模擬電路的故障診斷與參數(shù)辨識代數(shù)方法

周啟忠， 謝永樂， 徐娟

(1.宜賓學院 物理與電子工程學院，四川 宜賓 644000； 2.電子科技大學 自動化工程學院，四川 成都 611731)

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模擬電路的故障診斷與參數(shù)辨識代數(shù)方法

周啟忠1，2， 謝永樂2， 徐娟1

(1.宜賓學院 物理與電子工程學院，四川 宜賓 644000； 2.電子科技大學 自動化工程學院，四川 成都 611731)

針對模擬電路難以實現(xiàn)故障參數(shù)辨識的問題，從代數(shù)算法角度，提出一種基于主本征值和Frobenius范數(shù)的模擬電路故障診斷與參數(shù)辨識法。該方法把被測電路輸出響應的采樣序列組成一個方陣；求解該方陣的主本征值和Frobenius范數(shù)；根據(jù)測前仿真獲得的每個可能發(fā)生故障的器件相對應的主本征值和Frobenius范數(shù)變化趨勢線，以最小誤差為判據(jù)，確定最可能發(fā)生故障的器件，實現(xiàn)故障定位和參數(shù)辨識。實測結果表明：該方法可將故障定位和參數(shù)辨識一體化處理，與已有的幾種經(jīng)典算法相比，具有計算效率高、故障定位準確率高、參數(shù)辨識精度高的優(yōu)點。

模擬電路；參數(shù)辨識；故障診斷；本征值；Frobenius范數(shù)；故障定位

當今電子系統(tǒng)中80%的器件是數(shù)字的，但80%的故障發(fā)生在模擬器件上，而模擬電路的測試成本占總測試成本的80%[1]，所以模擬電路故障診斷的重要性日益突出。除故障定位外，在電路系統(tǒng)剩余壽命估計、故障辨識、元件失效機理分析等環(huán)節(jié)中，還需要對故障元件參數(shù)進行在線辨識以提供更豐富的信息。目前，高質量的模擬電路參數(shù)辨識方法鮮有報道。

早期的故障診斷方法可分為測前仿真法(simulation before test，SBT)和測后仿真法(simulation after test， SAT)[2]。近年來，人工智能算法和數(shù)字信號處理(digital signal processor， DSP)算法廣泛應用到故障診斷上，出現(xiàn)了既不屬于SBT，也不屬于SAT的智能算法，如：小波分析法具有良好的時頻分辨率，但計算復雜[3-4]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡法利用計算機強大的運算能力快速簡單地完成診斷過程，但需要充足的訓練樣本[5]。支持向量機的學習策略靈活，但在選擇典型特征進行訓練分類上存在困難[6]。遺傳算法收斂性好，魯棒性高，計算時間少，但計算過程中的參數(shù)選擇依靠經(jīng)驗確定，容易影響診斷效果[7]。模糊算法計算量小，缺點是依靠經(jīng)驗獲得的算子和判斷準則會降低故障診斷準確率[8]。專家系統(tǒng)法能快速獲得最佳診斷結果，但依賴于知識的獲得和累積過程，需要較強的專家系統(tǒng)的學習能力和自適應能力[9]。這些方法在模擬電路的故障檢測和故障定位方面取得了較好效果，但對模擬電路進行參數(shù)辨識的效果有待進一步提高。

代數(shù)學具有理論推導嚴密的特點，在實際工程問題的解決中得到廣泛應用，為了獲得較好的模擬電路故障定位和參數(shù)辨識效果，本文從代數(shù)角度提出了模擬電路故障診斷與參數(shù)辨識的新方法。

1 診斷和參數(shù)辨識的代數(shù)方法原理

后面稱這個方陣為響應矩陣A，它的行元素代表k倍下抽樣頻率的采樣值，列元素代表一個時間段內的連續(xù)采樣值。因此，響應矩陣的元素能體現(xiàn)輸出響應的變化，隨器件參數(shù)的變化而變化。記ΔY(nTs)為響應矩陣A的元素的擾動，矩陣擾動理論中的Rouché′s理論[10]表明：矩陣的本征值是矩陣元素的連續(xù)函數(shù)。若矩陣A=(aij)∈Cn×n，定義變量

