基于改善紅外光學系統離焦變量的三次位相板波前編碼技術淺析

盧鑫　程偉寧　范哲源

摘要：在紅外光學系統中，為增大光學系統焦深，通常需要減小系統光圈，該方法會降低系統角分辨率和信噪比等參數，使光學系統最終難以獲取高頻信息圖像。波前編碼技術結合了光學成像和圖像處理算法，實現了大焦深的設計，使系統在一定范圍內的離焦均具有較高的MTF，最終實現了光學系統焦深的拓展，提高了光學系統的應用范圍和可靠性。

關鍵詞：離焦變量；傳遞函數；三次相位板；波前編碼

根據光學成像系統理論，物方視場在像方視場除了共軛面以外，其他點在共軛像面上只能是一定大小的彌散斑，對于一定分辨率的接收器，只要該彌散斑小于最小分辨率，仍然可以認為是一個點。對于確定光瞳的光學系統，物方一定范圍內的物體能夠在對準平面成清晰實像，該范圍是系統的景深，與之對應的像方空間是焦深。

對于大焦深的光學成像系統，其優勢在與減少了物距變化對像方空間變化所引起的成像模糊，使近遠景均能清晰成像，獲取更多的物方信息。若想提高光學系統焦深，有以下常見方法：第一種是減小系統光圈，增大F數；第二種是通過多幅離焦圖像合成；另外一種是在孔徑光欄處增加不同的振幅位相板進行調制，對振幅進行衰減。這幾種方法均具有一定缺點，或降低系統分辨率，或景深拓展程度不足。

1 波前編碼技術理論及應用

波前編碼技術最早由美國科羅拉多大學的兩位研究人員Dowski和Cathey共同提出，其主要的目的是使光學系統在不同焦深下獲取更完整的光學信息量，該技術的方法是通過在光學系統孔徑光欄或入瞳處增加一塊相位調制板，使光學系統的點擴散函數PSF或者調制傳遞函數MTF對離焦不敏感，同時能夠抑制系統的初級像差。

波前編碼技術的特點是結合了光學成像技術和數字圖像處理技術。首先，波前編碼系統通過在光瞳處加入相位調制板進行調制，使目標在焦平面成一個模糊的中間像。其次，通過對中間模糊像的濾波處理，得到清晰的圖像，實現焦深的拓展。

波前編碼技術應用在紅外系統中，增大了光學系統焦深，進而提高了紅外光學系統的清晰成像范圍，另外，對于紅外光學成像系統，由于設計輸入條件中溫度差較大，會引起系統離焦的發生，而對這種離焦的補償通常采用光學、結構無熱化設計的方案進行設計，從而引入了調焦組件，增加了系統的復雜程度。引入波前編碼技術，可以有效降低紅外光學系統設計的復雜程度，使之加工、裝配難度下降。

2 基于三次位相板的波前編碼系統原理

目前，國內外眾多學者對編碼技術的研究已經產生了很多成果，在成像特性分析也提出了很多新穎的方法，由于三次相位掩模板在奇對稱相位掩模板中比較有代表性，大部分的研究都是圍繞三次相位板所進行，因而本文主要對該方法進行介紹。

根據傅立葉光學原理，普通光學系統中，景物目標經光學系統成像在像面處，在不考慮噪聲的影響下，成像的物理過程在空間域內是目標景物和光學系統點擴散函數PSF的卷積，在空間頻域內被描述為目標景物頻率和傳遞函數OTF的乘積，

G（u，v）=H（u，v）F（u，v）（21）

其中，G（u，v）表示觀測圖像的頻域；

H（u，v）是SPF的頻域表達；

F（u，v）表示目標景物的頻域；

u，v是像素點處強度對應的空間頻率。

由于非相干系統所成的像為強度像，因此MTF（OTF的模）決定系統的成像質量。在傳統光學系統中，調制傳遞函數MTF或PSF隨離焦的變化明顯。在波前編碼系統中，一定范圍中MTF隨著離焦的產生幾乎沒有變化，編碼圖像對離焦的變化不敏感，產生通頻帶無頻率截止的MTF。

