解析數學分類討論思想的實際應用

王翔宇

摘 要：介紹了分類討論思想的基本概念，指出其基本原則，包括分類標準明確、分類完整、按需求逐層分類、保持分類簡潔，并據此論述了分類討論思想的應用方法。以求解函數、概率和數列的題目作為例子，介紹了在解決數學問題時應當如何采用該思想。分析了分類討論思想在生活中的指導價值，指出其方法論意義和對邏輯思維鍛煉的有利作用。

關鍵詞：數學；分類討論；應用

一、分類討論思想概述

（一）基本概念

分類討論思想提煉于具體的解題過程。某些數學問題的條件不具有唯一性，使得結論也不具有唯一性，比如說某一函數表達式含有字母參數，這些參數的取值變化會使函數的性質產生差異，這將導致題目有不同的結論。這時就需要將已知條件按一定的標準進行分類，將一個大問題分割成一個個小問題，先解決被分割出的小問題，再綜合整理小問題的答案，由此確定原題的完整結論。如是即為分類討論思想的核心內涵。

（二）基本原則

在應用分類討論思想時有其特定的原則，概括出來有四點：分類標準明確且統一；子問題沒有缺漏和重復；復雜問題逐層分類；分類形式力求簡單。為了做出正確的分類，首先分類標準要明確且不能混淆，三角形按內角角度分是一種分法，按三邊長度關系分則又是另外一種不同的分法，如果把鈍角三角形和等邊三角形歸于一類，那么就會顯得混亂，因為此時的分類標準是缺乏一致性的。在確定分類標準后，只有保證子問題既沒有缺漏又沒有重復，才能保證結果的正確性，針對一些不確定條件較多的問題，需要多層分類，不同層級的分類之間也應保證界限清楚。將問題進行分類是為了解決問題，而很多問題的分類角度不止一種，如何從中選擇最簡潔、最不易出錯的一種，也是分類討論思想中必須考慮的一部分。

（三）應用方法

根據分類討論思想的基本原則，逐點對照，避免出錯，便是分類討論思想的應用方法。首先理清問題，確定可供分類的所有依據，然后保證分類的完備性，在進一步的解題中如果有需要則再做下一層分類，最后檢查解決方法是否簡潔，是否可以優化。

二、數學題目中的分類討論

（一）求解函數問題

問題：求解以x作為未知數的不等式：sx2-（s+2）x+2<0。

這道題中x是需要求解的未知量，而s則作為一個取值待定的已知量。通過觀察可以發現，s是二次項的系數，s是否為0決定了該不等式是一次還是二次；當s不為0時，s的正負又決定了不等號左邊的二次函數的圖像的開口方向；當s的正負劃分好之后，在s>0的情況下，1與2/s的大小關系又影響了最終結果的取值區間，因此，本題一共需做三層劃分。

（1）s=0，不等式化為-2x+2<0，解為：x>1；

（2）s≠0，不等式化為s（x-1）（x-2/s）<0

①s<0，不等式化為（x-1）（x-2/s）>0，解為：x>1或x<2/s；

②s>0，不等式化為（x-1）（x-2/s）<0；

i：0ii：s=2，不等式無解；

iii：s>2，解為2/s