基于傳遞函數法的單自由粘彈性減震整體系統隨機響應分析

李創第 丁昊 葛新廣

摘 要：為建立粘彈性耗能結構整體系統的精確模態分解反應譜設計法，對單自由度一般線性粘彈性阻尼器耗能減震系統隨機地震響應進行系統研究.在進行時域非擴階精確建模基礎上，應用傳遞函數法，得到結構整體系統時域瞬態響應精確解；然后，運用標準振子分解法，將基于Kanai-Tajimi的響應方差精確分解為一階和二階標準振子響應方差的線性組合，并用算例驗證了本文方法的正確性，從而建立了耗能結構整體系統基于Kanni- Tajimi激勵響應特性分析的一整套方法.

關鍵詞：傳遞函數法；標準振子分解法；隨機響應；精確解；粘彈性耗能結構整體系統

中圖分類號：TU311.3 文獻標志碼：A

0 引言

粘彈性阻尼器已廣泛用于各種土木結構的抗震抗風耗能減振[1-4].橡膠基礎隔震支座本質上也是一種粘彈性阻尼器[5-6].粘彈性減震控制的實用設計理論及其在規范中的應用已被列為我國土木結構振動控制領域近期需要深入研究的關鍵科學問題之一[7].

我國目前分析水平地震作用的方法主要有底部剪力法和振型分解反應譜法.對于高度不超過40 m，以剪切變形為主且質量和剛度沿高度分布比較均勻的結構，以及近似于單質點體系的結構，可采用底部剪力法計算.除上述結構以外的建筑結構，宜采用“振型分解反應譜法”.后者是利用單自由度體系的加速度設計反應譜和振型分解的原理，求解各階振型對應的等效地震作用，然后按照一定的組合原則對各階振型的地震作用效應進行組合，從而得到多自由度體系的地震作用效應.目前隨著新型隔震技術的快速發展及各種粘彈性阻尼器的大量使用，使此類頻率依賴結構呈現出大阻尼比和強非經典阻尼分布的特點，結構的動力特性隨之改變，已失去嚴格的振型概念，振型分解法隨之失效，傳統方法已不能對結構運動方程進行解耦.

粘彈性阻尼耗能結構的現有解析法為擴階精確法和非擴階近似法.擴階精確法的不足在于擴階方程組的變量個數劇增，計算效率低和物理意義不明確等；該法主要用于易擴階近似模型，如廣義Maxwell[8-11]模型等，其他模型應用時使用方法將受到限制；此外該法尚未涉及對耗能結構安全有重大影響的阻尼器受力的響應.非擴階近似法有模態應變能法[12]、隨機平均法[13]和強行振型分解法[14]，由于它們均采用較多近似假設，其精度及適用范圍有待提高.

國內學者基于模態應變能法提出了強行振型解耦法，建立了基于小阻尼比條件下的振型分解反應譜設計法，并寫入現行抗震規范.由于該法在解耦時強行忽略非對角元素的耦聯作用，因此在求解地震作用時會存在一定的誤差；此外該法僅在小阻尼比的情況下具有較好的精度，而對前述頻率結構進行解耦時會產生較大的誤差，不利于進行有效的抗震設計.此外，阻尼器的受力性能對耗能結構安全有重大影響，國內外土木工程領域已明確提出要提高此類保護系統的（如阻尼器等）安全等級及建立相關實用設計方法[7].而我國現行抗震規范尚未建立耗能結構保護系統基于規范反應譜[15-18]的抗震設計方法，因此建立單自由度粘彈性耗能整體系統的精確模態分解反應譜設計法（包括阻尼器等）就顯得尤為必要.