通過三次位相板的添加，減少理想波前波動帶來的影響，雖然三次位相板的添加會使對理想波前產生一定程度的破壞，但是這種破壞屬于已有信息，可以破壞使波前的小范圍波動不敏感，這樣MTF可以不隨離焦產生的小范圍理想波前的波動變化，形成較為穩定的MTF信息。將已掌握的MTF信息數據進行編碼，由于波前編碼系統的MTF在各個離焦位置均比較穩定，因此通常通過同一濾波算法實現不同離焦位置圖像的解碼。

波前編碼系統的設計通常要先將像差通過廣義光瞳函數表達出來，然后對其進行相應的變換，求取系統OTF。

首先，計算出含有離焦量的廣義光瞳函數P（x），

P（x）=p（x）exp[jkW（x）]，（22）

其中p（x）為光瞳函數，在孔徑內其值為1，孔徑外為0；

帶有離焦參數ψ的廣義光瞳函數為

P（x）=p（x）exp（jψx2）（23）

其中離焦參數ψ=πL2/4λ（1/f1/d01/ dc）

其他像差也可以通過廣義光瞳函數表達，只考慮一種或者幾種像差時候，可以通過改變各個像差項的系數（設置為0）來對廣義光瞳函數進行分析。

第二步，求得光學傳遞函數MTF。對于非相關光學系統，通過出瞳函數做傅立葉變換，并取其模的平方，可以求出點擴散函數的表達式。一方面，可以通過對點擴散函數再進行傅立葉變換，求得光學傳遞函數；另一方面，可以通過對廣義光瞳函數的歸一化自行關，求得光學傳遞函數。非相干光學系統歸一化的傳遞函數定義為：

H（fx，fy）=∫∫|h（u，v）|2exp[j2π（fu+fv）]dudv/ ∫∫|h（u，v）|2 dudv（24）

H（fx，fy）為光學傳遞函數OTF，它的模即|H（fx，fy）|為調制傳遞函數MTF。

第三步， 利用數學工具對OTF進行處理，通過采用模糊函數表示OTF以后，可以用穩定相位法求得OTF的近似表達式。

模糊函數使頻率和時間結合的自相關函數，對于一個實信號f（t），其模糊函數的表達為：

G（υ，τ）=∫f（t） f（tτ）exp（j2πυt）dt（25）

通過對廣義光瞳函數的歸一化自相關求得OTF，通過公式（23）和公式（25）可以求得OTF為：

H（u，ψ）=p（x+u/2）exp[j（x+u/2）2ψ]p*（xu/2）exp[j（xu/2）2ψ]dx（26）

其中u為歸一化頻率；Ψ為離焦系數。

模糊函數定義為

A（u，v）=∫p（x+u/2） p*（xu/2）exp（j2πvx）dx（27）

由（26）和（27）可以得出

H（u，ψ）= A（u，uψ/π）（28）

由（28）可以看出模糊函數可以表達所有離焦位置的OTF。

第四步，利用模糊函數和穩相法推導三次位相板，得出三次位相板的波前編碼系統MTF和離焦量無關的關系式。

為簡化計算，選用矩形掩膜板，并只考慮一維x方向，同時只考慮系統的離焦像差，可以得到廣義光瞳函數的模糊函數表達式為

A（u，v）=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[jθ（x+u/2）]×exp[jθ（xu/2）] exp（j2πvx）dx，|u|2（29）

對于位相板的形式是非線性的高次單項式

θ（x）=axy， y≠{0，1}，a≠0（210）

由公式（29） 和（210）可以得到

A（u，v）=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[ja（x+u/2）y] exp[ja（xu/2）y] exp（j2πvx）dx

=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[j（x）] exp（j2πvx）dx ，|u|2（211）

其中

（x）=a[（x+u/2）y （xu/2）y]（212）

根據穩相法，如果公式（211）積分中的相位項（x）變換迅速，對積分的貢獻來自于函數（x）+ 2πvx的穩定相點，即鞍點位置，此時可以用穩定相位法近似。通過對公式（212）求導，可以求得穩相點xi。

