基于Landweber迭代重構河流污染物初值

邢利英　張國珍　孫三祥　饒小波

摘要：采用Landweber迭代建立了一維河流水體污染物非恒定輸運逆問題模型，通過某時刻實測值來反演污染物初始濃度分布，應用Landweber迭代算法反演了一維純擴散和對流一擴散過程兩個算例。結果表明：Landweber迭代能準確重構污染物的初始分布，并且該方法具有良好的抗干擾性；當測量誤差較大時，該算法仍能較好地反演污染物初始濃度，即Landweber達代可以較精確地反演一些非連續的污染物初始濃度，可以較好地解決一些連續污染物初值和污染源項的識別問題。

關鍵詞：純擴散方程；對流-擴散方程；Landweber迭代；污染物；初值

水污染模型是環境動力學中重要的研究課題。一些有機物質、有毒有害物質、重金屬的輸運過程符合對流一擴散方程，關于對流一擴散方程的反問題，有許多不同的算法，比如基于馬爾科夫鏈的貝葉斯法（B-MCMC）、Tikhonov正則法（TRM）、遺傳算法（GAM）和時空全域配點法（MQCM）等。Hazart A，等應用B-MCMC重構了點污染源的位置、釋放時間和釋放量：李功勝等應用一種最佳迭代正則化算法反演污染源項，數值計算結果表明，在測量數據存在干擾時，這種算法仍可以精確、穩定地反演污染源項；徐波等提出應用GAM來確定源項，將源項識別問題轉變為優化問題，從任意的初始猜測值開始，通過交叉變異算子較為精確地尋找全局最優解：關于初始條件的反演問題，李子等采用時空全域配點法求解一維污染物對流一擴散過程的源項識別問題。

上述數值方法反演速度比較快，能夠滿足工程的要求，但不可避免地存在一些問題：B-MCMC需要估計一些參數的先驗概率分布，若這些估計不準確，則可能導致較大的誤差：TRM需要一個較好的近似解，不斷驗算正則化參數，以便得到一個較為合適的重構值；針對GAM反演源項，需要編制復雜的程序，包括選擇算子、交叉算子、變異算子，這3個算子又包含交叉概率和變異概率等參數，這些參數對于模擬結果有較大影響。目前來說，這些參數的選擇主要依靠經驗，若選擇不合適，則可能需要更多的訓練時間搜尋最佳結果。Landweber迭代不存在以上問題，汪繼文等應用Landweber迭代重構了基于時間和空問變量的熱傳導方程的源項。基于上述分析，本文采用Landweber迭代重構非恒定河流污染物輸運的初值。