傳遞函數法的原理是通過對變頻的微分積分混合型運動方程進行拉普拉斯變換，將原時變結構轉換為定常結構，在拉氏域內對運動方程進行解耦，降低了積分微分混合型方程的求解難度，且求解過程簡單，使得計算效率相比傳統方法顯著提高，但該方法尚未見應用于粘彈性阻尼器頻率相關（即依賴于頻率）系統.本文用傳遞函數法獲得此類結構系統的時域瞬態響應精確解，并應用標準振子分解法得到了其在Kanai-Tajimi譜[19-21]下的響應方差，由于基于標準振子分解的方差響應可直接應用于抗震規范的設計取值分析，從而構建了此類耗能減震系統基于Kanni- Tajimi激勵響應特性分析的一整套方法.

1 結構運動方程

1.1 阻尼器本構方程

對于一般線性粘彈性阻尼器PQ（t），其本構方程為：

PQ（t）=Q（t-？子）（？子）d？子=kQxQ（t）+P（t）

P（t）=hQ（t-？子）Q（？子）d？子（1）

式中：PQ（t）——阻尼器的受力；xQ（t）——阻尼器的相對位移；Q（t）——阻尼器的松弛模量函數；kQ——阻尼器的平衡剛度，且滿足kQ=Q（+∞）；hQ（t）——阻尼器的松弛函數，且滿足hQ（t）=Q（t）-Q（+∞）.

對于一般線性粘彈性阻尼器PQ（t），它的Q（s）可表示為[4]：

Q（s）=（2）

式中：Q（s）為hQ（t）的拉氏變換；qn（s）和qn-1（s）分別為s的n次和（n-1）次多項式函數.

1.2 結構運動方程

單自由度結構計算簡圖如圖1所示，結構運動方程為：

m+c+kx+PQ（t）=f（t）（3）

式中：m，c，k分別為結構的質量、阻尼和剛度；x——結構位移； f（t）——作用于結構的任意外部激勵，特別地，對于地震動激勵，f（t）=-mg（t），其中g（t）為地震地面加速度.

結構整體方程式（1）—式（3）可化簡為：

+2？孜0 ？棕0 +x+hQ（t-？子）（？子）d？子=（4）

式中：

=； 2？孜0 ？棕0=（5）

2 結構系統特征值和傳遞函數

2.1 結構系統特征值

設結構的初始條件為：

x（0）=x0；（0）=0（6）

對式（1）和式（4）取拉氏變換，可得：

Dx（s）（s）=（s）；（s）=Hx（s）（s）（7）

DP（s）（s）=（s）-DP（s）Q（s）x0；（s）=HP（s）（s）-Q（s）x0（8）

式中：（s），（s），Q（s）分別為P（t），x（t），hQ（t）的拉氏變換；Dx（s）和Hx（s）分別為結構位移x（t）的動剛和傳遞函數；DP（s）和HP（s）分別為阻尼力的（s）動剛和傳遞函數；（s）是等效力函數；它們的表達式為：

Dx（s）=（s）=s2+2？孜0？棕0s+sQ（s）+（9）

DP（s）=（s）= （10）

（s）=（s）+Q（s）+2？孜0？棕0+s x0+0（11）

式中：（s）為f（t）的拉氏變換.

結構特征值sj及其對應模態uj滿足的方程為：

Dx（sj）=0；Dx（sj）uj=0（12）

阻尼器特征值？姿j及其對應模態vj滿足的方程為：

DP（？姿j）=0；DP（sj）vj=0 （13）

將式（2）代入式（12）和式（13），則結構和阻尼器特征值方程分別化為：

m（+2？孜0 ？棕0 sj+）qn（sj）+sqn-1（sj）=0 （14）

m（+2？孜0 ？棕0 ？姿j+）qn（？姿j）+sqn-1（？姿j）=0 （15）

式（14）和式（15）表明：結構和阻尼器的N個（N=2×1+n）特征值完全相同，即：sj=？姿j（j=1，…，N）；由于結構是穩定的，所以在N個特征值中，將有2×1個負實部共軛特征值和n個負實數特征值.