2πv+γa[（xi+u/2）γ1 （xiu/2）γ1]=0（213）

由公式（213）可以看出當γ=3的時候，xi和v成線性關系，此時位相板的次數為3次，此時它的穩定相點為

xi =πv/3au，u≠0（214）

通過以上各公式推導得到模糊函數的近似值：

A（u，v）≈√π/12|au|·exp（jau3/4）exp（jψ2v2/3au），u≠0（215）

根據模糊函數和OTF關系，根據公式（28）可以得到對應的OTF為：

H（u，ψ） ≈√π/12|au|·exp（jau3/4）exp（jψ2u/3au），u≠0（216）

由上式可以看到，利用模糊函數和穩相法近似得到MTF和離焦量系數ψ無關。在實際應用過程中，通過調節a的大小控制對OTF的影響。當a增大的時候，點擴散函數和MTF隨著離焦變化減小。

最后，除了利用模糊函數和穩定相位法以外，還可以利用的數學工具還有維格納分布函數、科鈕螺線、菲涅爾積分等，可以從空間域或者頻率域導出其他形式的位相板。位相板不同，作用也不相同。其中有三次位相掩膜板，指數位相掩膜板，對數位相掩膜板，余弦位相掩膜板等，主要用于景深拓展，或者用于降低光學系統設計的復雜程度。

3 三次位相板的開發特點

相位板設計方法主要基于以下兩點，一是通過對波前調制，使SPF或者MTF在一定范圍內基本不變，實現焦深拓展的目的；而使編碼所稱的中間像的MTF滿足一定閾值要求，方便后期圖像處理。

在三次位相板開發過程中，需要和光學系統一起進行設計，同時要對系統像差進行標定并分析，隨著位相板參數增大，相同離焦量下點擴散函數的峰值偏離中心位置的距離增大，需要采用同一濾波函數進行圖像復原，并通過調整位相板參數值調整點擴散函數（PSF）對中心坐標位置的偏移量，以改善不利影響。

主流軟件設計優化算法通常為最小二乘法，其結果是使各像差減小，保持較高的MTF，但是隨著離焦量變大，導致成像質量迅速下降，不同焦距的成像沒有相似性，因此，無法通過傳統光學設計優化方法對相位板參數進行優化，需要通過二次開發設計以及和其他軟件共同完成。

4 波前編碼系統解碼

波前編碼系統編碼后，PSF和MTF對離焦不敏感，隨著位相板參數變大，MTF值變低，PSF的發散程度也變大，圖像變模糊，因此需要對其進行解碼，對圖像進行恢復，獲得最終清晰像。通過設計可以得到設計的傳遞函數MTF1，同時如果系統設計目標最終是衍射受限的，也可以知道最終的傳遞函數MTFlast，

MTFlast=MTF1 *MTF2（31）

圖像處理部分點擴散函數的求解一般通過公式（31）求出圖像處理部分的MTF2，對中間圖像進行傅立葉變換得到中間圖像的頻譜圖，該頻譜圖和MTF2相乘后得到最終圖像的頻譜，然后進行傅立葉反變換計算得到清晰圖像。

5 結語

紅外光學系統設計中，受使用條件的限制，由于環境溫度變化對系統成像效果影響較大，無熱化是較為重要的設計環節，通過光學波前編碼技術的使用，可以提高系統焦深，增大光學系統的應用范圍，減少了系統的復雜程度。通過對波前編碼技術的淺析，可以看到，該技術主要依托于傳統的光學成像理論，以及圖像處理技術，對三次相位板的參數設計以及優化是其主要的應用難點，通過將光學設計軟件以及圖像處理軟件的結合，應用算法對系統求解，可以得到較為理想的相位板，在不同離焦情況下具有較為平滑的MTF曲線。本文初步探討了波前編碼技術在傳統成像光學領域的應用，為紅外系統的設計提供了新的思路。

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基金項目：國家部委基金資助項目

作者簡介：盧鑫（1984），男，吉林人，畢業于長春理工大學，碩士，中級工程師，現主要從事光學設計及光學鏡頭研制工作，研究方向：光學設計及鏡頭研制。