多交互式人工蜂群算法及其收斂性分析

林 凱，陳國初，張 鑫

(上海電機學院 電氣學院，上海 200240) (*通信作者電子郵箱361928561@qq.com)

多交互式人工蜂群算法及其收斂性分析

林 凱*，陳國初，張 鑫

(上海電機學院 電氣學院，上海 200240) (*通信作者電子郵箱361928561@qq.com)

針對人工蜂群(ABC)算法不易跳出局部最優解的缺點，提出了多交互式人工蜂群(MIABC)算法。該算法在基本人工蜂群算法的基礎上引入隨機鄰域搜索策略，結合跨維搜索策略，且改進蜜蜂越限處理方式，使得算法搜索方式多樣化，從而使得算法搜索更具跳躍性，不易陷入局部最優解，同時，對其進行收斂性分析和性能測試。在五種經典基準測試函數和時間復雜度實驗上的仿真結果表明，相對于標準人工蜂群算法和基本粒子群優化(PSO)算法，該算法在1E-2精度下收斂速度提高了約30%和65%，搜索精度更優，且在高維求解問題方面有明顯優勢。

人工蜂群算法；跨維度搜索策略；隨機鄰域搜索策略；搜索精度；收斂性分析

0 引言

人工蜂群(Artificial Bee Colony, ABC)算法是Karaboga[1]在2005年提出的具有參數少、算法原理簡單且魯棒性強等優點的一種模擬蜂群協作尋找蜜源的生物智能優化算法，主要被應用于電力調度問題、旅行商問題等各方面的尋優問題中。

雖然ABC算法具有簡單、高效的特點，但是由于ABC算法的搜尋方式具有一定局限性，故較易滿足于局部最優解，收斂速度較慢，降低了優化效果，因此，近些年來出現了不少對其進行改進的文章。比如，Gao等[2]受DE/best/1的ABC/best/1的觸發，提出了改良的人工蜂群(Modified Artificial Bee Colony, MABC)算法?；蚪梃b粒子群優化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法的思想，在鄰域搜索中加入了自適應的慣性因子，性能參數分段搜索[3]。雖然這些方法在某種程度上強化了算法的性能，但仍存在許多問題，例如引入復雜參數使算法收斂速度慢，或沒有從根本上增加種群的多樣性。

針對這些問題，本文通過隨機選擇鄰域，使得當前解的鄰域擴大到隨機選擇的鄰域。其次，在任意解上隨機選擇一維，使當前解的進行跨維學習，另外，針對傳統人工蜂群算法中對蜜蜂跳出搜索空間邊界時采用強制設置在邊界處的方法，引入隨機分布方式，使蜜蜂隨機分布在在搜索空間中，從而增加蜂群的多樣性，強化了算法擺脫局部最優解的能力。把這種方法稱為多交互式人工蜂群算法(Multiple Interactive Artificial Bee Colony, MIABC)，MIABC不引入任何新的參數，故容易實現。在經典基準函數上對其進行仿真測試，并進行收斂性分析，驗證方法有效性。

1 標準人工蜂群算法

在人工蜂群算法中，人工蜂群一般由三種角色構成，分別是采蜜蜂、跟隨峰、偵察蜂。采蜜蜂在搜索空間中尋找蜜源(即可能存在的解)來進行開采，并記錄蜜源的有關信息，然后與跟隨蜂交流，跟隨蜂采用輪盤賭選擇法選擇采蜜蜂，并在其附近采蜜。在一定情況(采蜜蜂放棄蜜源時)下，采蜜蜂變成偵察蜂重新尋找蜜源。

蜂群的50%由采蜜蜂構成，跟隨蜂則為蜂群剩余的50%，一只采蜜蜂同一時刻只能在一處蜜源采蜜，同時，在實際的具體優化問題中，問題的可能存在的解就是蜜源對應的位置，而解的品質的好壞由蜜源的收益情況代表[4]。

