伴隨算子的求解與實例

摘要：通過對伴隨算子的定義、性質(zhì)的研究，指出計算伴隨算子的一般方法，并給出計算伴隨算子的實例。

關(guān)鍵詞：伴隨算子；積分算子；傅里葉算子；移位算子

中圖分類號：O172.2

伴隨算子是泛函分析的重要組成部分，伴隨算子的計算是其中的難點。文獻(xiàn)[12]研究了伴隨算子的性質(zhì)，伴隨算子的譜理論等，但關(guān)于伴隨算子的計算實例并不多。鑒于此，本文將探討計算伴隨算子的方法并給出一些實例。

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)X，Y是兩個希爾伯特空間，T是從X到Y(jié)中的有界線性算子。如果存在從Y到X中的有界線性算子T*，使得對任意x∈X，y∈Y，都有

〈Tx，y〉=〈x，T*y〉，

則稱T*為T的伴隨算子。

一般情況下，可以利用定義計算伴隨算子。給出有界線性算子T后，從形式〈Tx，y〉出發(fā)，利用內(nèi)積的定義或者性質(zhì)把它轉(zhuǎn)化為形式〈x，T*y〉，就可以得到T*。

性質(zhì)1[3] 設(shè)X，Y是兩個希爾伯特空間，T是從X到Y(jié)中的有界線性算子，T*為T的伴隨算子，則

（1）T*是唯一的；

（2）（A+B）*=A*+B*；

（3）（αT）*=αT*；

（4）（T*）*=T；

（5）T*T=TT*=T=T*；

（6）當(dāng)X=Y時，（AB）*=B*A*。

伴隨算子的性質(zhì)也可幫助計算某些伴隨算子。

2 例子

例1 設(shè)X為Hilbert空間，T為X上的相似算子，即T=αI，求T*。

解：因為對任意的x，y∈X，有

〈Tx，y〉=〈αx，y〉=α〈x，y〉=〈x，αy〉，

所以T*=αI。

注：特殊地，O*=O，I*=I。

例2 設(shè)Cn為復(fù)歐式空間，A=aij為Cn上的矩陣算子，即對任意的x=（x1，x2，…，xn）∈X，

Ax=（∑nj=1a1jxj，∑nj=1a2jxj，…，∑nj=1anjxj），

求T*。

解：因為對任意的x=（x1，x2，…，xn），y=y1，y2，…，yn∈Cn，有

〈Ax，y〉=∑ni=1∑nj=1aijxjyi=∑nj=1xi∑ni=1aijyi=〈x，ajiy〉，

所以T*=aji。

例3 設(shè)K（t，s）為定義在[a，b]×[a，b]上的二元平方可積函數(shù)。L2[a，b]為[a，b]上的平方可積函數(shù)空間，T為L2[a，b]上的積分算子，即

（Tx）（t）=∫baK（t，s）x（s）ds，

求T*。

解：因為對任意的x，y∈L2[a，b]，有

〈Tx，y〉=∫ba∫baK（t，s）x（s）y（t）dsdt=

∫bax（s）∫baK（t，s）y（t）dtds=

∫bax（t）∫baK（s，t）y（s）dsdt，

所以T*為（T*y）（t）=∫baK（s，t）y（s）ds。

例4 設(shè)L2為R上的平方可積函數(shù)空間，T為L2上的傅立葉算子，即

Tf=f∧，

其中f∧（ω）=12π∫+∞-∞f（x）e-iωxdx，求T*。

解：因為對任意的f，g∈L2，有

〈Tf，g∧〉=〈f∧，g∧〉=∫+∞-∞f∧（ω）g∧（ω）dω=

∫+∞-∞12π∫+∞-∞f（x）e-iωxdxg∧（ω）dω

=∫+∞-∞f（x）12π∫+∞-∞g∧（ω）eiωxdωdx=〈f，g∨〉，

其中g(shù)∨（x）=12π∫+∞-∞g（ω）eiωxdω，所以T*為T*g∧=g∨。

例5 設(shè)l2為2次收斂序列空間，T為l2上的右移位算子，即對任意的x=（x1，x2，…，xn）∈l2，

Tx=（0，x1，x2，…），

求T*。

解：因為對任意的x=（x1，x2，…），y=（y1，y2，…）∈X，有

〈Tx，y〉=∑ni=1xiyi+1=〈x，（y2，y3，…）〉，

所以T*y=（y2，y3，…），即T*為左移位算子。

參考文獻(xiàn)：

[1]程其襄，等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.6.

[2]石智，陳清江.泛函分析初步（第二版）[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2009，8.

[3]楊紀(jì)華，李艷.關(guān)于Banach空間和Hilbert空間的共軛算子的討論[J].高師理科學(xué)刊，2014，34（4）：79.

基金項目：陜西省教育廳專項科研計劃項目（No.16JK1825）

作者簡介：趙書改（1981），女，河南漯河人，碩士，講師，研究方向：算子理論與小波分析。