P—Ⅲ型曲線參數估計方法研究綜述

雷冠軍 王文川 殷峻暹 張麗麗

摘要：水文頻率分析以概率統計理論為基礎，通過建立模型來優化理論頻率曲線參數，對經驗頻率曲線進行延展。對P-Ⅲ型曲線參數估計的矩法、概率權重矩法、權函數法、線性矩法、優化適線法、加權適線法、數值積分算法、優化適線準則在水文頻率參數估計中的研究和應用，以及水文頻率參數估計的不確定性研究進行了介紹和闡述，并提出了水文頻率參數估計的建議：①加強對水文序列不確定性機理的研究，使水文頻率分析的適線結果具有較好的延展性；②應立足于現有的水文頻率參數估計的理論基礎，針對不同的適線目的和數據精度，選擇合適的參數估計結果，提高人機交互水平，將客觀信息和主觀經驗結合起來，為水利設施規劃、工程規模的確定提供有力支持；③水文序列存在非一致性，應對水文序列的不確定性和模型參數估計的不確定性加以有效分離和衡量，進一步提高適線精度。

關鍵詞：不確定性；目標函數；適線法；解析法；參數估計；P-Ⅲ型曲線

水文頻率分析計算以概率統計理論為基礎，運用理論頻率曲線對水文序列進行展延。正確的水文頻率參數對于確定工程規模、合理規劃水利設施、有效利用資金等具有重要的意義和價值。由于水文序列樣本容量有限，加之歷史特大洪水的存在、樣本點據的精度以及適線的目的不同，因此根據已有的樣本點確定理論頻率曲線后，在對經驗點據進行展延時需要綜合考慮各種因素，反復協調試算。我國水文頻率分析計算中規定以P-Ⅲ型曲線為通用線型，均值、變差系數和偏態系數為待定參數。參數的估計方法可分為解析法和適線法兩大類，解析法包括矩法、權函數法、概率權重矩法、線性矩法等，適線法包括目估適線法和優化適線法。目前在工程實踐中頻率參數的確定采用的是二者聯合運用的方法：運用解析法求出參數初值，根據適線目的、點據的精度和重要性，采用目估適線法或優化適線法進行參數調整，最終確定出最優且合理的頻率曲線。目估適線法能夠根據需要靈活調整曲線的偏向和走勢，但是參數估計結果的主觀性太強；優化適線法用目標函數表達適線目的，運用尋優算法求解最優的參數估計值，隨著計算機運算性能的提高，能夠實現全局最優的優化適線法得到了廣泛運用。水文頻率曲線參數估計的關鍵是合理選擇初值的計算方法、目標函數、優化方法。由于輸入數據的精度、可靠性、一致性存在差異，以及頻率分析模型是對真實物理情形的概化擬合，因此參數估計結果相應具有不確定性。本文對P-Ⅲ型曲線參數估計數值解法的研究現狀和發展趨勢進行了分析，對優化適線法所涉及的問題進行了述評，以期為P-Ⅲ型曲線參數估計研究提供思路和啟示。

1數值解法

P-Ⅲ型曲線參數估計的數值解法能夠計算參數初值，其直接采用數學方法推導出參數估計的公式，建立參數與序列、分布、頻率的關系，然而該方法在運用過程中存在兩個基本問題：①水文序列樣本的容量有限，參數估計結果存在較大的“端矩誤差”；②用樣本矩代替總體矩，矩法本身存在“梯矩誤差”。為了提高參數估計結果的精度，減小誤差，馬秀峰等對求矩公式經過推演進行降階，以低階矩代替高階矩，避免計算高階矩；對不同階的矩以權重為調整因子進行組合，分別對頻率曲線參數估計的數值解法進行改進。數值解法都是基于矩法來建立參數估計方程，通過將樣本點的值代入方程來對參數進行估計，其改進算法都是為了降階，其中比較有代表性且運用較廣泛的方法有權函數法、概率權重矩法和線性矩法等，李松仕等對線性矩法與概率權重矩法的關系進行了研究，指出線性矩法是概率權重矩法的線性組合，兩種方法是同解的。

1.1矩法

矩法是用樣本矩代替（或估計）總體矩，并通過矩和參數之間的關系式估計頻率曲線統計參數的一種最簡單的參數估計方法。矩法在使用時不必事先確定頻率曲線的線型，方法簡單，易于操作，在水文頻率分析中被廣泛用于計算初值。矩法用有限和去接近無限和，存在較大的“端矩誤差”和“梯矩誤差”，當樣本容量較小時參數估計結果存在較大的誤差，設計值有較大的負偏性。矩法的改進都是從降階和減小“端矩誤差”著手的。