假設在蜂群搜索初始化時，產生了SN個D維初始解Xij(i=1,2, …,SN;j=1,2,…,D)，SN為蜜源個數。根據式(1)隨機產生蜜源的初始位置：

Xij=Xmin, j+rand(0,1)(Xmax, j-Xmin, j)

(1)

其中：Xij表示當前位置，i∈{1,2,…,SN}，j∈{1,2,…,D}；Xmax, j和Xmin, j分別表示第j維蜂群搜索空間的邊界上限和邊界下限。

然后，采蜜蜂根據式(2)所示的方式來搜尋并產生新的蜜源位置Vij：

Vij=Xij+φij(Xij-Xkj)

(2)

其中：k為不同于i的蜜源，且k∈{1,2,…,SN}，j為隨機選擇的下標，φij為[-1,1]的隨機數。搜索后，計算適應值，并對新解和最優解通過貪婪選擇來選擇。

跟隨蜂根據輪盤賭選擇方法[4]以概率Pi選擇蜜源采蜜，式(2)則是其鄰域搜索的搜索方式，并計算其對應適應值，對Xij和Vij進行貪婪選擇。Pi根據式(3)來計算：

(3)

其中fiti為解Xi的適應度函數值，且適應度值的計算方式如式(4)所示：

(4)

其中：fi為第i個解的目標函數值。

當蜜源Xi連續經過limit次循環搜尋仍沒有變化，則此處蜜源被放棄，同時，采蜜蜂轉作偵察蜂，并通過式(1)隨機搜尋產生一個新蜜源替代原蜜源。

2 多交互式人工蜂群算法

2.1 采蜜蜂的隨機鄰域搜索策略

良好的優化算法在搜索過程必須平衡全局探索能力和局部開發能力[5]。在初始搜索階段[6]，ABC算法從初始解出發，通過反復搜尋當前最優解的鄰域得到較好的解，由于搜索搜索僅限定于當前的領域進行，搜索范圍較小，使算法收斂較慢，全局搜索能力較弱。為了加強全局搜索能力，加大搜索范圍，受小世界網絡模型[7]的啟發，本文為采蜜蜂引入了隨機鄰域搜索策略。

定義1 隨機鄰域搜索(Randomneighborhoodsearch)。在同一維搜索空間中，隨機選出第i個解和第n個解，i∈{1,2,…,SN}，n∈{1,2,…,SN}，則隨機鄰域搜索公式可定義為：

Vij=Xnj+φij(Xij-Xkj)

(5)

其中：k∈{1,2,…,SN}，且k≠i，φij為[-1,1]的隨機數。

由式(5)可以看出，隨機鄰域搜索策略使算法搜索空間不再只限制于當前解的鄰域，可以擴展至其他解的鄰域，擴大了算法搜索空間，若將同一維看作一個平面，則采蜜蜂在平面上的鄰域搜索范圍擴大了，同時，跟隨蜂的搜索方式不變，通過采蜜蜂的較大空間搜尋方式與跟隨蜂的搜尋方式相結合，使得算法加快收斂，解變得更具多樣化，強化了算法跳出局部最優值的能力。

2.2 采蜜蜂的跨維搜索策略

由式(2)可知，標準人工蜂群算法中，采蜜蜂采用的搜索策略是向當前鄰域中同維學習，即新解位置的產生會被約束在當前解位置周圍較小的同維空間。這使得若在某一維中，當前解位置分布范圍集中在某一區域時，產生的新解將在一定迭代次數里難以跳出該區域。而隨著算法進化，解的位置分布范圍縮小，會導致這種現象的出現，這種現象會使算法陷入局部最優的概率大幅度增加。