2.2 結構系統傳遞函數

2.2.1 結構傳遞函數

由于結構特征值sj（j=1，…，N）是結構傳遞函數Hx（s）的極值點，因此結構傳遞函數Hx（s）可表示為：

Hx（s）===（16）

式中：？濁j為待求常數.

由式（16），可將結構模態ui表示為：

ui==？濁iui， i=1，…，N（17）

？濁j==， j=1，…，N（18）

由式（9）可得：

=2sj+2？孜0？棕0+Q（sj）+sj（19）

式（16）、式（18）和式（19）表明：結構位移傳遞函數可用結構特征值sj解析表示，與結構模態uj無關，故不失一般性，可取結構模態uj=1（j=1，…，N）.

同理，可求得sHx（s）的解析式為：

sHx（s）== （20）

2.2.2 阻尼器傳遞函數

同理，阻尼器傳遞函數HP（s）可表示為：

HP（s）=== （21）

由式（10），并考慮關系式（12）和式（18），可得：

？滋j===sj？濁jhQ（sj）， j=1，…，N （22）

總之，從式（16）、式（20）和式（21）可以看出：結構系統傳遞函數均可用結構特征值sj解析表示，且結構模態uj=1（j=1，…，N）.

3 結構系統時域瞬態響應精確解

3.1 結構響應精確解

由式（7）、式（11）和式（16），有：

x（s）=Hx（s）（s）=？濁j++x0（23）

對式（23）取拉氏逆變換，得：

x（t）=？濁jef（？子）+hQ（？子）x0d？子+e0+（2？孜0 ？棕0+sj）x0+x0 ？啄（t） （24）

式中：？啄（t）為Dirac delta函數.

對于t>0，結構位移響應可進一步表示為：

x（t）=？濁jef（？子）d？子+aj（t）（25）

式中：aj（t）表示由初始條件產生的響應，

aj（t）=ehQ（？子）x0d？子+e0+（2？孜0 ？棕+sj）x0（26）

顯然，對于零初始條件，aj（t）=0（j=1，…，N）.

同理，對于t>0，由式（8）、式（11）和式（20），結構速度響應為：

（t）=sj？濁jef（？子）d？子+aj（t）（27）

3.2 阻尼器受力瞬態響應精確解

同理，對于t>0，由式（8）、式（11）和式（21），阻尼力響應為：

P（t）=sj？濁jQ（sj）ef（？子）d？子+aj（t）-x0hQ（t）（28）

對于t>0，由式（1）、式（24）和式（28），阻尼器響應為：

PQ（t）=kQ x+P（t）=？濁jkQ+sjQ（sj）ef（？子）d？子+aj（t）-x0 hQ（t）（29）

3.3 結構系統地震響應

特別地，對于地震動激勵，f（t）=-mg，在零初始條件下，由式（25）、式（27）～式（29），耗能減震系統的結構位移、速度以及阻尼器受力等系統響應量S（t）均可以統一表示為：

S（t）=？籽jbj（t）（30）

式中：？籽j為結構系統響應S（t）對應已得的響應系數，例如，對于結構速度響應S（t），？籽j=sj？濁j；yj（t）為標準一階系統對地震激勵的響應，bj（t）=-eg（？子）d？子， j=1，…，N.

3.4 小結

1） 由式（14）和式（15）看出，經過嚴格的數學推導得出了結構特征方程與阻尼器特征方程具有相同的特征值sj；

2） 由式（16）、式（20）和式（21）看出，結構傳遞函數與阻尼器傳遞函數均可以用特征值sj及對應的響應系數？籽j進行解析表示；

3） 由式（25）、式（27）和式（29）看出，應用拉氏逆變換，可以分別求出結構位移、速度和阻尼器受力的時域瞬態響應精確解；

4） 由式（30）看出，結構系統響應S（t）完全類似于多自由度振型疊加法解耦形式，并且各特征值對應的各模態均可以取為1，具有明確的物理意義；

5） 除求解特征值sj及對應系數？籽j外，其他計算過程均為嚴格的解析表達式，并且系統響應的計算分析可以完全歸結于對特征值和對應模態的分析；

6） 在拉氏域內對運動方程進行解耦，降低了積分微分混合型方程的求解難度，且求解過程簡單，使得計算效率相比傳統方法顯著提高.