那么，蓋爾圓盤定理[10]證明了矩陣A的所有本征值λ(A)滿足:

(1)

式(1)表明矩陣本征值的變化范圍由矩陣的元素決定，矩陣元素變化會引起矩陣本征值隨之變化。Ostrowski定理[10]給出了矩陣本征值擾動的上界與矩陣元素擾動量之間的關系，即

(2)

式中:λ′是矩陣(A+εB)的本征值，λ是矩陣A的本征值，ε是任意大于0的常數(shù)， n是矩陣的階。

式(1)和(2)表明：矩陣元素的變化量與矩陣本征值變化量之間存在一一對應關系。因為被測電路的響應矩陣元素受器件參數(shù)影響，所以器件參數(shù)與響應矩陣的本征值之間具有一定的對應關系。那么，利用通過測前仿真獲得響應矩陣本征值隨故障器件參數(shù)變化而變化的對應關系的數(shù)學模型后，根據(jù)實際電路輸出響應矩陣的本征值，可算出實際電路的器件參數(shù)值，從而實現(xiàn)故障診斷和參數(shù)辨識的一體化處理。

n階方陣有n個本征值，把所有本征值都納入計算，會增加計算成本。如果只用一部分本征值進行計算，又會丟失部分信息，降低故障診斷準確率和參數(shù)辨識精度。另外，因為測試誤差的影響和被測信號的多樣性，即使響應矩陣的元素全為實數(shù)，也可能存在非實數(shù)本征值而難以建立故障模型。如果直接用相應矩陣本征值進行故障診斷和參數(shù)辨識理論上可行，但實際效果不佳。

因為響應矩陣A的元素隨被測電路中可診斷器件參數(shù)的變化而變化，為了解決響應矩陣的本征值多而且本征值可能有虛部的問題，本文把響應矩陣的主本征值和Frobenius范數(shù)聯(lián)合，進行故障診斷與參數(shù)辨識。

量子力學理論表明可觀測物理量可以用一個厄密爾算符表示，并且該算符的主本征值是實數(shù)本征值[11]。另外，主本征值隨矩陣元素變化而變化的靈敏度較大。所以，用主本征值作為故障特征能獲得較好的參數(shù)辨識靈敏度，也能解決響應矩陣的本征值存在虛部的問題。

矩陣的Frobenius范數(shù)‖A‖F(xiàn)(下文簡稱F范數(shù))可表示為

即F范數(shù)的大小由矩陣的所有元素ai，j共同決定，而ai，j隨器件參數(shù)變化而變化，所以，F(xiàn)范數(shù)隨器件參數(shù)的變化而變化，用F范數(shù)作為故障特征既能體現(xiàn)輸出響應的變化，又能在一定程度上減少隨機誤差的影響。

可觀測物理量的響應矩陣的F范數(shù)和主本征值都是實數(shù)，被測電路的故障響應矩陣的F范數(shù)和主本征值均以被無故障響應矩陣的F范數(shù)和主本征值為中心上下偏移。被測電路的器件參數(shù)改變時，F(xiàn)范數(shù)和主本征值同時進行相同變化的概率比其中只有一個量變化相同的概率小。所以，聯(lián)合響應矩陣的F范數(shù)和主本征值進行故障診斷和參數(shù)辨識能獲得的故障診斷性能，比只用本征值或F范數(shù)作為故障特征獲得的故障診斷性能更好。