本文針對該問題，采用了跨維搜索策略[8]，如式(6)所示。這使得算法能夠在維度上實現跳躍式搜索，不再局限于同維搜索，使得在算法搜索后半階段，即搜索范圍變小時，還能保持有良好的全局與局部搜尋能力，使算法獲得全局最優解的可能性加大，同時，跟隨蜂的仍用式(2)進行傳統的局部搜索，通過采蜜蜂與跟隨蜂兩種不同的搜索方式相結合，這種搜索方式的思想和作用就相當于遺傳算法中的變異選擇思想和作用，從而令算法避免了單種搜索模式的局限性，使得蜂群搜索的解多元化，有利于算法擺脫局部最優解。

定義2 跨維搜索(Stereosearch)。在一個D維的搜索空間中，隨機選出第j維和第l維，j∈{1,2,…,D}，l∈{1,2,…,D}且j≠l，則基于隨機鄰域搜索的跨維搜索公式可以定義為：

Vij=Xnl+φil(Xil-Xkl)

(6)

其中：k∈{1,2,…,SN}，n∈{1,2,…,SN}，且k≠i。

2.3 蜂群搜索邊界處理

蜂群的搜索空間是有一定的范圍的，當蜜蜂在搜索過程中跳出了搜索空間的邊界時，標準ABC算法的處理方式是將蜜蜂位置強制重新設置在邊界處，這使得在算法搜索后期，可能有大部分的蜜蜂聚集在邊界上，而且這種設置方式，在下次搜索時，蜜蜂仍有較大可能再次跳出邊界，這就大幅度降低了算法搜索效率，所以，本文采用式(7)來重新設置跨界蜜蜂：

(7)

其中：Xmax, j、Xmin, j和Xij分別代表蜜蜂在第j維的搜索邊界上限、下限以及當前解位置。式(7)的處理方式使得算法在搜索后期蜜蜂均勻散落在搜索空間中，保證蜂群的活性。

2.4MIABC算法的基本流程

整個改進算法的實現步驟如下。

1)

設置種群數目PN和開采次數limit

2)

初始化SN(SN=0.5PN)個蜜源位置Xij(i=1,2,…,SN;j=1,2,…,D)

3)

計算初始蜜源的目標函數值Objval和適應值fit

4)

while((iter<=maxCycle))do

5)

fori=1 toSNdo

6)

隨機選擇鄰域k∈{1,2,…,SN}，n∈{1,2,…,SN}， 且k≠i

7)

隨機選擇一維度j∈{1,2,…,D}，l∈{1,2,…,D}， 且j≠l

8)

根據公式Vij=Xnl+(Xil-Xkl)進行鄰域搜索

9)

根據式(7)對跳出搜索邊界的蜜源進行邊界處理

10)

根據式(4)計算適應值fiti和式(3)計算概率Pi

11)

對Vij和Xij進行貪婪選擇

12)

end for

13)

i=1，t=0

14)

產生隨機數r∈(0,1)，如果r

15)

根據公式Vij=Xij+(Xij-Xkj)進行鄰域搜索

16)

根據式(7)對跳出搜索邊界的蜜源進行邊界處理

17)

對Vij和Xij進行貪婪選擇

18)

i=i+1，untili=SN

19)

fori=1 toSNdo

20)

如果trial>limit，根據式(1)初始化Xij

21)

end for

22)

記錄迄今為止最好的解

23)

end while

3 MIABC算法優化性能

3.1 測試函數

為了考察算法性能，本文給出了MIABC算法在經典基準測試函數上的仿真結果和分析，表1中為5個經典基準測試函數[9]，其中f1為單模函數，考察算法的尋優精度和收斂速度，多模函數為f2～f5，考察算法擺脫局部最優解的能力和全局搜尋能力。