4 結構系統平穩響應解析解

4.1 基于Kanni-Tajimi激勵譜地震激勵模型

設零均值為平穩隨機過程激勵g（t）的相關函數C（？子）和譜密度函數S（？棕）為：

C（？子）=Eg（t）g（t+？子）=？滓2e（cos？茁？子+？滋sin？茁？子）（31）

S（？棕）=（32）

式中：E[·]表示取數學期望；？子和？棕分別為g（t）的時差和頻率變量；？滓2，？琢，？茁，？滋分別為g（t）的方差、相關因子、卓越頻率因子和正弦函數參與因子.

當？滓2=；？琢=？孜g？棕g；？茁=？棕g；？滋=·時，有：

S（？棕）=s0（33）

式（33）即為結構地震工程分析中常用的Kanni- Tajimi激勵譜模型[25]，其中：s0是一反應地震動強弱程度的譜常數；？棕g和？孜g分別是地震地面特征頻率和阻尼比.

4.2 結構系統響應方差解析式

4.2.1 結構系統響應方差的標準振子分解

由于結構是穩定的，所以在N個特征值中，將有2×1個負實部共軛特征值和n個負實數特征值.令實特征值（j=1，…，n）和復特征值（j=1，2）及它們對應的響應系數如下：

=-？琢j，（？琢j>0）；=ej （j=1，…，n）（34）

==-？孜1？棕1+i？棕1； ==a1+ib1（35）

式中，“—”表示取復共軛；？棕1和？孜1分別表示結構振動模態的頻率和阻尼器比，它們可以從復特征值中得到：

？棕1=s；？孜1=-（36）

結構系統響應方差可表示為：

ES（t1）S（t2）=？籽j ？籽kEg（t1）g（t2）e d？子1d？子2=

？籽j ？籽kS（？棕）Eg（t1）g（t2）e d？子1d？子2d？棕=

？籽j ？籽kS（？棕）d？棕（37）

式中：S（？棕）為地震激勵g（t）的功率譜.

對于平穩響應，可令t1→∞，t2→∞，t1-t2→？子，則有：

ES2（t）=？籽j ？籽kS（？棕）d？棕（38）

根據式（34）—式（35），則有：

=++=+2（z1+i？棕a1）H2（？棕）（39）

式中：z1=a1？孜1？棕1-b1？棕1，H2（？棕）為標準二階系統的頻率響應特性函數，且有H2（？棕）=？棕-？棕2+2i？孜1？棕1？棕.

同理可得：

=-+=+2（z1-i？棕a1）2（？棕）（40）

式中：2（？棕）=？棕-？棕2-2i？孜l ？棕l ？棕.

由式（39）和式（40），可得：

？籽j ？籽k=

+2（z1-i？棕a1）2（？棕）+（z1-i？棕a1）H2（？棕）+

4（z+？棕2a）H2（？棕）=T1+T2+T3（41）

將T1和T2按標準二階和標準一階系統的頻率響應特性函數的模平方H2j（？棕），H1j（？棕）進行恒等分解得：

T1=eH1j（？棕）+（？琢jH1j（？棕）+？琢kH1k（？棕））（42）

T2=4ekQ1rH1（？棕）+V1rH2（？棕）+W1r？棕2H2（？棕）（43）

式中：Q1r，V1r，W1r為代表參數多項式的常量，H1j（？棕）為標準一階系統的頻率響應特性函數性函數，且有H1j（？棕）=.