2 故障診斷和參數(shù)辨識的數(shù)學模型

把被測電路中n個待診斷的器件參數(shù)用n個向量x1，x2，…，xn組成的向量系X表示。設器件的標稱值為(x1，0，x2，0，…，xn，0)，電路在j時刻的n個器件的實際參數(shù)狀態(tài)記為x1，j，x2，j，…，xn，j，那么電路在第j時刻對應的m個輸出響應觀測量表示為Yi，j，(i=1，2，…，m)，這里的m個輸出響應觀測量既可以是一個測試點上的多個輸出響應(如電壓、相位或頻率等)，又可以是多個測試點上的輸出響應。被測電路在輸入激勵信號u=(u1，u2，…，ur)的作用下，輸出響應矢量Yi，j可以表示為

Yi，j=fi，j(x1，j，x2，j，…，xn，j，u1，u2，…，ur)

(3)

從式(3)求解x1，j，x2，j，…，xn，j后，若發(fā)現(xiàn)其中某一xi，j偏離其標稱值xi，0的范圍大于容差值上限，則該元件故障，故障參數(shù)為xi，j。當電路的測試點或測試觀測量較少時，即當m

考慮到實際電路發(fā)生故障往往是先從單個器件或單獨模塊開始，假設電路中的第i個器件的參數(shù)xi偏離標稱值大于容差范圍，其余各元件的參數(shù)都在標稱值的容差允許范圍內，激勵信號u保持不變，則式(3)可近似表示為

Yi=fi(x1，0，x2，0，…，xi，…，xn，0)

(4)

式(4)中只有一個未知參數(shù)xi，可以降低計算復雜程度。但實現(xiàn)參數(shù)辨識還存在三個問題： 1)實測電路中xi的位置信息是未知的，這需要進行更復雜的計算才有可能實現(xiàn)故障定位；2)受器件容差的影響，即使只有一個器件xi發(fā)生故障，器件參數(shù)實際值不等于(x1，0，x2，0，…，xi，…，xn，0)；3)函數(shù)fi(·)由電路結構和元件特性確定，獲得準確的fi(·)比較困難。

Li，j=V[xi，j]

(5)

(6)

(7)

(8)

3 減少容差影響的措施

3.1 減少容差對主本征值的影響

模擬器件的實際參數(shù)與標稱值之間存在容差。要確保故障診斷方法的有效性，必須考慮容差的影響。

響應矩陣A由被測電路輸出響應決定，設故障參數(shù)集為X，則A可以看是有限維實歐幾里得空間X上的實對稱線性映射。對X的任意j維線性子空間S(滿足dimS=j)， X滿足以下j-1個線性條件：

(x，fi)=o，i=1，…，j-1，

(9)

式中：fi是A的第i個本征值所對應的本征向量。根據(jù)：X的子空間在線性映射T下的像是U的子空間，如果dimU

式中：x∈X，標量積(x，Ax)和(x，x)是雙線性映射函數(shù)，取A的本征值從小到大依次為λ1，λ2，…，λn，則滿足

(10)

因為對任意i≤j，都有λi≤λj，故由式(10)可得

(11)

根據(jù)式(10)和(11)得

(12)

不等式(12)說明響應矩陣本征值的變化與器件參數(shù)x的變化之間具有較好的線性對應關系，所以可以通過線性校正，減少容差對主本征值的影響。

3.2 減少容差對F范數(shù)的影響

(13)

(14)

4 故障診斷與參數(shù)辨識過程

為了便于理解，首先根據(jù)故障模型方程(13)和(14)，對被測電路中僅有兩個待診斷器件(分別記為器件1和器件2)的情況進行介紹。

診斷原理如圖1所示(圖中虛線L1和L2表示與方程(13)對應的F范數(shù)隨被診斷器件參數(shù)的變化而變化的兩條趨勢線。實線L3和L4表示與方程(14)對應的主本征值隨被診斷器件參數(shù)的變化而變化的兩條趨勢線)。其中L1和L4是器件1的參數(shù)變化時響應矩陣的一對F范數(shù)和主本征值曲線，L2和L3是器件2的參數(shù)變化時的另一對F范數(shù)和主本征值的變化曲線。L1～L4均通過仿真和線性校正獲得。圖中橫坐標為器件參數(shù)歸一化值，所以沒有單位。采用歸一化值可把實際電路中不同類型的器件統(tǒng)一到一個模型上處理。縱坐標為F范數(shù)和主本征值，也沒有單位。通過在如圖1所示的多對曲線上找到與被診斷電路輸出響應矩陣的F范數(shù)和主本征值最匹配的一對曲線來實現(xiàn)故障診斷和參數(shù)辨識的過程包括三個步驟。