表1 5個經典測試函數

3.2 實驗結果與分析

在MIABC算法的測試過程中，為了讓實驗結果更具說服力，將對以上5種經典基準測試函數進行優化，并與標準人工蜂群算法相比較。表1所示的為測試函數的相關信息。本文通過大量實驗確定算法參數閾值。蜂群算法的參數設置如下：蜂群數目NP=100，迭代次數maxCycle=2 000，最大允許的連續開采次數limit=50，誤差極限為1E-20。PSO算法參數設置如下：粒子群數目sizepop=100，w=0.8，c1=c2=1.494 5，vmax=1，vmin=-1。在每個基準測試函數都進行20維、50維、80維這三種不同維度的測試，每組都獨立測試30次，對結果中的平均值、最優值、標準差這三種指標進行比較。優化結果如表2所示，圖1則為ABC算法、MIABC算法和PSO算法的收斂曲線。

圖1 5種函數優化曲線

函數維數ABC平均值最優值標準差MIABC平均值最優值標準差PSO平均值最優值標準差f1f2f3f4f5204．78E-162．80E-168．03E-173．44E-162．04E-166．36E-173．64E-021．98E-046．34E-02501．57E-142．99E-151．26E-141．86E-151．18E-152．07E-161．84E+034．78E+021．02E+03805．15E-086．67E-096．36E-086．29E-141．15E-141．78E-141．09E+042．32E+031．14E+04201．28E-132．84E-141．22E-130001．17E+026．37E+013．27E+01503．37E-021．06E-111．79E-012．12E-131．14E-135．86E-144．61E+023．15E+026．24E+01804．530．99531．816．40E-122．39E-122．37E-128．00E+026．95E+021．09E+0220-8379．66-8379．660-8379．66-8379．660-6518．98-8918．59．55E+0250-20488-207961．50E+02-20949．1-20949．10-11536．6-133677．48E+0380-31585．8-322123．00E+02-33518．63-33518．630-16562．8-204051．85E+03205．48E-144．00E-141．26E-142．61E-141．87E-143．59E-151．69E+014．616．03504．33E-071．62E-071．61E-074．55E-133．17E-137．41E-141．84E+011．03E+013．17808．66E-042．64E-043．78E-041．97E-071．28E-073．75E-082．00E+012．00E+016．42E-04205．46E-139．99E-161．66E-122．41E-1601．84E-161．02E-012．24E-025．09E-02504．05E-121．58E-144．83E-121．90E-158．88E-165．77E-161．40E+015．097．72804．28E-061．46E-081．25E-051．14E-135．04E-143．73E-147．67E+012．67E+013．61E+01

從表2可知，ABC算法和MIABC算法在函數f3的20維均找到了理論最優值，但MIABC算法在測試函數f3的20維、50維、80維和f2函數的20維均能找到理論最優值。比較表2中三種算法的平均值、標準差和最優值，對函數f1、f4和f5，MIABC算法在尋優結果精度和穩定性上領先于標準ABC算法，且MIABC算法在不同維數上的優化結果精度下降幅度遠小于標準ABC算法，而在這5種經典測試函數上，MIABC算法無論在尋優結果精度上和穩定性都優于PSO算法，因此，相比于基本ABC算法和PSO算法，MIABC算法的尋優性能更佳，結果更精準和穩定。

圖1為MIABC算法、ABC算法和PSO算法在5種基準測試函數3種不同維度上搜索最優解的收斂曲線(其中圖1(a)和圖1(m)為更清晰地呈現差異，只顯示差異較大的前1 000次迭代)。由圖1可見，在迭代過程中，MIABC曲線下降收斂速度均快于ABC和PSO曲線的收斂速度，只有個別測試函數上在搜索初始階段下降收斂速度略慢于PSO算法。MIABC曲線更加接近最優解，未到最大迭代次數時就已經找到比ABC算法和PSO算法更優的解。由此可以看出MIABC算法能更精準快速地找到最優解。

