《選修4—4極坐標(biāo)與參數(shù)方程》教學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題

曹志棟

筆者在選修4-4的教學(xué)過(guò)程中遇到一些難點(diǎn)與疑點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)深入思考研究并在教學(xué)實(shí)踐中加以解決。

1 圓的參數(shù)方程中的范圍為什么沒(méi)有進(jìn)行限制

從圓的參數(shù)方程推導(dǎo)過(guò)程中可以看出，表示的幾何意義應(yīng)該為點(diǎn)M從初始點(diǎn)M0按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，故應(yīng)該在之間[0，+∞），但課本上卻只寫(xiě)了個(gè)為參數(shù)，這意味著，但在課本24頁(yè)上卻又出現(xiàn)了另外一句話：建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。那么的范圍到底應(yīng)該是什么呢？

根據(jù)曲線參數(shù)方程的定義，圓的參數(shù)方程與圓應(yīng)該具有兩方面的對(duì)應(yīng)，一方面由數(shù)到形，對(duì)于參數(shù)的每個(gè)取值所確定的點(diǎn)都要在圓上，這顯然是可以做到的，另一方面有形到數(shù)，對(duì)于圓上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都能夠找到與之對(duì)應(yīng)。也是顯然滿足上述定義的，故其為圓的參數(shù)方程是沒(méi)有問(wèn)題的。

那么的范圍可不可以有其他限制呢？答案是肯定的，如果不考慮參數(shù)的幾何意義，可以是（-∞，+∞），也可以是，還可以是等等，只要滿足參數(shù)所在區(qū)間包含一個(gè)周期即可，這樣就能保證圓上任一點(diǎn)有確定的與之對(duì)應(yīng)，而的每一個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓上是顯而易見(jiàn)的，故以上所列舉的范圍都能滿足曲線參數(shù)方程的定義。

而R顯然可以使參數(shù)方程具有更廣泛的應(yīng)用性，所以選擇R，但是在具體使用的過(guò)程中，我們應(yīng)盡可能的簡(jiǎn)單，比如圓上位于第一象限的點(diǎn)我們就有多種限制方式，但我們選擇比較簡(jiǎn)約的，這樣以后設(shè)計(jì)到角的范圍及角的三角函數(shù)就比較簡(jiǎn)單一點(diǎn)。這里的普適性與特殊性都是為了更方便的應(yīng)用參數(shù)方程解決問(wèn)題。

2 參數(shù)方程化為普通方程后是只寫(xiě)x的范圍還是應(yīng)該把兩個(gè)變量：x和y的范圍都寫(xiě)出來(lái)

如：，其化為普通方程后得到，若只限制x范圍，則，故由普通方程所得曲線應(yīng)該是一個(gè)半圓，而實(shí)際上由參數(shù)方程可看出其表示的曲線應(yīng)該是1/4圓，是單位圓的一角。故由參數(shù)方程化為普通方程應(yīng)該是兩個(gè)變量的范圍都得寫(xiě)，但當(dāng)兩范圍在普通方程下滿足一致性時(shí)，即：將x的范圍帶入普通方程所求出的y的范圍與通過(guò)參數(shù)方程求出的y的范圍一致，這是我們就可以只寫(xiě)x的范圍，這樣可以體現(xiàn)簡(jiǎn)約性。

那么是不是任意參數(shù)方程化為普通方程后都能滿足上述意義下的范圍一致性？答案是否定的，如上例中，由參數(shù)方程可得y，但由轉(zhuǎn)化后的普通方程與x的范圍能得到的y的范圍應(yīng)該是。

那何時(shí)能夠保持一致性呢？在由參數(shù)方程求Y的范圍時(shí)，y的范圍由參數(shù)決定，而有普通方程求y的范圍時(shí)，y的范圍由x決定，要使其保持一致，只需要變量x的范圍與參數(shù)的范圍必須等價(jià)，而在上例中x[0，1]與是不等價(jià)的。

3 直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義

筆者在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于參數(shù)t的幾何意義難以理解，大多只是記憶在腦海里。由于這里的t涉及到構(gòu)造，學(xué)生難以理解也屬正常。筆者在具體教學(xué)中從勻速直線運(yùn)動(dòng)的角度闡釋t 的幾何意義，這樣使得t具有了物理意義，學(xué)生比較容易理解。

筆者在具體教學(xué)中將直線放入平面直角坐標(biāo)系，使其上一定點(diǎn)為，傾斜角，假設(shè)一動(dòng)點(diǎn)從定點(diǎn)出發(fā)沿直線以速度1（自設(shè)數(shù)值，速度方向沿直線向上為正，向下為負(fù)）做勻速直線運(yùn)動(dòng)，得出直線的參數(shù)方程為，然后從嚴(yán)謹(jǐn)性上入手讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到所求參數(shù)方程表示的只是半條直線，讓其將參數(shù)方程進(jìn)行補(bǔ)充修改，并統(tǒng)一成一種形式，然后讓學(xué)生從參數(shù)t的符號(hào)和數(shù)值兩個(gè)方面來(lái)討論參數(shù)的幾何意義，可得|t|表示參數(shù)為t的點(diǎn)M到的距離，t的符號(hào)決定速度的正負(fù)，也就決定了點(diǎn)M與點(diǎn)的位置關(guān)系。

4 若已知直線的參數(shù)方程，則直線上任意兩點(diǎn)間的距離公式是什么

這里的難點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)于直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型與非標(biāo)準(zhǔn)型的認(rèn)識(shí)不夠，誤認(rèn)為直線上任意兩點(diǎn)的距離都為|t1-t2|.在教學(xué)中應(yīng)該使學(xué)生學(xué)會(huì)辨別標(biāo)準(zhǔn)型與非標(biāo)準(zhǔn)型，掌握標(biāo)準(zhǔn)型與非標(biāo)準(zhǔn)型的關(guān)系，并且使學(xué)生掌握非標(biāo)準(zhǔn)形式下直線上任意兩點(diǎn)間的距離，推導(dǎo)如下。

設(shè)直線的參數(shù)方程為，直線上兩點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為：，則A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+at2，y0+bt2），由兩點(diǎn)間距離公式可得|AB|=.進(jìn)而A點(diǎn)到的距離就為，且由于直線參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，，其中為直線的傾斜角，此時(shí)，，故直線上任意兩點(diǎn)AB的距離為，其中分別為直線上兩點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)參數(shù)。這樣從一般性入手再到特殊性，可以解決學(xué)生誤看特殊為一般的問(wèn)題。

（作者單位：蘭州市五十八中）