迭代數(shù)列的收斂性研究

高新濤，陳 麗（. 河南工業(yè)技師學(xué)院，河南 鄭州 450007；. 中原工學(xué)院 信息商務(wù)學(xué)院，河南 鄭州 450007)

迭代數(shù)列的收斂性研究

高新濤1，陳 麗2
（1. 河南工業(yè)技師學(xué)院，河南 鄭州 450007；2. 中原工學(xué)院 信息商務(wù)學(xué)院，河南 鄭州 450007)

為了判斷迭代數(shù)列是否收斂，并求解收斂數(shù)列的極限，首先，將迭代數(shù)列轉(zhuǎn)化為迭代方程；接著，利用壓縮映射原理判斷迭代方程是否存在不動點；最后，給出在完備及緊的距離空間上，函數(shù)存在唯一不動點的條件，從而判斷迭代數(shù)列是否收斂，得到了判斷迭代數(shù)列斂散性的若干定理．通過例子，說明了定理在判斷迭代數(shù)列斂散性方面的有效性，且運用2種證明方法證明了著名的開普勒方程解的存在性和唯一性．

迭代數(shù)列；迭代函數(shù)；壓縮映射；壓縮映射原理；不動點

1 概念與定理

定義 2 設(shè)M是n維空間中的非空點集，定義映射f:M→M，如果點集M中存在點P滿足則稱點P是映射f的不動點．

注1 不是任何映射都有不動點，為了研究不動點的存在性，我們引入壓縮映射概念．

定義3 對于映射f:M→M，如果存在常數(shù)使得那么映射f叫做壓縮映射．

注2 壓縮映射的意義是：M上任意2點的像的距離不超過這2點距離的α倍．

2 實例

3 結(jié)論

本文主要討論用壓縮映射原理來求迭代數(shù)列的極限．從以上論述不難看出，利用壓縮映射原理來求迭代數(shù)列的極限時確實比較簡潔、方便．

[1]綦建剛. 級數(shù)收斂定理在迭代數(shù)列中的應(yīng)用[J]. 山東師范大學(xué)學(xué)報, 2004, 2(19): 96-98.

[2]張恭慶, 林源渠. 泛函分析講義[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2003.

[3]劉炳初. 泛函分析[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2005.

[4]陳永明. 遞推式[M]. 上海: 上海科技出版社, 1989.

(責(zé)任編校：陳健瓊)

Research on Judging the Convergence of Iterative Sequence

GAO Xin-tao1,CHEN Li2
(1. Henan Industrial Technician College, Zhengzhou, Henan 450007, China; 2. Institute of Information Business, Zhongyuan Technology College, Zhengzhou, Henan 450007, China)

In order to judge whether an iteration sequence is convergent and solve the limit of the convergence sequence, firstly, the iterative sequence is transformed into an iterative equation. Then, the existence of fixed points is determined by the contractive mapping principle. Finally, in the complete and compact space, we obtain the condition that the function has unique fixed point. It can be used to judge whether the iteration sequence is convergent or not. Some theorems for judging the convergence and divergence of iterative sequence are obtained. Some examples are given to show the validity of the theorems in judging the convergence of iterative sequences. Two proof methods are given to prove the existence and uniqueness of the solution of the famous Kepler equation.

iterative sequence; iteration function; contraction mapping; contraction mapping principle; fixed point

O13

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.01.09

1672–7304(2017)01–0041–04

2016-02-10

國家自然科學(xué)基金項目(61179040)；中央高校基本科研基金項目(JB150718)

高新濤(1982-)，男，河南商丘人，講師，碩士，主要從事高等數(shù)學(xué)和偏微分方程研究. Email: gxtgao213@163.com