因此，在整車開發中，其剛度的合理設定非常重要。然而由于干摩擦導致的鋼板彈簧載荷-變形曲線具有明顯的遲滯特性，其動剛度具有顯著的幅變特性[2]：在小變形時的乘適剛度（Ride Stiffness）是大變形時的名義剛度（Nominal Stiffness）的數倍[3]。鋼板彈簧動剛度的幅變特性導致系統固有頻率偏離原始設計值，不利于整車平順性建模與分析。因此，建立高精度的鋼板彈簧模型對整車設計具有非常重要的意義。

鋼板彈簧的建模方法主要有基于板簧結構的三連桿模型[4]、Beam梁模型[5]和有限元模型[6]，以及基于板簧特性的Fancher模型[7～8]。在工程應用中，這些模型均需要結合試驗進行對標或參數識別，因此動剛度試驗是高精度建模過程中必不可少的內容。為提高模型對標精度，要求獲取不同行程多組試驗結果[4～9]，這勢必導致試驗周期長、成本高。如何通過建模的方法減少試驗次數、降低試驗成本、提高建模效率，在工程應用中具有巨大的價值和意義。文獻研究表明，Fancher模型能夠以較高的精度模擬鋼板彈簧的非線性遲滯特性[8～9]。本文旨在通過研究Fancher模型的擬合精度，探究減少鋼板彈簧動剛度試驗的方法。

2 Fancher模型參數識別

式中，Fs為垂直載荷；FU為加載邊界；FL為卸載邊界；Δs為變形量；β為加載/卸載延遲系數；

2.1 Fancher模型

加載與卸載邊界獲取方法：從垂向載荷為0時，緩慢加載至最大行程，然后卸載至0即可[3]。最大行程一般取2～3倍軸荷/板簧靜剛度，且不大于限位塊行程。目前常用的簡化Fancher模型為[1]：

假設仿真步長較短，用一階差分近似代替微分方程，進而可得到[8]：

式中，i為載荷點編號。

延遲系數β用來描述和調整過渡邊界的形狀，考慮到加載和卸載的過渡邊界形狀不一定相同，因此有必要采用加載延遲系數βU和卸載延遲系數βL分別描述[3,8～9]。一般將過渡邊界95%對應的懸架變形量定義為3β[9]。

教師要求學生從遺傳物質的“信息流”角度理解蛋白質與核酸的關系，理解生命歷程中基因選擇性表達的具體過程：在特定時間DNA分子上特定的基因轉錄為mRNA，核糖體以mRNA為模板合成肽鏈，該過程中需要tRNA運載不同的氨基酸，mRNA密碼子與tRNA的反密碼子相互識別，決定肽鏈的氨基酸組成及排列順序。蛋白質結構多樣性的根本原因是基因的多樣性。

加卸載邊界FU和FL可以采用多項式進行數據擬合得到：

式中，系數CUi（i=0，1，…，n）和CLi（i=0，1，…，n）由試驗數據擬合得到。

2.2 參數識別方法

采用上述Fancher模型進行描述的關鍵在于參數識別，該模型中需要識別參數為：延遲系數βU和βL；需擬合參數CUi和CLi。Fancher模型參數識別流程如圖1所示，首先對原始數據進行截取和處理，然后通過多項式擬合得到加載和卸載邊界參數CUi和CLi，并根據加載和卸載邊界導數均值點獲取延遲系數初值βU0和βL0，最后基于試驗與擬合載荷誤差最小，優化得到延遲系數βU和βL，其中優化目標函數為：

式中，n為不同鋼板彈簧行程試驗組數量；m為每組試驗中數據采集點數量；Fd為試驗載荷。

圖1 Fancher模型參數識別流程

為了準確描述板簧非線性動剛度特性，需取多組行程的試驗數據，如何通過盡可能少的試驗數據獲取模型的準確參數是降低試驗成本、提高效率的關鍵。

3 鋼板彈簧動剛度擬合

針對某商用車前懸架鋼板彈簧進行了多組動剛度試驗，試驗行程分別為3 mm、5 mm、10 mm、15 mm和20 mm，試驗細節不再贅述。

以10 mm行程為例，試驗獲取的時間-變形曲線、時間-載荷曲線及變形-載荷曲線分別如圖2所示，由試驗結果可知，試驗加載頻率對載荷無明顯影響，因此可以采用Fancher模型進行模擬。不同行程試驗鋼板彈簧變形-載荷曲線如圖3a所示，采用一次線性擬合得到的行程-剛度曲線如圖3b所示。由試驗結果可知，隨著懸架行程增加、剛度減小，板簧剛度具有明顯的幅變特性。

圖2 10 mm行程試驗結果

圖3 鋼板彈簧動剛度試驗結果

3.2 動剛度擬合

根據圖1所示的參數識別流程，可以得到鋼板彈簧行程-載荷曲線擬合結果：βU=3.202 9、βL=3.101 4。基于Fancher模型的擬合結果與試驗結果的對比如圖4所示，由圖4可知，擬合結果與試驗結果具有較高的重合度。為了定量描述擬合精度，定義擬合平均誤差為：

