基于fortran語言的二維逾滲模擬

賈沛宇

摘 要：逾滲理論是處理強無序和具有隨機幾何結構系統常用的理論方法之一。用fortran語言模擬逾滲模型將為科技工作者的研究提供極大便利。本文給出了用fortran語言模擬二維逾滲模型的一種運行時間短、結果較為準確的程序方法，并詳細分析模擬結果。

關鍵詞：二維逾滲 fortran 語言逾滲 閾值

一、用fortran模擬二維逾滲

建立二維點逾滲模型如下：把平面分為正方形格子，每一個格子有占據和空兩種概率。分別以灰和白表示。如圖所示。設每一個格點被占據的概率為P，這一概率與周圍環境無關。若一組占據格點其間任意二格點滿足直接相連或間接相連，則這組占據格點稱為集團。其中跨越邊界的大集團稱為跨越集團，沒有跨越邊界的小集團稱為孤立集團。

本法用fortran語言在計算機上模擬二維點逾滲模型主要有以下三步：第一步生成逾滲集團；第二步標定集團，即找出每個集團所包含的格點，并對每個集團編號，以便進一步分析；第三步根據第二步結果具體計算逾滲閾值。

1.1生成逾滲集團

1.1.1調用init_random_seed函數，產生隨機數。設置100行100列的數組（i表示行，j表示列），按從下到上從左到右的順序將每個格子依次命名為（1，1），（1，2）……默認產生的隨機數按照定義的順序（從下到上，從左到右）依次填充在給定的格子中。

1.1.2將區間[0，1]分成100份，給定概率P，使P從0開始以0.01的步幅不斷增大到1。

1.1.3表示該格點為占據格點；反之，則對應為0，表示該格點為空白格點。這樣便將模型中占據、空白兩種情況在計算機模擬上予以了區分。

1.1.4統計占據格點的格點數目。即格點中數字為“1”的格點數目。

1.2標定集團編號

本文提供的標定集團編號方法由Hoshen和Kopelman算法發展而來。按照以下規則進行：按照從下到上從左到右的順序考察每一個格點。若為空白格點，則將其跳過。若為占據格點，則考察其緊鄰的左和下二格點的占據情況。若左、下二格點均為空白格點（即均為“0”），則賦予該占據格點新的集團編號；若左、下二格點中一個為占據格點（即為“1”），另一為空白格點（即為“0”），則該占據格點集團編號與左、下二格點中占據格點集團編號相同；若左、下二格點均為占據格點（即均為“1”），則比較兩占據格點集團編號，將這三個占據格點集團編號全部命名為左、下兩個占據集團中編號數較小的編號。

但這一規則在第一行和第一列的具體運行中有困難。原因是第一行的格點不存在下方格點，第一列格點不存在左方格點。為了使平面所有格點均遵循這一規則，精簡編程語言，加快計算機運行速度，特擴充原有格點。定義“0”行，“0”列，補充在原有空間格點的下方和左方，并定義其全部為空白格點（即為“0”）。該擴充格點解決了原有格點中第一行第一列不適用原有規則的問題，并且不影響原有格點集團編號，使得上述標定集團編號規則在所有的平面格點中均適用。

1.3計算逾滲閾值和臨界概率

1.3.1判斷跨越集團，并統計跨越集團中格點數目。在按照第二步給定的規則標定好集團編號之后，跨越集團即為集團內格點包含所有行數（在本文程序中即為行數i取遍從1到100的所有行數）的集團。

1.3.2求跨越集團所占概率。

定義跨越集團所占概率probability=

對于每生成的一組隨機數，P分別從“0”開始按照每次0.01的步幅不斷增大，即P依次取0.01，0.02……一直到1.分別算出每給定一個P值，對應的跨越集團所占的概率。隨著P的增大，跨越集團從無到有。在P值很小時，概率probalility一直為0.直到P值增加到某一值時，概率probalility開始大于0，并隨著P的增加開始急劇增大。

1.3.3判斷逾滲閾值Pc。在P的一系列取值中，在某一數值處，概率probalility的開始不為0（即平面格點開始出現跨越集團），并且急劇增加，則取該P值為逾滲閾值Pc。在fortran語言中判斷的標準為：該P值（即逾滲閾值Pc）對應的概率probability不為0，而它前面的一項P值對應的概率probability為0.給出多組隨機數，求出每組隨機數的逾滲閾值Pc。再將一系列Pc求平均，模擬出較為準確的逾滲閾值Pc。

二、結果分析

本文給定的程序中共運行30次100行100列的隨機數，分別計算出每次隨機數的逾滲閾值Pc，并將這一系列Pc多次求解平均數，以求達到更精確的擬合效果。運用dislin軟件，繪制出三條跨越集團所占概率probability對P值的關系曲線。由于程序運行自動給出隨機數，每次運行結果略有不同。本文選取其中一次運行結果并予以分析。

程序運行之后，計算機給出的運行結果臨界閾值Pc=0.60567，臨界指數為0.10240。

查閱相關文獻，對于二維正方形格點，逾滲閾值Pc≈0.5927。本文提供的程序達到了擬合的精確度。并且運算速度快，運行時間相對較短。但本程序存在一定誤差。多次運行發現，30組隨機數和50組隨機數的運行結果極其相似。誤差存在原因是模型給定的平面正方形格子為100行100列，讀者可以適當擴大行列數。同時本文只給出了30組隨機數的運行結果，樣本數量不夠大。讀者可自行取更大的樣本數量，擬合結果將更加精確。

圖1給出了三條跨越集團所占概率probability對給定P的關系曲線。每條曲線均由大量數據多次求平均值后畫出。當0≤P≤0.55時，跨越集團所占概率probability=0。當P取為0.55—0.60的某一數值時，跨越集團所占概率probability開始不為0，并且隨著P的增加而急劇增加。在P=0.8之后，跨越集團所占概率probability接近1，并且隨著P的增加無限接近于1。從該曲線可以看出二維平面正方形格點模型逾滲閾值Pc在[0.55，0.60]區間范圍內，在逾滲閾值Pc處，跨越集團所占概率發生急劇變化。反映在二維逾滲的實際問題中，則是研究對象的物理性質發生突變。擬合結果與實際結果完全符合。

參考文獻：

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