基于Duhamel積分的地震作用下車橋耦合振動(dòng)分析

謝智奕， 沈火明

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，四川成都 610031)

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基于Duhamel積分的地震作用下車橋耦合振動(dòng)分析

謝智奕， 沈火明

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，四川成都 610031)

文章應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)了6自由度車輛模型，應(yīng)用有限元法推導(dǎo)了橋梁模型，應(yīng)用逆迭代法求解兩個(gè)系統(tǒng)的模態(tài)振型和自振頻率，采用加速度輸入模式將地震輸入到車橋耦合系統(tǒng)中，最后通過(guò)Duhamel積分法和振型疊加法求得車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，通過(guò)算例與傳統(tǒng)Newmark-β法相對(duì)比，結(jié)果表明：通過(guò)本文方法計(jì)算的地震作用下車橋耦合的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果與傳統(tǒng)Newmark-β法的結(jié)果接近，極值點(diǎn)誤差范圍在5 %以內(nèi)。

車橋耦合； 地震作用； Duhamel積分； Newmark-β法； 振型疊加法

隨著高速鐵路的大量普及，客運(yùn)列車向著高速化、貨運(yùn)列車向著重載化的方向發(fā)展，車橋耦合問(wèn)題已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)[1-6]。而地震作用會(huì)對(duì)橋梁造成嚴(yán)重破壞，極大地影響橋梁上車輛行駛的安全，因此對(duì)地震作用下的車橋耦合問(wèn)題研究具有重要意義。地震波在地面的運(yùn)動(dòng)是一種復(fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)，地震加速度不僅包括水平向分量，還包括豎向分量。根據(jù)大量資料及研究[1-5]、[10]，雖然水平作用對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的影響最大，但是當(dāng)車輛行駛在橋梁上時(shí)，地震的豎向作用對(duì)車輛行駛危害也非常大，甚至?xí)斐擅撥壩ｋU(xiǎn)，極大地威脅著車輛及乘客的安全，所以本文主要研究地震的豎向作用。目前研究地震作用下的車橋耦合問(wèn)題通常采用的是Newmark積分法等逐步積分法，但是該方法對(duì)時(shí)間精度的要求較高，而一些地震波的記錄由于持時(shí)較長(zhǎng)，所取時(shí)間間隔也相對(duì)較長(zhǎng)，這就影響了計(jì)算的精確度。本文采用基于Duhamel積分的車橋耦合動(dòng)力分析方法，該方法能顯著提高積分步長(zhǎng)[6]，從而解決了地震波記錄數(shù)據(jù)時(shí)間間隔的問(wèn)題。

1 Duhamel積分法[6]

設(shè)一低阻尼單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

其中m、k、c是系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼，z為位移，f(t)為荷載力。整理得到：

(2)

將式(2)的解用Duhamel積分展開(kāi)并整理得到：

(3)

求導(dǎo)得到：

(4)

式中：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

這里假設(shè)荷載在(t, t+Δt)內(nèi)是線性變化的，有

(10)

通過(guò)式(10)可以確定參數(shù)a，b的值。對(duì)于某確定結(jié)構(gòu)，其ω、ξ為定值，在Δt不變的情況下，計(jì)算中的H、Q和P也保持不變，根據(jù)式(3)和式(4)將上一時(shí)刻的動(dòng)力響應(yīng)帶入計(jì)算可得下一時(shí)刻的動(dòng)力響應(yīng)，在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)依次積分最后得全時(shí)間段的動(dòng)力響應(yīng)。

2 車橋耦合模型

2.1 橋梁模型

橋梁系統(tǒng)包括主梁、橋墩和支座，本文在計(jì)算時(shí)不考慮支座和墩高對(duì)車橋耦合的影響，故設(shè)橋墩與主梁剛結(jié)，橋墩與主梁參數(shù)一致。采用平面剛架單元建立橋梁有限元模型，其位移向量為[ui,vi,θi,uj,vj,θj]T，單元內(nèi)部點(diǎn)的位移計(jì)算采用Hermite插值[7]計(jì)算，質(zhì)量矩陣采用一致質(zhì)量矩陣，其單位質(zhì)量矩陣為：

(11)

橋梁阻尼采用Rayleigh阻尼，

CB=a0MB+a1KB

(12)

ωm、ωn為橋梁系統(tǒng)前兩階自振頻率，MB、KB分別為橋梁的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