由式（41）—式（43），可得結構系統響應方差基于標準振子分解解析表達式為：

ES2（t）=eI1j +2（？琢jI1j+？琢kI1k）+4ekQ1kI1k+

4ek（V1kI21+W1kI22）+4（z+aI22）=D1+D2+D3+D4（44）

式中，I1j （？琢j）為一階系列標準振子的位移響應方差；I21（？棕j，？孜j）和I22（？棕j，？孜j）分別為二階系列標準振子的位移與速度響應方差；它們的表達式為：

I1j （？琢j）=H1j（？棕）S（？棕）d？棕（45）

I21（？棕1，？孜1）=H2（？棕）S（？棕）d？棕（46）

I22（？棕1，？孜1）=？棕2H2（？棕）S（？棕）d？棕（47）

式（44）的理論意義為：對任意的隨機地震動激勵g（t），耗能結構系統響應方差均嚴格滿足以結構負實特征值與共軛復特征值參數為基礎的一、二階標準運動方程的一、二階標準振子的響應方差的線性組合；D1+D2表示所有負實數特征根s（j=1，…，n）產生的總響應，用一階振子的響應表示；D3+D4表示一對共軛復特征根s和s產生的總響應，用二階振子的響應表示.

4.2.2 基于抗震規范的結構系統響應設計值

對耗能結構系統整體響應S（t）的設計值取值，即是求解結構響應的最大值Smax（t），設計值通常表示為響應S（t）的標準差？滓s和峰值系數Cf的乘積，即：

S（t）=CES2（t）=CD1+CD2+CD3+CD4（48）

式（48）說明若得到了各階標準振子在地震動激勵g（t）作用下的耗能結構系統整體響應方差，將其線性組合乘以峰值系數的平方便可得響應設計值的平方.令R1j（？琢j）=CI1j（？琢j），R21（？棕1，？孜1）=CI21（？棕1，？孜1），R22（？棕1，？孜1）=

CI22（？棕1，？孜1），則在式（44）中，分別用R1j（？琢j），R21（？棕1，？孜1），R22（？棕1，？孜1）取代I1j（？琢j），I21（？棕1，？孜1），I22（？棕1，？孜1），即可求得S（t），對其開方，即得結構響應設計值Smax（t）.

4.2.3 結構等效靜態地震作用計算

一旦求得耗能結構系統基于抗震規范的結構響應設計值Smax，例如一旦求得結構最大位移響應Smax=

xmax，由此即可求得結構系統的等效靜態地震作用力為：

FE=kxmax （49）

式中：xmax已由式（48）求得.

此外，由式（48）一旦求得結構最大速度響應Smax=max和阻尼器受力最大響應Smax=PQ（t）max，則單自由度粘彈性耗能整體系統基于抗震規范的響應設計值便建立完畢.

5 算例

5.1 算例1：頻率響應函數分析

5.1.1 結構系統頻率響應函數解析式

對于圖1所示的單自由度一般線性粘彈性阻尼器PQ（t）耗能減震系統，在地震激勵f（t）=-mg作用下.

1）直接計算法

對于零初始條件，對式（1）和式（4）取傅氏變換，可直接獲得結構位移和阻尼器的頻率響應函數解析式分別為：

Hx（i？棕）=-（50）

HP（i？棕）=kQ+（i？棕）HQ（i？棕）Hx（i？棕） （51）

式中，HQ（i？棕）是hQ（t）的傅氏變換.

2）特征值法

由式（25）和式（29），結構位移和阻尼器的頻率響應函數解析式分別為：

Hx（i？棕）=-（52）

HP（i？棕）=-（53）

5.1.2 驗證算例

如圖2所示單自由度設置五參數Maxwell阻尼器減震系統，結構的基本參數為：質量m=1 000 kg，剛度k=4×105 N/m，阻尼比？孜0按4種工況分別取？孜0=0.05，0.10，0.15和0.20.Maxwell阻尼器的基本參數為：平衡剛度kQ=1×105 N/m，阻尼器兩分支單元的剛度，k1=7×104 N/m，k2=8×104 N/m；阻尼器兩分支單元松弛時間的倒數？琢1=20 s-1，？琢2=10 s-1.