1.2權函數法

針對矩法存在高階矩和“端矩誤差”的問題，權函數法引入了一個權函數，通過降低端矩的權重減小“端矩誤差”，提高偏態系數的精度。為了進一步實現降階的目標，需要對權函數的內容和形式進行研究和探索。對于嚴格服從P-Ⅲ型分布的理想系列樣本因系列過短而造成的“端矩誤差”，馬秀峰對經驗頻率公式進行了改進，使得均值和變差系數進行還原計算后的計算精度有較大的提高，提出了用正態分布函數計算權重的權函數法。權函數法只是對偏態系數的計算進行了改進，而均值、變差系數的精度問題未能解決。劉光文在權函數法的基礎上提出了數值積分單、雙權函數法，單權函數法通過引入一個權函數來提高P-Ⅲ型曲線偏態系數的計算精度，雙權函數法通過引入兩個權函數有效提高了變差系數的精度。雙權函數法引入一個新的權函數計算變差系數，同時引入了待定的參數值，劉光文采用近似的方法給這些參數賦值。雙權函數法沒有實現真正的降階，增大了參數估計的不確定性。基于權函數和權函數的參數值難以有效確定這兩個問題，梁忠民等對權函數從兩個方面進行了改進：①不引入第二個權函數，而是對單權函數法的關系式進行變形迭代。通過聯解兩個不同的超越方程來估計變差系數和偏態系數，改進后的權函數法統計性能優良、計算簡便；②將兩個負指數型函數之差所構成的函數作為權函數。偏態系數的計算由二階中心矩降低為一階中心矩，其參數計算結果的無偏性和有效性與線性矩法相當，擬合效果較線性矩法略優，與概率權重矩法進行的比較表明兩者統計特性相當。

權函數法通過設置不同的權函數，經過推導演算來避免計算高階矩，從而減小誤差。權函數的選用體現了加權的思想，改進權函數的降階方法將是今后的研究重點。

1.3概率權重矩法

概率權重矩法起源于威克比分布的求解過程，而威克比分布只能用概率分布的反函數表示，這一特性決定了概率權重矩法利用的先決條件：能夠求出分布函數的反函數。Greenwood J.A.等于1979年提出了概率權重矩法，該方法適用于能夠求出反函數的分布形式中；Landwehr J.M.等推導了耿貝爾分布、廣義極值分布、威克比分布、指數分布等的概率權重矩法的參數計算公式，結果表明該方法具有較好的統計特性，能夠用于求解那些難以求得分布函數的線型中。

我國水文頻率分析廣泛使用的是P-Ⅲ型分布。該分布的反函數難以求得，從而限制了概率權重矩法的應用。宋德敦等運用數值積分的方法推求出P-Ⅲ型分布的概率權重矩公式，涉及到特殊積分時通過插值迭代的方法求解，該方法計算結果受概率公式的影響較大。概率權重矩法被引入到P-Ⅲ型曲線參數估計后，我國水文學者主要從兩方面對該方法展開研究：①引入計算速度快、精度高的積分方法；②依據實際水文序列的特點進行相應改進。由于當時計算機運算性能較弱，因此為提高積分效率，李松仕推導出了簡化的概率權重矩公式，制作了精度易于控制的查算數表；林洪孝等采用數學期望公式估計權函數值，采用開型數值積分求解矩，推導了新的概率權重矩公式，減小了計算誤差。隨著計算機性能的不斷提高，運用計算機進行數值積分已經可以大大提高模型的精度。基于概率權重矩法的基本特性，在遇到不同的水文序列時，概率權重矩法的改進歸根到底是序列所對應的經驗頻率值和累計頻率值算法的改進，比如丁晶等對頻率計算公式進行了改進，從而能夠計算特大值樣本的參數分布。另外，概率權重矩法還能有效處理水文序列出現的明顯分段，即水文樣本出現極大值或極小值的情形，大多采用廣義極值分布擬合，如王怡璇等在我國西北干旱地區洪水頻率分析時采用高階概率權重矩或部分概率權重矩法，結果表明該方法具有較好的統計特性。

概率權重矩法能利用樣本的數值信息和序位信息，概率公式對參數估計有較大影響，概率權重矩公式中的各項相關性較強，但是參數計算過程中的微小變化難以得到很好的體現。頻率公式的選取以及提高計算結果對微小差異的敏感度，將是今后概率權重矩法研究的重點。