圖1 診斷和辨識原理圖Fig.1 Diagnosis and identification diagram

3)故障定位和參數(shù)辨識。如果最可能發(fā)生故障的器件1的參數(shù)在其容差允許范圍內，則電路無故障，否則，電路發(fā)生故障，故障定位結果為器件1故障，故障參數(shù)辨識結果為步驟2)，由y1和曲線L1對應的方程(14)求出器件1的參數(shù)x1。

5 實驗結果分析

5.1 仿真實驗結果

采用國際標準電路Tow-Thomas帶通濾波器[12]作為被仿真電路。該濾波器的原理電路和器件參數(shù)標稱值如圖2所示。激勵信號是幅度為5 V，頻率為5 kHz的正弦電壓信號。無源器件的最大允許容差是標稱參數(shù)的±5%，C1、R4和R5組成待診斷的故障集，選節(jié)點Vout為輸出響應測試點，在3 GHz處理器、1GB隨機存取器的電腦上用Matlab工具軟件中進行響應信號處理。

圖2 Tow-Thomas帶通濾波器標準電路Fig.2 Tow-Thomas band-pass filter

參數(shù)器件1(C1)器件2(R4)器件3(R5)ai-0.0029-0.3184-1.4836bi0.3707-0.68834.3946ci2.02503.4020-0.5185a'i0.37785.8507-2.4321b'i1.4305-20.377513.3525c'i7.238423.5762-1.8741y2.39252.39252.3925y09.04569.04569.0456y'2.41432.41422.4141y'09.31789.31769.3177di2.04683.4237-0.4968d'i7.510623.8482-1.6021

為了驗證所提出方法的有效性，保持激勵信號和采樣頻率125kHz不變，對3個被診斷的器件分別以8%的步進從器件標稱值的76%～124%改變的診斷結果如表2所示，表中↑表示器件故障類型為參數(shù)比標稱值大，↓表示器件故障類型為參數(shù)比標稱值小。診斷結果表明：21個參數(shù)狀態(tài)的故障定位全部正確，參數(shù)辨識的最大誤差為0.68%。

表2 故障定位和參數(shù)辨識結果

5.2 實測電路結果

選取國際標準電路中的跳蛙低通濾波器電路作為實測電路[12]。電路中器件的標稱值和電路結構如圖3所示。濾波器的截止頻率是1.4 kHz。用信號源YB1603產(chǎn)生的正弦激勵信號頻率為1 kHz，幅度為6 V。Vout為響應測試端，用NI公司USB-9201數(shù)據(jù)采集器獲取輸出響應信號采樣值。

把器件C4、R4、R5和R7的參數(shù)分別在其標稱值的70%～130%內以3%的步進變化的84種參數(shù)狀態(tài)作為故障集。計算得到的誤差判據(jù)ΔLi的結果如圖4所示。圖4表明：當電路發(fā)生故障時，ΔLi中的最小元素與故障器件對應，用ΔLi中的最小元素能準確地進行故障定位。故障定位結果和故障參數(shù)辨識結果如表3所示，84個故障集的故障定位全部正確，參數(shù)辨識結果最大誤差為1.21%。結果表明，所提出的方法的故障定位和故障參數(shù)辨識精度高。

