SaintVenant方程組CrankNicolson格式離散與學習控制建模

李光 戴喜生

摘要：研究了SaintVenant方程組的CrankNicolson格式離散化并建立學習控制模型.首先給出了表示明渠流水流質(zhì)量和動量守恒的SaintVenant方程組，并線性化；其次，采用CrankNicolson格式進行離散，得到了無條件穩(wěn)定的離散化方程組；最后通過離散化后得到的狀態(tài)空間方程，建立了基于迭代學習控制的數(shù)學模型，為后續(xù)進一步研究算法的收斂性奠定了基礎.

關鍵詞：SaintVenant方程；離散化；CrankNicolson格式，迭代學習控制

中圖分類號：TP273文獻標識碼：ADOI：10.3969/j.issn.10036199.2017.01.002

1引言

現(xiàn)代渠道系統(tǒng)一般由明渠渠段構成[1]，1871年圣·維南（Saint Venant）得到圣維南非恒定流偏微分方程（SaintVenant方程）奠定了明渠非恒定流的理論基礎，之后很長時間雖很多學者試圖改進SaintVenant方程（圣維南方程），許多專家學者仍多以圣維南方程組進行渠道運行自動控制建模[2].圣維南方程組屬于一階擬線性雙曲型偏微分方程，目前為止還無法求得其精確解析解，在實際中對方程組的處理常采用數(shù)值解的方法將方程組進行離散化，把微分方程連續(xù)的定解域離散到定解域中的一些網(wǎng)格結(jié)點，得到一組代數(shù)方程[2-4].本文主要內(nèi)容是探究如何用CrankNicolson（CN）格式離散圣維南方程組，從而得到基于迭代學習控制的數(shù)學模型.圣維南方程組的離散方法有有限元法、有限差分法、特征線法等[2].有限差分法中的CN格式為顯式-隱式混合格式，結(jié)合顯式和隱式格式的優(yōu)點，具有無條件穩(wěn)定，精度高于相應的顯式和隱式格式等特點[5].文獻[6]中對熱傳導方程的離散采用的是CN格式離散的方法.文獻[7]中作者分析了顯式、隱式和CN三種差分格式對土壤溫度日變化的模擬能力，對比結(jié)果表明CN方案比隱式方案計算誤差小，且絕對穩(wěn)定.文獻[8]中運用CN格式方法對耦合非線性偏微分系統(tǒng)進行了處理.還有一些文獻也用到了CN方案，如[9-10].雖然CN格式離散用于偏微分系統(tǒng)已多見報道，但CN格式在具有耦合特性的圣維南方程組渠道系統(tǒng)上的應用尚未見報道.

明渠渠道系統(tǒng)的控制方法基于迭代學習控制.迭代學習控制適用于具有重復運動性質(zhì)的被控系統(tǒng)，其目標是實現(xiàn)有限區(qū)間上的完全跟蹤.通過輸出信號與給定期望的偏差，修正不理想的控制信號進行下一次迭代，直到對系統(tǒng)進行完全跟蹤[11].明渠渠道系統(tǒng)常用于農(nóng)田灌溉以及調(diào)水工程，其輸水過程呈現(xiàn)出時間上的周期性、過程上的重復性.例如一片農(nóng)田一年中某段時期每年的需水量大致是接近的，每年的需水量具有周期性.在農(nóng)田灌溉領域迭代學習控制已有應用.文獻[12]基于迭代學習控制方法控制一個周期性的分布參數(shù)系統(tǒng)，通過對中心支軸噴霧灌溉設備的控制，達到農(nóng)田的最優(yōu)灌溉.

綜上所述，本文采用CN格式對圣維南方程組進行離散化，并建立基于迭代學習控制方法的渠道系統(tǒng)數(shù)學模型.

2系統(tǒng)描述

文獻[13]考慮渠道上下游為常水位水庫的緩坡單渠渠道.節(jié)制閘門的開啟會引起渠道水流流態(tài)變化，此時為漸變非恒定流用以水位Y（x，t）、流量Q（x，t）為變量的圣維南方程組來描述，水位和流量是關于空間和時間的變量.此方程是非線性雙曲型偏微分方程：

3學習控制建模

文獻[16]中，作者將熱流方程在時間上進行前向差分，在空間上進行有限差分，由此離散化后得到的方程形如（19a）式偏差分的矩陣形式，隨后對得到的線性方程組進行迭代解，用數(shù)值解的方法進行求解.本文對于C-N離散化后的渠道系統(tǒng)基于迭代學習控制方法進行控制.現(xiàn)在假設用i表示N個時間步長，閘門控制渠道水的流量，利用前一次操作時測得的流量和水深與期望流量和水深的誤差信息來修正閘門的下一次調(diào)控，如此反復調(diào)控閘門直到水渠水的流量與水深完全跟蹤上期望值.試驗中研究的控制系統(tǒng)由于每次試驗重復運行時所表示的函數(shù)關系不變，是可重復的，因此我們用整數(shù)k表示每次試驗重復操作的次數(shù)，其中k=0，1，2，3….

當?shù)趉次試驗滿足f（ek（i））<ε時，試驗結(jié)束，當不滿足這一條件時將繼續(xù)進行第k+1次試驗.

5結(jié)論

本文首先對圣維南方程組的離散方法作了介紹，闡述了C-N格式離散圣維南方程組的優(yōu)點.由于線性系統(tǒng)相比非線性系統(tǒng)更易于分析與設計，借用現(xiàn)有研究成果對非線性的圣維南方程組進行了線性化；隨后，引入C-N格式，對線性化后的圣維南方程進行離散化；接著，引入疊加向量，將與離散時間和空間有關的二維方程化為了只與離散時間有關的一維方程，得到了狀態(tài)空間方程；最后，對狀態(tài)空間方程進行了迭代學習控制建模，為下一步算法的收斂性研究做鋪墊.

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