1.4線性矩法

線性矩法來源于概率權重矩法。是概率權重矩法的線性組合，線性矩法參數估計結果可以用次序統計量線性組合的期望值表示。Hosking J.R.M.于1990年提出了線性矩法，該方法具有良好的無偏性（對于小容量樣本亦如此）；陳元芳等在分析已有參數估計方法的基礎上，推導出具有歷史洪水序列的線性矩法參數計算公式，并將線性矩法擴展到對數正態分布、耿貝爾分布、廣義極值分布、指數分布，大大擴展了線性矩法的適用范圍：梁玉音等以太湖流域的雨量資料為樣本，比較了線性矩法和常規矩法的無偏性、穩健性，結果表明線性矩法處理區域水文資料時表現較好。

部分地區缺乏水文觀測資料或實測水文序列較短，線性矩系數是由樣本次序統計量衍生的，可以通過對區域的線性矩系數進行檢驗，進而對地區進行水文分區，將地區整體的水文相似區的分布函數作為各個小區域的頻率分布，能夠有效提高較短樣本設計值的精度，從而實現“以空間換取時間”。因此，線性矩法不僅可用于單站水文頻率計算，而且便于地區綜合和線型鑒別，用于無資料地區的水文頻率分析。從Hosking J.R.M.等首先將線性矩法用于區域洪水頻率分析開始，線性矩法得到了廣泛的關注和運用：張靜怡等將線性矩法引入水文頻率分析中，闡明了線性矩法區域頻率分析的基本步驟，對江西、福建兩省的最大洪水資料進行了分析，認為這兩個省份的P-Ⅲ型分布要優于廣義極值分布；陳元芳等將線性矩法應用到長江中下游地區主要測站的水文頻率分析中：陳永勤等研究了東江流域枯水期的頻率分布，指出LN3分布最適合東江流域的枯水分布分析：朱惠玲對黃河下游8個不同站點的水文序列運用區域線性矩法進行了頻率分析，認為廣義極值分布在該區域的水文頻率分析中具有最好的穩健性：楊濤等對珠江三角洲最高實測水位進行了區域洪水頻率計算與分析，研究中將珠江三角洲分為3個水文相似區。線性矩法的關鍵是基于線性矩系數對研究區域進行水文一致性和相似性檢驗以及區域分布線型的鑒別，而以上研究大多是對該方法在不同區域運用的研究，對于一致性、相似性的機理，如何運用數學和水文學方法去證明研究以及如何改進區域分布線型確定方法的研究較少。

2優化適線法

優化適線法是通過建立目標函數使經驗頻率點據與已知的理論頻率曲線擬合最優的方法，隨著計算機運算性能的提高，智能優化算法大幅提高了水文頻率參數優化計算的效率。

李宏偉等研究了蟻群算法在水文頻率參數估計中的應用，發現蟻群算法搜索時間較長，算法的收斂性受初始參數設置的影響較大：王占海等運用遺傳算法求解頻率曲線的參數，目標函數以橫縱向離差平方和最小為準則，遺傳算法的迭代終止條件沒有一致的標準，模型運算結果表明算法本身易陷入局部最優，尋優結果具有明顯的不確定性；姚德倉等在水文頻率曲線的擬合優化中引進了粒子群算法，但是粒子群算法參數較多，參數初值的好壞直接影響著尋優結果的優劣，需要通過反復試算確定初始參數；陳子全等將模擬退火算法應用到水文頻率參數分析中，并通過實例進行了論證，結果表明該方法的參數初始值和步長都會對尋優結果的穩定性和收斂性產生影響。

3目標函數

優化適線法可歸結為運用尋優算法去尋找最優值，最優值的確定取決于目標函數的確定。對優化適線法的改進和運用包括兩方面：①改進優化算法的不穩定性以及早熟收斂：②結合適線目的對目標函數進行改進。優化算法的研究屬于尋優的范疇，本文只對后者進行論述。適線目的基于不同的問題有很多，但都是從樣本點在適線過程中的重要程度出發的，目標函數的研究分為：①以加權調整觀測值的重要性；②以橫坐標方向的數值積分體現頻率的重要性：③以橫縱坐標的離差或統計特性體現適線的重要性。