分別按直接計算法和特征值法計算結構位移和阻尼器受力頻率響應函數，4種工況下，結構位移頻率響應函數模Hx（i？棕）如圖3所示，阻尼器受力頻率響應函數模HP（i？棕）如圖4所示，從圖中可以看出，兩種計算方法的結果完全相同，從而驗證了本文計算方法的正確性.

5.2 算例2：隨機地震響應分析

如圖5所示單自由度阻尼器減震系統，結構參數為：質量m=1 000 kg；剛度k=4×105 N/m；阻尼比？孜0均勻變化，從0.05取到0.20，間隔為0.01.五參數Maxwell阻尼器參數為：平衡剛度kQ=1×105 N/m；阻尼器兩分支單元松弛時間的倒數？琢1=20 s-1，？琢2=10 s-1；阻尼器兩分支單元剛度按4種工況分別取為：k1=7×104，8×104，9×104，10×104；k2=8×104，9×104，10×104，11×104.地震動激勵參數[22]取為：場地條件——軟土；地震烈度I=8；地震動激勵g（t）為Kanai-Tajimi平穩過濾白噪聲，軟土場地特征頻率和阻尼比：？棕g=16.5 s-1，？孜g=0.8；地震動譜強度：S0=0.013 87 m2/s2.

當？孜0從0.05取到0.20（間隔為0.01）時，4種工況下分別采用標準振子分解法與相關函數計算法所得的結構位移、速度和阻尼器受力的方差如圖6—圖8所示.

由以上計算結果可以看出：

1）隨著阻尼比的增大，結構系統整體響應方差均逐漸減小；

2） 工況數越大，結構位移與速度響應方差越小，阻尼器受力響應方差越大，也即：工況數越大減震效果越好，說明增加同等性能的阻尼器可以提高減震效果；

3） 采用標準振子分解法與相關函數直接積分法所得的結構系統整體響應方差完全一致，說明了標準振子分解法的正確性.（“*”表示采用相關函數積分法所得結果）

6 結論

1）耗能減震系統的時域瞬態響精確解物理意義明確，系統的整體瞬態響應歸結于對耗能結構特征值和對應模態的分析；耗能結構系統整體響應可精確表示為結構各非正交模態的線性組合，能為頻率依賴結構的精確振型分解反應譜設計法提供分析路徑；

2）運用標準振子分解法，可將減震系統基于Kanni- Tajimi激勵譜的結構位移、速度及阻尼器受力響應的方差解析式精確分解為一階和二階標準振子響應方差的線性組合，并據此方差響應建立了基于抗震規范的響應設計值，從而構件了此類耗能減震系統基于Kanni- Tajimi激勵響應特性分析的一整套方法；

3）對于本算例，說明適當增加同等性能的阻尼器可以提高減震效果.

參考文獻

[1] SOONG T T， DARGUSH G F. Passive energy dissipation systems in structural engineering[M]. England： John Wiley and Ltd，1997.

[2] CHRISTOPOULOS C， FILIATRAULT A. Principle of passive supplemental damping and seismic isolation[M]. Pavia： IUSS Press，

2006.

[3] 周云.粘彈性阻尼減震結構設計[M].武漢：武漢理工大學出版社，2006.

[4] 李創第，鄒萬杰，葛新廣，等. 多自由度一般積分型粘彈性阻尼減震結構的隨機響應與等效阻尼[J].工程力學，2013，30（4）：136-145.

[5] KOH C G， KELLY J M. Application of fractional derivatives to seismic analysis of base-isolated models[J].Earthquake Engineering

and Structural Dynamics，1990，19（2）：229-241.