3.3 時間復雜度實驗

如果反復搜索導致時間無限延長，則無異于窮舉搜索，故在CPU為i7-6700，內存8 GB的惠普筆記本上進行時間復雜度實驗。以上述5種經典測試函數的20維為例，其中除f3在20維分別以目標函數值等于-8 379.66為迭代結束條件，其他4種函數皆以目標函數值小于1E-2為迭代結束條件。同理，3種算法在上述5種測試函數50維情況下迭代2 000次，將這兩個方面的每組實驗都獨立測試10次，并求得平均運行時間分別列于表3。

由表2～3中數據對比可知，在相同迭代次數下，MIABC算法與ABC算法尋優速度相差不大，但在解的質量上好很多，而相比于PSO算法則有更快的尋優速度和更優的解，同時，從表3和圖1中，可以得知，同等精度下，MIABC算法尋優速度更快。

表3 時間復雜度實驗結果對比

4 MIABC算法收斂性

MIABC算法與ABC算法都屬于隨機搜索算法[10-12]的范疇，所以同樣可以利用隨機算法收斂準則來判定MIABC的收斂性。

4.1 相關數學描述和定義

定義3 人工蜂群算法在搜索過程中搜索到的蜜源位置稱為人工蜂狀態，記為X，X∈L，L是可行解空間。故人工蜂群狀態則由所有的人工蜂的狀態組成，記作ξ=(X1,X2,…,XSN)。

定義4 人工蜂群狀態空間定義為所有人工蜂群狀態的集合，記作S={ξ1,ξ2,…,ξN|0≤N≤maxCycle}。

定義5 在MIABC算法中，人工蜂從一個狀態Xi到另一個狀態Xj的變換，稱為人工蜂狀態轉移，記為Tξ(Xi)=Xj。而轉移概率為人工蜂狀態轉移的概率，記為p(Tξ(Xi)=Xj)。

定義6 對于?ξi∈S，?ξj∈S，MIABC算法迭代中，人工蜂群狀態從ξi轉移到ξj，記為TS(ξi)=ξj，則人工蜂群狀態由ξi一步轉移到ξj的轉移概率為:

(8)

4.2 收斂準則

本文所討論的優化問題是極小化問題，適應值函數為目標函數倒數或絕對值。對于優化問題〈L,f〉，有隨機算法D，第k次迭代結果為xk，則下一次迭代結果為xk+1=D(xk,ζ)。其中L為可行解空間，f為適應值函數，ζ為算法D在迭代過程中曾經搜索到的解[13]。

假設1f(D(x,ζ))≤f(x)，若?ζ∈L，則有:

f(D(x,ζ))≥f(x)

(9)

定理1 算法全局收斂的充要條件是算法同時滿足假設1和假設2。

證明 若算法滿足假設1，則可以說明算法的適應度f(x)是遞增的；若滿足假設2，則說明算法迭代足夠多次后，不能搜到近似最優解的概率為0。當假設1和假設2被同時滿足時，在迭代一定次數后，算法找到最優解的概率為1，則說明算法是全局收斂的。

4.3MIABC收斂性分析

引理1MIABC算法滿足假設1。

證明MIABC算法的每次迭代都會進行貪婪選擇，如式(10)所示：

(10)

因此，MIABC算法每次迭代都保存了群體最優解，滿足了假設1。

定義7 人工蜂群最優狀態集合B={ξ*=(X1,X2,…,Xn)|f(Xn)=f(b*),ξ*∈S},其中b*是優化問題的最優解，且B?L。

定理2 MIABC算法中，由人工蜂群最優狀態構成的人工蜂群最優狀態集合B是閉集。

證明 ?ξi∈B，?ξj?B，對于蜂群狀態經過k(k≤1)步由狀態ξi轉移到ξj的轉移概率為：

(11)

蜂群狀態轉移概率可由定義5可得：

(12)

由?ξi∈B，?ξj?B，在k次的迭代過程中必然?ξj-l+1?B(1≤l≤k)，則有f(Xj-l+1)≤f(Xj-1)=f(b*)，由貪婪選擇可知，至少存在一項p(TS(ξj-l)=ξj-l+1)=0，則pk(TS(ξi)=ξj)=0，所以B是S上的閉集。