3.1加權適線法

如果對不同頻率的經驗點據與頻率曲線的離差權重作等權處理，那么對于適線結果受部分不同頻率點據計算結果影響較大的序列，就會導致頻率曲線受少數異常點據的影響而偏離大多數經驗點據的總體分布趨勢。加權適線法能夠對點據的適線過程加以調整。

謝平等提出了由于不同點據精度不同，因此在配線時對應的權重不同的理論：邱林等運用離差加權的方法對經驗點據與理想曲線之間的擬合偏差加以處理，基于點據偏離最優曲線的波動程度服從正態分布的思想建立隸屬度函數；謝崇寶等采用次序統計量推導出隸屬度函數。邱林和謝崇寶等分別提出的兩種方法都利用金光炎推導出的諾模圖來計算隸屬度函數中的標準差，同時在推導隸屬度函數的過程中都忽略了樣本容量是大樣本的基本前提。對諾模圖長度有限的問題也沒有很好地加以處理。鄧育仁等采用梯形法計算觀測資料的誤差，采用正態分布建立設計值、設計頻率的隸屬度函數，由于在建立隸屬度函數中對于觀測值誤差的確定多采用經驗值，因此該方法在邏輯推導上不具有可信度。

3.2數值積分

以頻率擬合最優為目的，在橫坐標方向上建立目標函數進行參數優化估計，大都從數值積分的角度來研究。應用P-Ⅲ型分布數值積分的關鍵是推求離均系數，推求過程中經常會遇到伽瑪函數和伽瑪函數分布函數的數值計算問題。

伽瑪函數的數值積分一般采用龍貝格積分法和切比雪夫不等式進行逼近，吳明官等推導了一種新的切比雪夫不等式快速算法，該方法計算速度快于變量代換法、分部積分法和麥克勞林法，但是收斂域具有一定的局限性，不能通用在完整的積分區域內；劉鈞哲等在對不完全伽瑪分布函數進行分步積分的基礎上，考慮到龍貝格積分法具有穩定性高、計算速度快、易于操作的特點和對分法能夠提高搜索效率，將對分法和龍貝格積分法結合起來求解數值積分，與傳統的切比雪夫多項式法、自適應辛普森算法相比，計算速度有了較大提高；李世才針對應用查表法以及常規的數值計算方法難以有效計算Kp（Kp為計算水文設計值的參數）值的問題，將數值積分的計算轉換為伽瑪分布函數和伽瑪分布的分位數的計算。給出了通用算法的解析表達式和截斷誤差表達式，提高了數值積分數學模型的解算速度和收斂速度，增強了方法的穩定性和通用性；劉仕平等提出了變步長數值積分法，給出了伽瑪函數分布函數通用算法的綜合表達式，該方法的關鍵是步長變動函數的確定，在控制誤差的基礎上進行數值積分，經驗證，在a（a為伽瑪函數的參數）>2時，變步長數值積分法的計算結果容易溢出，步長變動函數計算精度不高：王文川等對變步長積分算法進行了改進，重新推導了步長變動函數，運用群居蜘蛛優化算法進行尋優，取得了較好的水文頻率參數擬合結果。

水文復核計算多采用查表法插值計算離均系數φp值，由于精度低、工作量大、計算機編程時占用內存過大，因此該方法已不再使用。高斯求積法-梯形法、辛普森算法、龍貝格積分算法以及相應的改進算法已經相繼提出，但是依然存在計算精度低、運算速度慢、收斂性差、容易溢出等問題，這將是今后的研究重點。

3.3優化準則

水文頻率曲線參數估計的優化適線法是按照一定的優化準則建立目標函數來尋找最優的參數估計方法，優化準則反映的是適線目的。優化準則的研究分為兩方面：①縱、橫坐標方向的離差；②適線結果的統計特性。

擬合值和真實值的差異用縱、橫坐標方向的離差表示，優化目的是尋找最優參數使得總體偏差最小。吳伯賢等提出了統計試驗研究的基本判定準則，依據相對偏差和相對均方根誤差對估計方法進行評判：胡素端等選用WLS準則-相對離（殘）差平方和最小準則定量評估了高階概率權重矩參數的估計效果；肖可以等提出了擬合優度評價的OLS準則（離差平方和最小準則）和AIC準則（赤池信息量準則），不僅可以衡量分布線型和實測序列之間的偏差，而且可以反映因模型參數個數不同而產生的不穩定性：宋松柏等將離（殘）差絕對值和最小準則（ABS）引入到水文頻率分析計算中；葛吉琦提出以擬合精度為基準，以4個目標函數為曲線擬合精度的指標，將同一樣本序列4個指標的結果之和作為曲線的擬合優度。

