用數(shù)學知識設(shè)計一個鏤空的花瓶

鄭祥+謝作如

制作一個鏤空花瓶的想法，最初源于學校開設(shè)甌窯課程的蔣老師。他想做一個瓶身由扭轉(zhuǎn)的柱子構(gòu)成，看起來特別有創(chuàng)意和藝術(shù)感的花瓶，如圖1所示。但是，這種扭轉(zhuǎn)的柱子結(jié)構(gòu)很難用手捏出來，即使捏出來了一時半會兒也很難定型，只能通過灌漿法向模具中灌漿來完成定型。于是，他希望我們能用創(chuàng)客空間里的3D打印機來制作模具。但由于當時的3D建模水平比較弱，我們覺得沒法做出這種扭曲旋轉(zhuǎn)的效果，只好放棄了。直到現(xiàn)在看到了IME3D提供的3D程序員軟件，才想到了解決的方案。

創(chuàng)意分析

一個瓶身由柱子扭轉(zhuǎn)而成的鏤空花瓶，主要由底盤和瓶身兩個部分組成。其中，瓶身是由多根柱子扭轉(zhuǎn)而成的，“如何讓這些柱子均勻地分布在底盤（圓形）的邊緣”成了這個想法能否實現(xiàn)的關(guān)鍵，而在3D建模中柱子與底盤的位置關(guān)系用平面坐標（x，y）就可確定，要想確定柱子的平面坐標（x，y）就需要一定的數(shù)學知識的支持。

3D程序員軟件是一款用代碼編程的形式來實現(xiàn)三維建模的軟件，支持以各種數(shù)學公式生成模型的方式。只要找到柱子旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，就能用一個循環(huán)來批量生成旋轉(zhuǎn)的柱子，從而實現(xiàn)這個花瓶的建模。3D程序員學習版的下載地址是http：//www.ime3d.com/。

數(shù)學分析

設(shè)定底盤的半徑為30，柱子的平面坐標為（x，y），柱子的數(shù)量為16根，可考慮從以下幾方面思考問題。

思路一：通過圓的函數(shù)公式來尋找柱子的平面坐標（x，y）

圓的函數(shù)公式是（x-a）2+（y-b）2=r2，由于模型的中心位置為原點（0，0），因此該圓的公式可以簡化為x2+y2=r2。設(shè)定底盤的半徑為30，則x的范圍為[-30，30]，y坐標則可用x來表示，y=。

然而，思路一中根據(jù)x坐標無法簡單有效地實現(xiàn)柱子在底盤上的均勻分布，如上頁圖2圓的函數(shù)曲線所示，因此放棄思路一。

思路二：通過角度來確定柱子的平面坐標（x，y）

要實現(xiàn)柱子在底盤上位置的均勻分布，其實就是在底盤上進行16等分，而這16個坐標位置則可以用角度θ來表示。通過三角函數(shù)即可得出柱子的橫坐標x=rcosθ，縱坐標y=rsinθ，r為底盤的半徑，θ的范圍是[0，360]，如圖3所示。

按照思路二的分析，在編程過程中代表角度的循環(huán)變量θ的變化范圍是0至360度，步長為22.5（即360/16）度，柱子的平面坐標為（rcosθ，rsinθ），r=30。

編程實現(xiàn)

按照以上分析進行編程建模，采用的建模軟件為3D程序員。

步驟一：創(chuàng)建半徑為30，高度為3的底盤

模型拉伸的模型居中屬性設(shè)為：不居中，制作花瓶底盤的效果如圖4所示。

步驟二：通過循環(huán)模塊確定16根柱子的平面坐標

根據(jù)數(shù)學分析中的思路二，可以確定循環(huán)模塊的幾個參數(shù)設(shè)置，循環(huán)變量θ的變化范圍：0～360，循環(huán)步長：22.5（即360/16）度，16根柱子所在平面上的坐標公式：（rcosθ，rsinθ），半徑r：30。

以下是通過以上參數(shù)，設(shè)置的尋找16根柱子坐標的編程腳本，柱子截面以圓形為例，編程確定16根柱子的平面坐標具體設(shè)置如圖5所示。

步驟三：通過高級拉伸模塊完成對16根柱子的扭曲拉伸

通過編程腳本中的循環(huán)模塊確定16根柱子的平面坐標后，就可通過高級拉伸模塊完成這16根柱子的添加。

高級拉伸模塊的屬性設(shè)置可自行調(diào)整，高級拉伸制作螺旋結(jié)構(gòu)的瓶身的設(shè)置如圖6所示。

步驟四：通過布爾合并完成底盤和瓶身的合并，如圖7所示。

步驟五：修改參數(shù)，調(diào)整模型

根據(jù)生成模型的外觀，適當?shù)剡M行調(diào)整，如將底盤半徑適當擴大為32，效果如圖8所示。

拓展升級

以上是利用三角函數(shù)和圓軌跡的關(guān)系，制作瓶身螺旋結(jié)構(gòu)的花瓶的基本過程。除此之外，可以對模型的高度層數(shù)、扭曲角度，以及循環(huán)體中的循環(huán)步長等參數(shù)進行設(shè)置，可以調(diào)整出不同的效果。其中，高度層數(shù)的參數(shù)設(shè)置為1～5，會展現(xiàn)不同的拉伸效果，而循環(huán)步長則可以改柱子的數(shù)量。

圖9的3D模型是不是很像一個藝術(shù)花瓶，其高度層數(shù)為4。這個螺旋花瓶的腳本代碼如圖10所示。不過，學生說這不像花瓶，倒像果籃，也有學生說這是一個藝術(shù)垃圾桶。但不管如何，這種有規(guī)律的模型結(jié)構(gòu)，很適合用3D程序員來實現(xiàn)。

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