將本方法與近年提出的幾種方法進行比較的結果如表5所示，比較結果表明本方法的計算時間少、參數(shù)辨識能力強。

圖3 跳蛙低通濾波器標準電路Fig.3 Leapfrog low-pass filter

圖4 誤差判據(jù)ΔLi的取值情況Fig.4 The results of error criterion ΔLi

器件實際值參數(shù)辨識結果定位結果C1R4R5R7(√)0.70000.70800.71120.71090.7104(√)0.73000.72880.73900.73290.7285(√)0.76000.76840.77030.76460.7682(√)0.79000.78480.79630.79940.7977(√)0.82000.83060.83110.82990.8308(√)0.85000.84350.84760.85550.8578(√)0.88000.87460.88990.89010.8910(√)0.91000.90470.92010.90040.9156(√)0.94000.93220.94760.93060.9344(√)0.97000.96320.99890.96230.9645(√)1.00000.99021.00450.99140.9966(√)1.03001.03991.03541.02091.0375(√)1.06001.06861.07121.05481.0678(√)1.09001.09941.08051.08241.0986(√)1.12001.13111.13011.12741.1145(√)1.15001.15781.16201.15981.1557(√)1.18001.17121.18961.18841.1879(√)1.21001.22091.23211.20781.2189(√)1.24001.24781.24471.23471.2499(√)1.27001.28011.27891.26121.2688(√)1.30001.29041.31051.30971.2385(√)

表4 不同方法的比較結果

6 結論

本文提出一種模擬電路故障診斷和參數(shù)辨識代數(shù)方法。仿真結果和實測數(shù)據(jù)得出以下結論：

1)利用響應矩陣的F范數(shù)和主本征值隨器件參數(shù)變化而變化的關系建立故障模型，可用線性補償?shù)姆椒p少容差影響，實現(xiàn)故障定位和參數(shù)辨識的一體化處理，能夠減少參數(shù)辨識的計算時間，降低測試成本。

2)聯(lián)合響應矩陣的F范數(shù)和主本征值進行故障診斷的準確率和參數(shù)辨識精度較高。

3)由于滿足單故障診斷的方法可以推廣到多

故障診斷上，所以本方法可以通過增加測試點或劃分模糊故障集等方式進行多故障診斷。

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Algebraic method for fault diagnosis and parametric identification of analog circuits

ZHOU Qizhong1，2， XIE Yongle2， XU Juan1

(1. School of Physics and Electronic Engineering， Yibin University， Yibin 644000， China; 2.School of Automation Engineering， University of Electronic Science and Technology of China， Chengdu 611731， China)

To solve problems regarding fault parameter identification in analog circuits， a method for fault diagnosis and parametric identification of analog circuits based on dominant eigenvalues and Frobenius norm was proposed in the point of view of algebraic algorthm. A matrix was built using the sampled time series from the output of the circuit under test (CUT). The dominant eigenvalues and Frobenius norm corresponding to this matrix were obtained. According to the trend lines of the dominant eigenvalues and Frobenius norm of each component， which were obtained based on the simulation before test (SBT)， the component most likely to fail was identified. The faults were located and parameters were identified in terms of the least error criteria. Experimental results indicate that the proposed method can simultaneously locate the faults and identify the parameters. Compared with several known methods， the proposed method performs well in fault location and parameter identification and has lower computation costs.

analog circuit; parameter identification; fault diagnosis; eigenvalues; Frobenius norm; fault location

2016-01-25.

日期：2017-03-18.

國家重點基礎研究發(fā)展計劃(2014CB744206)；國家自然科學基金項目(61371049)；校博士基金項目(2016QD06).

周啟忠(1976-)， 男， 副教授； 謝永樂(1969-)， 男， 教授， 博士生導師.

周啟忠，E-mail：zhouxu0813@163.com.

10.11990/jheu.201601083

TP206

A

1006-7043(2017)04-0595-07

周啟忠， 謝永樂， 徐娟.模擬電路的故障診斷與參數(shù)辨識代數(shù)方法[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(4): 595-601.

ZHOU Qizhong， XIE Yongle， XU Juan. Algebraic method for fault diagnosis and parametric identification of analog circuits[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(4): 595-601.

網(wǎng)絡出版地址：http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170318.0715.004.html