定理3 人工蜂群狀態空間S上不存在非空閉集G，使得G∩B=?。

定理4 當蜂群的迭代次數趨近于無窮時，蜂群的狀態序列定然進入到最優狀態集B。

引理2 MIABC算法滿足假設2。

則由上述這些定理和證明可知，因為MIABC算法同時滿足假設1和假設2，所以由全局收斂的充要條件(定理1)可得，MIABC算法是全局收斂的。

5 結語

本文為了開發蜂群搜索能力，在標準人工蜂群算法的基礎上，進行了三處改進:在采蜜蜂搜索方式上采用隨機鄰域搜索策略、跨維度搜索策略以及改進的邊界越限設定方式，擴大了采蜜蜂搜索范圍，增加了種群多樣性，構建了多交互式人工蜂群算法(MIABC)。從五種經典基準測試函數上測試的結果可以看出，MIABC算法的尋優性能、收斂速度、尋優精度和穩定性明顯提高，同時通過收斂性分析，可以得出MIABC算法全局收斂。不過，MIABC算法還存在一些不足，對于低維數問題的求解沒有明顯優勢，但是，MIABC算法的改進策略使得其適用于多維且各維取值范圍相似或相同的尋優問題和多維無約束問題求解，例如風電場調度問題、火電機組調度問題、旅行商問題等。

)

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ThisworkispartiallysupportedbyResearchInnovationProjectofShanghaiEducationDepartment(13YZ140).

LIN Kai, born in 1992, M. S. candidate. His research interests include wind farm optimitation scheduling, swarm intelligence algorithm.

CHEN Guochu, born in 1971, Ph. D., professor. His research interests include modeling, simulation, optimization and control of complex system, wind resource assessment and forecasting, wind power prediction.

ZHANG Xin, born in 1991, M. S. Her research interests include wind power prediction, swarm intelligence algorithm.

Multiple interactive artificial bee colony algorithm and its convergence analysis

LIN Kai*, CHEN Guochu, ZHANG Xin

(SchoolofElectricalEngineering,ShanghaiDianjiUniversity,Shanghai200240,China)

Aiming at the shortcomings of Artificial Bee Colony (ABC) algorithm, which is not easy to jump out of the local optimal value, a Multiple Interactive Artificial Bee Colony (MIABC) algorithm was proposed. The proposed algorithm was based on the basic ABC algorithm, involved the random neighborhood search strategy and the cross-dimensional search strategy, and improved the treatment when bees exceed the limit, so the search way of the algorithm became various, the algorithm itself had stronger bound and it’s hard to trap in the local optimal value. Meanwhile, the convergence analysis and performance test were carried out. The simulation result based on five kinds of classic benchmark functions and experimental results for time complexity show that comparing with the standard ABC algorithm and basic Particle Swarm Optimization (PSO), this proposed method has faster convergence speed which is increased by about 30% and 65% at 1E-2 accuracy and better search precision, besides, it has significant advantages in solving high dimensional problems.

Artificial Bee Colony (ABC) algorithm; cross-dimensional search strategy; stochastic neighborhood search strategy; search precision; convergence analysis

2016- 09- 18;

2016- 10- 26。

上海市教委科研創新項目(13YZ140)。

林凱(1992—)，男，浙江溫州人，碩士研究生，主要研究方向：風電場優化調度、群智能算法； 陳國初(1971—)，男，江西九江人，教授，博士，主要研究方向：復雜系統建模仿真及優化與控制、風能資源評估與預測、風電功率預測； 張鑫(1991—)，女，湖北棗陽人，碩士，主要研究方向：風電功率預測、群智能算法。

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1307.TP.20161031.1627.002.html。

1001- 9081(2017)03- 0760- 06

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.03.760

TP

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