式中，Fs,i為第i點擬合載荷；Fd,i為第i點試驗載荷。

圖4 基于Fancher模型的擬合結果與試驗結果的對比

基于5組試驗數據得到的擬合平均誤差如表1所示，由結果可知，板簧行程越大，擬合精度越高，其中20 mm行程擬合平均誤差僅1.01%，該誤差主要源于加載和卸載邊界采用多項式擬合的誤差。

表1 Fancher模型擬合平均誤差

4 擬合精度分析

由前述擬合結果可知，Fancher模型能夠高精度地模擬板簧非線性遲滯特性，不過該模型需要結合多組板簧動剛度試驗。為了達到降低試驗成本、提高試驗效率的目的，研究了基于少組試驗的擬合精度。

考慮Fancher模型必須獲取最大加載和卸載邊界曲線，因此結合本文，必須采用行程最大為20 mm的試驗數據；另一方面，為了盡可能提高效率，需要擬合試驗參數組數盡可能少。分別研究了采用1組、2組和3組試驗數據時的擬合精度，相應的擬合參數和參數識別結果如表2所示。

表2 不同組數和行程試驗參數擬合結果

進一步，根據式（6）可以求得不同組試驗擬合平均誤差如表3所示，其中編號與表2中對應。由結果可知，僅采用1組（20 mm）試驗結果時，能夠實現20 mm行程高精度擬合，擬合平均誤差僅為0.88%（誤差主要為式（4）多項式擬合誤差），而其他組行程擬合精度非常低，無法滿足建模要求。相應的擬合行程-載荷曲線如圖5所示，由圖5可知，由于加載和卸載延遲系數為0，無法模擬載荷過渡段曲線。

表3 不同組試驗參數擬合平均誤差 %

圖5 擬合結果與試驗結果的對比（1組數據）

當采用2組或3組試驗結果進行擬合時，擬合平均誤差與采用5組試驗結果擬合非常接近，不同行程擬合誤差最大差值為0.88%。分析結果表明，僅需2組試驗結果即可達到較高的擬合精度。在實際應用中，可以將多組試驗縮減為2組試驗，達到大幅縮短試驗周期的效果。

5 結論

本文首先提出了基于Fancher模型的板簧動剛度參數識別方法，并結合試驗參數實現了某商用車前懸架板簧動剛度的高精度擬合。在此基礎上，分析了不同組數和行程試驗數據擬合得到的載荷曲線與試驗載荷曲線的平均誤差。研究結果表明，最少僅需要2組試驗數據（其中一組必須為板簧最大行程試驗）進行參數識別，即可實現基于Fancher模型的板簧動剛度高精度擬合。這一方法為板簧動剛度試驗縮短周期和提高效率提供了理論支撐。

1 Salaani M K,Heydinger G J,Grygier P A.Heavy Tractor-Trailer Vehicle Dynamics Modeling for the National Advanced Driving Simulator.SAE 2003 World Congress& Exhibition，Detroit，2003.

2 盧蕩.鋼板彈簧干摩擦建模與仿真.計算機智能與工業應用國際會議，武漢，2010.

3 齊海政.高品質商用車動力學建模關鍵問題研究.長春：吉林大學，2011.

4 景立新，郭孔輝，盧蕩.鋼板彈簧三連桿模型參數辨識研究.汽車技術，2010（12）：10～13.

5 韓翔.基于ADAMS的鋼板彈簧動力學建模方法及性能仿真.機械設計與制造，2009（10）：220～222.

6 葉南海，王利，閆彩偉，等.不同摩擦系數的少片變截面鋼板彈簧性能分析.湖南大學學報：自然科學版，2015（8）：29～33.

7 Fancher P,Ervin R,MacAdam C,et al.Measurement and Representation of the Mechanical Properties of Truck Leaf Springs,SAE Technical Paper 800905，1980.

8 張紹龍.汽車懸架系統特性建模方法研究.長春：吉林大學，2011.

9 盧萍萍，逄淑一，齊海政，等.用于品質動力學仿真的懸架非線性承載模型.江蘇大學學報：自然科學版，2011，32（5）：502～505.

（責任編輯 斛 畔）

修改稿收到日期為2016年10月10日。

Fitting Precision Analysis on the Dynamic Stiffness of Leaf Spring Based on the Fancher Model

Liu Xiang1,2,Chen Wei1,Zhao Jingshan2,Yan Feng1,Mao Zhujun1
（1.Dongfeng Commercial Vehicle Technical Center,Wuhan 430056;2.Tsinghua University,Beijing 100081）

The dynamic stiffness of leaf spring was fitted based on the Fancher model through least squares algorithm.The comparison between simulation and test has revealed that the Fancher model could simulate the hysteresis characteristics of leaf spring with high fitting precision.The fitting precision research was carried out based on different groups and mileage,and the results indicated that the dynamic stiffness of leaf spring could be simulated with high precision by considering only two groups of test data.As a result,the dynamic model of leaf spring could be established by combining two groups of test data and parameter identification of Fancher model,which will lead to obvious cost and time reduction of test.

Leaf spring,Fancher model,Dynamic stiffness,Hysteresis characteristics,Fitting precision

鋼板彈簧 Fancher模型 動剛度 遲滯特性 擬合精度

U463.1

A

1000-3703（2017）03-0038-04

中國博士后科學基金項目（2016M602268）；湖北省重大科技創新計劃（編號2014AAA003）。