混雜隨機微分方程理論概述

摘要

本文對混雜隨機時滯微分方程的當前發(fā)展及最新的研究成果進行了概述.主要回顧了混雜隨機微分方程解的存在唯一性定理、穩(wěn)定性、魯棒有界性以及離散時間反饋鎮(zhèn)定性等部分對混雜隨機微分方程的研究起到關鍵推動作用的成果.

關鍵詞

布朗運動；馬爾科夫鏈；存在唯一性；穩(wěn)定性；反饋控制；鎮(zhèn)定

中圖分類號TP13

文獻標志碼A

收稿日期20170403

資助項目英國利華休姆信托基金（RF2015385）；英國皇家學會沃爾夫森研究獎（WM160014）；英國皇家學會牛頓高級學者基金（NA160317）；中國教育部資助基金（MS2014DHDX020）

作者簡介

毛學榮，男，博士，教授，國際著名隨機分析專家，蘇格蘭皇家科學院院士（FRSE），教育部長江講座教授，教育部海外名師，英國皇家學院沃爾夫森研究功勛獎獲得者. x.mao@strath.ac.uk

1斯特萊斯克萊德大學， 英國， 格拉斯哥

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本文原文為英文，希望感興趣的讀者進一步關注原文.

1） 存在唯一性定理方面：對于一個給定的方程，它的解是否存在？如果解存在，其解是否唯一？這兩個問題是研究一切穩(wěn)定性問題及其他問題的基礎，因此非常重要.經(jīng)典結果要求方程系數(shù)滿足局部利普希茨條件與線性增長條件，但很多高度非線性的混雜隨機時滯方程并不滿足線性增長條件.基于此，原文介紹了文獻[17]的工作，該文獻把經(jīng)典的隨機微分方程的Khasminskii判據(jù)拓展到混雜隨機時滯方程，意味著在局部利普希茨條件和Khasminskii條件下，解的存在唯一性可以得到保證，而這兩個條件允許方程系數(shù)具有高度非線性.

2） 穩(wěn)定性理論方面：處理時滯系統(tǒng)一般用Lyapunov泛函法，但是構造一個合適的Lyapunov泛函很困難，故原文概述的文獻主要還是以Lyapunov函數(shù)法為主，而考慮的穩(wěn)定性類型為指數(shù)穩(wěn)定性.

文獻[14]給出了系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.文獻[13]給出了p階矩漸近穩(wěn)定性的充分性判據(jù)；需要指出的是，由于系統(tǒng)是馬爾科夫跳變的，因此文獻[13]用了M矩陣方法，這個方法也是處理馬爾科夫跳變系統(tǒng)常用的方法.文獻[13]與[14]雖然給出了指數(shù)穩(wěn)定性與矩漸近穩(wěn)定性的充分條件，但是它們不能允許系統(tǒng)的系數(shù)是高階非線性的.為此，文獻[20]給出了p階矩指數(shù)穩(wěn)定的充分性條件，并且允許系數(shù)是高階非線性的.后來，作者注意到，不同的模態(tài)可能導致Lyapunov函數(shù)的階數(shù)不同，這樣，文獻[20]的結論就不再適用.因此，文獻[17]又進行了新的探索，給出了混雜系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.

3） 魯棒穩(wěn)定性與有界性方面：在關于系統(tǒng)漸近性態(tài)的研究中，魯棒穩(wěn)定性極受關注.然而，直到2013年，相關研究都是基于線性增長條件的，很少有文章關注不具備線性增長條件的非線性隨機時滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.文獻[31]（即本文定理10，11，13）首次建立了非線性混雜隨機時滯微分方程的魯棒穩(wěn)定性的基本理論.文獻[31]（即本文定理10，12）還給出了擾動系統(tǒng)的p階矩漸近有界性.

4） 離散時間反饋鎮(zhèn)定方面：連續(xù)時間反饋需要知道狀態(tài)在每個時刻的值，而離散時間反饋只需要知道固定時間點的狀態(tài)值，因此采用離散時間反饋可以減小代價.在全局利普希茨條件下，只要離散反饋的周期足夠小，那么離散時間反饋控制問題就可以轉化為經(jīng)典的連續(xù)時間控制問題.