在適線結果的統計特性研究方面，人們大多從參數估計結果的無偏性和有效性出發。楊榮富等將相對偏差和均方根誤差作為評價指標，檢驗了分布參數和設計值的無偏性及有效性。

優化準則從不同角度對參數估計進行定量描述，是適線目標的抽象概化，其中偏差最小、波動最小是適線的主要目標，優化準則同時也是適線結果優劣的判別準則。適線過程是優化準則協調博弈的過程，在目標函數中綜合協調各個目標，使得參數估計結果達到整體最優，以及建立評判標準對參數擬合效果進行評判，是今后需要研究的問題。

4頻率分析的不確定性

水文頻率分析存在3種不確定性：①水文事件本身的不確定性：②水文資料短缺及模型參數估計方法的不確定性；③線型選擇的不確定性。不確定性分析以貝葉斯理論為基礎，分為兩種情形：①對參數和線型的不確定性分析：②對非一致性條件下參數估計的不確定性分析。第一種情形是對模型本身的不確定性分析，Wood B.A.D.等在貝葉斯理論的基礎上分析了模型參數的不確定性，綜合考慮了參數和線型選擇對設計值造成的不確定性；Kuczera G.等依據貝葉斯理論對P-Ⅲ型分布和LP-Ⅲ型分布參數估計的不確定性進行了研究，利用“重要性抽樣法”在參數的后驗狀態空問進行搜索，構造了具體設計值的抽樣分布，并描述了設計值的置信區間；劉攀等研究了線型選擇與線型綜合對參數估計不確定性的影響，結果證明基于貝葉斯理論的貝葉斯模型選擇與綜合方法可以對樣本的真實線型進行有效識別：梁忠民等以貝葉斯理論為基礎，考慮參數不確定性和線型選擇不確定性，運用全概率公式提出了能夠同時考慮這兩種不確定性的水文頻率參數估計方法：魯帆等基于M-H抽樣算法的貝葉斯MC-MC方法對廣義極值分布參數和設計洪水的后驗分布進行了頻率分析，M-H抽樣算法的初始值、核函數和轉移矩陣的確定均需要通過大量試算加以確定。

第二種情形是對氣候變化條件下非一致性水文序列的不確定性分析，尚曉三等基于貝葉斯統計分析理論，運用自適應采樣算法（AM-MCMC）對變化環境下樣本序列長度、歷史洪水個數對參數估計的不確定性進行了分析；馮平等采用Gibbs-MCMC算法對水文序列進行修正后，基于貝葉斯理論對均值和偏態系數進行估計，同時與適線法耦合，分析了非一致性對參數估計結果不確定性的影響；謝平等運用小波分析將非一致性洪水序列分為趨勢性成分、隨機性成分，對趨勢性成分采用非線性函數擬合，對隨機性成分采用P-Ⅲ型分布擬合，再對不同時期的設計值進行合成計算；胡義明等對非一致性水文序列作跳躍分析和趨勢性分析后進行了一致性修正，對修正后的水文序列進行了頻率分析，結果表明水文序列不作一致性修正可能將使適線結果出現嚴重錯誤；吳晶等運用TFPW-MK-Pettitt方法對水文序列的趨勢性進行了檢驗，并采用EEMD（集合經驗模態分解）方法對水文序列分解后加以修正，結果表明修正后的水文序列滿足一致性要求，能夠用于非一致性水文序列的頻率分析。

合理選擇計算方法對參數估計的不確定性進行定量識別，并運用其定量評估設計值的不確定性，將是今后需要研究的問題。

5結語

目前，對于水文頻率的分析研究大多集中在線型選擇、參數估計方法上，對于初值計算、權重確定、數值積分、優化準則等參數優化及設計值不確定性方面的研究較少。已有的研究沒有在原來的基礎上繼續延伸并且深入探究其中的影響因素，致使在權重、數值積分、目標函數的研究方面突破較少。因此，建議：①加強對水文序列隨機性機理的研究，使水文頻率分析的適線結果具有較好的延展性：②立足于現有的水文頻率參數估計的理論基礎，針對不同的適線目的和數據精度，選擇合適的參數估計結果，提高人機交互水平，將客觀信息和主觀經驗結合起來，為水利設施規劃、工程規模的確定提供有力支持；③水文序列存在非一致性，應對水文序列的不確定性和模型參數估計的不確定性加以有效分離和衡量，進一步提高適線精度。