2.2 車輛模型

車輛系統(tǒng)采用剛體-彈簧-阻尼的整車模型，由于沿車輛運(yùn)行方向的縱向振動(dòng)對(duì)橋梁的豎向振動(dòng)影響極小，并且車輛豎向與橫向振動(dòng)之間的耦合效應(yīng)較弱，因此本文在計(jì)算時(shí)將車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)分為豎向與橫向兩個(gè)平面振動(dòng)，所以在車橋耦合振動(dòng)分析中，僅分析車輛的浮沉與點(diǎn)頭2個(gè)自由度，包括車體及前后轉(zhuǎn)向架共6個(gè)自由度。假設(shè)兩轉(zhuǎn)向架的一、二系彈簧剛度、阻尼系數(shù)相同，采用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)其質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，得到車輛系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程[1]。

2.3 車橋耦合模型

橋梁與車輛系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(13)

(14)

式中下標(biāo)B、V分別代表橋梁系統(tǒng)和車輛系統(tǒng)，F(xiàn)BV和FVB為車輛與橋梁的相互作用力。

兩個(gè)系統(tǒng)通過(guò)輪軌接觸相聯(lián)系，本文不考慮軌道不平順的影響，對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)采用振型疊加法，將其運(yùn)動(dòng)方程化為模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程[6]。

對(duì)于橋梁系統(tǒng)，設(shè)其為正交阻尼結(jié)構(gòu)，采用逆迭代法求解系統(tǒng)的振型ΦB和自振頻率ωB，假設(shè)各階模態(tài)阻尼比為ξB，設(shè)橋梁的廣義振型坐標(biāo)列向量為qB，則位移向量可表示為：

(15)

將式(15)代入式(13)中，可以得到橋梁系統(tǒng)的模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程：

(16)

對(duì)于車輛系統(tǒng)，由于其阻尼矩陣CV不具有正交性，因此引入假定的車輛阻尼比ξV，并將式(14)中的阻尼相移動(dòng)到右端，再進(jìn)行同樣的模態(tài)變換，可以得到車輛系統(tǒng)的模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程：

(17)

3 地震激勵(lì)的輸入

地震激勵(lì)的輸入采用加速度輸入模式[8]，直接運(yùn)用實(shí)測(cè)地震波的加速度時(shí)程，不考慮行波效應(yīng)，廣義地震力[5]為：

(18)

4 算例

選取單節(jié)四軸列車在地震作用下通過(guò)一32 m的簡(jiǎn)支梁橋作為算例，地震波選取典型強(qiáng)震記錄El-Centro波輸入，采用縱向+豎向一致輸入，豎向地震加速度時(shí)程與縱向一致，但加速度峰值取0.65倍。不考慮軌道不平順，車速v取50 m/s，車輛信息見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。橋梁彈性模量E取35 GPa，橫截面積A為4.8 m2，截面抗彎慣性矩I取22 m4，密度取2 600 kg/ m3，橋梁劃分為長(zhǎng)度一致的320個(gè)梁?jiǎn)卧∏?0階模態(tài)，各階模態(tài)阻尼比取為0.05。當(dāng)?shù)卣痖_(kāi)始時(shí)列車上橋，地震持時(shí)50 s，步長(zhǎng)取與地震波記錄時(shí)間間隔一致為0.02 s。為驗(yàn)證本方法的正確性，將本文方法與傳統(tǒng)Newmark-β法的結(jié)果作對(duì)比，計(jì)算結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 Newmark-β法計(jì)算的橋梁跨中豎向加速度時(shí)程

圖2 本文方法計(jì)算的跨中加速度時(shí)程

從圖1和圖2可見(jiàn)，本文的方法和傳統(tǒng)Newmark-β法求得的地震作用下車橋耦合動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果非常接近，極值點(diǎn)的誤差范圍在5 %以內(nèi)，說(shuō)明本文的方法可行。

5 結(jié)束語(yǔ)

應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)了6自由度車輛模型，應(yīng)用有限元法推導(dǎo)了橋梁模型，應(yīng)用逆迭代法求解兩個(gè)系統(tǒng)的模態(tài)振型和自振頻率，采用加速度輸入模式將地震輸入到車橋耦合系統(tǒng)中，最后通過(guò)Duhamel積分法和振型疊加法求得車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，并與傳統(tǒng)Newmark-β法相對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的可行性。

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謝智奕(1991～)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)樵肼暸c振動(dòng)控制。

沈火明(1968～)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)與控制。

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[定稿日期]2017-03-25