加法累數制與乘法累數制

張新春

1.加法累數制與羅馬記數

先人們在利用刻痕記數時，會遇到“奈何姓萬”的麻煩。于是，在一次次的刻痕過程中，他們逐漸意識到可以用一些簡單的辦法來處理：刻到一定的數量后，為了表示比當前刻的再多一個，不再用多刻一條的辦法了，而是改用一個新的符號表示。比如，為了表示10，不是在刻了9條后再刻1條，而是用一個新的記號X表示。當然，20就用XX表示，而當X累加到一定個數時（比如X個）后，又創造一個新的符號表示。這就是加法累數制度。

所謂加法累數制，是指這樣一種記數方法，它為每一個較高級的單位創造一個新的符號，而記錄多少個單位就把這個單位重復寫多少次（有時再配以適當的其他處理，隨后將介紹）。由于創造了符號（比如用M表示1000），與簡單的刻痕記數相比，這種加法累數制的優勢是明顯的：只要想想寫一個M與刻1000道刻痕的區別就知道了。羅馬記數就是典型的加法累數制。

羅馬記數于12世紀以前盛行于歐洲，今天某些特定的場合還在使用，比如與文件內容、書籍章節等相關的序號。羅馬記數用一些拉丁大寫字母表示數目，下表中是基本的羅馬記數符號。

用V表示5，據說是因為V是一只手掌的形象（四指并攏，大拇指分開），字母X表示10，則是因為X是兩個V合起來。C是表示一百的拉丁語centum的第一個字母，而L則是由C的一半變形而得。M是千的拉丁語mille的第一個字母。

作為一種典型的加法累數制記數法，羅馬記數有“重復幾次”“左右加減”和“加橫線”等法則。

（1）“重復幾次”：若干個相同符號并排排列，等于各個符號所表示數相加的總和。比如，III表示3，XX表示20，CCC表示300等。“重復幾次”的法則是加法累數制記數法的基本特征。

（2）兩個不同符號并列，若右邊符號表示的數大于左邊符號表示的數，由“減法原則”即大減小的原則，表示大數與小數的差，比如，IV=5-1=4，IX=10-1=9。

（3）兩個不同符號并列，若右邊符號表示的數小于左邊符號表示的數，由“加法原則”即兩數相加的原則，表示大數與小數的和。比如，VII=5+1+ 1=7，XVI=10+5+1=16。

（4）在符號上加橫線，表示“1000倍”，比如，V=5×1000=5000。

像羅馬記數這樣的加法累數制記數法還是相當笨拙的，一個簡單的數，寫起來會有一長串，比如，3888=MMMDCCCLXXXVIII。

另外，畢竟符號是有限的，要表示大數，會有更明顯的局限。更重要的是，羅馬記數的四則運算異常復雜，甚至一些基本的四則運算都只有專家才掌握。丹齊克先生在《數：科學的語言》一書中描述過一個關于15世紀一位德國商人送兒子求學的故事：“話說這位商人有一個兒子，他想使兒子學些高深的商業教育。于是他去求教大學里的一位名教授，該把兒子送到哪兒去念書。教授回答說：如果這位青年的數學課程將只限于加和減，他可以進國內的大學學習這些功課；至于乘和除，還是意大利最先進。他認為，只有到那里去才能得到那種高等的教育。”因此，這種記數法不得不退出歷史舞臺。

2.乘法累數制與中國記數

乘法累數制是將加法累數制中的重復幾次的辦法改為乘法。比如，500，借用羅馬記數的符號，不用把表示100的符號C重復寫5次（記作CCCCC），也不用發明一個新符號D表示500，只需把表示5的符號V和表示100的符號C寫在一起，即VC。這樣做即可避免重復。

中國的記數法是典型的乘法累數制。比如，4560，不用寫作“千千千千百百百百百十十十十十十”，也不需要發明表示4000、500、60等數的新符號，而只需記為“四千五百六十”。

顯然，乘法累數制也需要一些表示特定的數的符號（不然就成了“結繩記數”或“刻痕記數”了）。中國記數法使用十進的乘法累數制。用以下13個字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬，就可以表示相當大的數。《周髀算經》中即有很多大數。比如，“從周南至日照處三十萬二千里，周北至日照處五十萬八千里，東西各三十九萬一千六百八十三里半”。這里的三十九萬一千六百八十三=39×10000+1×1000+6×100+8×10+3。

而據考證，以上13個字早在甲骨文中就有了，只是寫法有些不同，大體如下圖所示。

其實，我們在小學數學里教學的“讀數”，就是把數寫成中國的乘法累數制。

乘法累數制也有一個規定多少個單位的問題。事實上，如果最大的單位只到“萬”，那么九千九百九十九萬九千九百九十九后面的一個自然數就應該記作“一萬萬”，這樣數下去，還會出現“一萬萬萬”“一萬萬萬萬”……

對于萬以上的數，后來又增加一些新字，以表示更大的單位。如，《數術記遺》提出億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載等10種名稱。但有三種不同的進位法：

1.十進：十萬為億，十億為兆，十兆為京，……

2.萬萬進：萬萬為億，萬萬億為兆，萬萬兆為京，……

3.自乘進位：萬萬為億，億億為兆，兆兆為京，……

……

這種規定相當繁瑣，又不統一，很容易弄錯，所以已被淘汰。現在只剩下“萬萬為億”還在使用。