對“包含除”的再思考

熊小紅

最近讀了張奠宙先生的文章《教材編寫要注意防止片面的思維定式———評小學數學教材中忽視“包含除”的傾向》，我非常贊同張老師的觀點，并對這個知識點有了更深的認識。

一、對文章中幾個觀點的理解

觀點一：等分除和包含除是一對“孿生兄弟”。

張老師說這是兩種不同意義的除法。知道總數，知道平均分的份數，求每份是多少，俗稱“等分除”；知道總數，知道每份是多少，問有多少份，即總數里包含多少份，俗稱“包含除”。這兩種除法是同一個平均分物數學模型所產生的，地位平等。

小學教材里分數的定義大多采用按固定人數分月餅的模型引入并強化，對度量“一段小于單位的余量”的包含除模型則回避不談。此外，應用題的求解過程中涉及的基本關系大多是行程問題、工程問題、價格問題等，這些基本關系都涉及兩個因數相乘。應用題的變化，就是知道總量及一個因數，設法求出另一個因數。因此，在各種問題的提法上都有相當于等分除和包含除兩種類型的差異。如能均衡地對待等分除和包含除，則有利于后續的應用題教學。

觀點二：從等分除到包含除：培養學生提出問題的能力。

張老師說，在除法單元中，應該更多地關注如何多樣化地提出問題，不要局限于等分除的問題。我們甚至可以要求學生對其中8個小節，在保持數據不變、計算要求相同的條件下，將等分除的問題再提出一個不同類型的除法問題來。

二、結合文中觀點，談談我自己的看法

1.學生不需要理解哪些題是等分除，哪些題是包含除。

教材中雖然沒有出現包含除和等分除的名稱，但在具體的情境中，包含除和等分除這兩種情況都有體現。比如，在分香蕉中，把12根香蕉平均分成2份，每份6根，這一分物活動用算式表示為：12÷2=6，就是所謂的等分除；12根香蕉，每4根裝一盤，需要幾個盤子？這一分物活動用算式表示為：12÷4=3，就是所謂的包含除。雖然這兩種形式在教材中都有體現，但這里的分物活動不出現等分除、包含除，而是力求在分物活動中，讓學生利用自己的策略實際進行操作，并在操作中感悟除法的含義。

2.教師不必對除法作如此細致的劃分。

我們在生活中面對一個具體的分配東西的問題時，是否會先區分它是屬于包含除還是等分除？除法就是分配東西，實際生活中人們不可能會有這樣的區分。比如，如果有12個一元硬幣，你要把它平均分給6個人，該怎么分？學生可能不知道什么是等分除，但會說每人2個，列出算式：12÷6=2（個）。而對問題：如果有12個一元硬幣，要去買6元一瓶的雪碧，你可以買幾瓶？學生也可能不知道什么是包含除，但是會想6個硬幣買一瓶，這里有買2瓶的錢，列出算式：12÷6=2（瓶）。由此看來，在實際生活中遇到除法時，我們不可能先在頭腦里區分是等分除還是包含除，而是直接進入分配物體的計算。

無論是等分除還是包含除，學生只要理解除法的意義：即每份同樣多就是平均分，會用除法解決平均分的問題即可。

（作者單位：長沙市芙蓉區大同第二小學）