[6] HWANG J S， KU S W. Analytical modeling of high damping rubber bearings[J].Journal of Structural Engineering，1997，123（8）：1029-1036.

[7] 國家自然科學基金委員會工程與材料科學部.學科發展戰略研究報告-建筑、環境與土木工程Ⅱ（土木工程卷）：工程結構的振動控制理論及其應用[M].北京：科學出版社，2006.

[8] 葛新廣，李創第，鄒萬杰.Maxwell阻尼減震結構的最大非平穩響應[J].廣西工學院學報， 2012，23（4）：1-7.

[9] 李創第，高碩，葛新廣，等.五參數Maxwell阻尼器耗能結構在有界噪聲激勵下隨機響應解析解[J].廣西科技大學學報，2016，27（3）：1-7.

[10] CHANG T S， SINGH M P. Mechanical model parameter for viscoelastoc dampers[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2009， 135（6）：581-584.

[11] FU Y， KASAI K. Comparative study of frames using viscoelastic and viscous dampers[J]. Journal of Structural Engineering， 1998，

124（5）：513-522.

[12] SORRENTINO S，FASANA A. Finite element analysis of vibrating linear systems with fractional derivative viscoelastic models[J]. Journal of Sound and Vibration，2007，299（4）：839-853.

[13] ZAMBRANO A， EACUTE J， INAUDI A， et al. Modal coupling and accuracy of modal strain energy method[J]. Journal of

Engineering Mechanics， 1996， 122（7）：603–612.

[14] 歐進萍，吳斌. 耗能減振結構的抗震設計方法[J].地震工程與工程振動，1998，18（2）：98-107.

[15] 歐進萍， 劉會儀. 基于隨機地震動模型的結構隨機地震反應譜及其應用[J]. 地震工程與工程振動， 1994， 14（1）：14-23.

[16] 張敦元，白羽，高靜.對我國現行抗震規范反應譜若干概念的探討[J].建筑結構學報，2016，37（4）： 110-118.

[17] 李創第，黃天立，李暾，等. 帶TMD結構隨機地震響應分析的復模態法[J]. 振動與沖擊，2003，22（1）：36-39.

[18] 黃東梅，李創第，朱樂東.基礎隔震結構基于設計反應譜的地震作用取值[J].西安建筑科技大學學報（自然科學版），2007，39（4）：504-511.

[19] 胡聿賢. 地震工程學[M].2版.北京：地震出版社，2006.

[20] 方同. 工程隨機振動[M].北京：國防工業出版社， 1995.

[21] 李桂青，李秋勝. 工程結構時變可靠度理論及其應用[M].北京：科學出版社，2001.

[22] 李桂青，曹宏，李秋勝，等. 結構動力可靠性理論及其應用[M].北京：地震出版社，1993.

Random response analysis of SDOF systems with viscoelastic damping

by using transfer functions method

LI Chuang-di， DING Hao， GE Xin-guang

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and

Technology， Liuzhou 545006， China ）

Abstract： In order to establish the accurate modal decomposition response spectrum method for the whole system of viscoelastic energy dissipation structure， the stochastic seismic response of a single degree of freedom system with general linear viscoelastic damper is studied systematically. The exact dynamic integral-differential response equations in original structural space for SDOF dissipation systems with general linear viscoelastic damper are established. Then， by using transfer functions method， the exact solutions in original structural for space displacement， velocity and damper force transient responses due to arbitrary exterior dynamic loading and initial conditions are obtained. Finally， by using standard oscillator decomposition method， the random stationary response variance of displacement， velocity and damper force velocity can be exactly decomposed of linear combinations for the first-order standard oscillator and the second-order standard oscillator. The correctness of the method is verified by the numerical example and a set of methods for the analysis of structural system based on Kanni-Tajimi excitation spectrum is established.

Key words： transfer function method； standard oscillator decomposition method； random response； exact solution；whole system of viscoelastic energy dissipation structure

（學科編輯：黎 婭）