“三角形的面積”的教學實踐與思考

陳立

[摘 要]要有效開展數學探究活動，教師需摸清學生的學習起點，找準探究的切入點，把握探究的重點?！叭切蔚拿娣e”一課的教學，從學生熟悉的平行四邊形面積計算公式的推導入手，以方格背景下銳角三角形面積計算公式的推導為突破口，激活學生的數學思維，以點帶面突破直角三角形、鈍角三角形面積計算的難點，進而歸納并概括出三角形的面積計算公式，體現由特殊到一般的完全歸納推理思路，從而進一步提高探究活動的有效性。

[關鍵詞]三角形的面積；教學實踐；思考；探究

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）14-0013-04

有效的探究活動，并不是流于形式、只動手不動腦的操作，而是學生主動運用已有知識解決新問題的學習過程。思維的主動參與是有效探究的靈魂。要有效開展探究活動需要教師摸清學生的學習起點，找準探究的切入點，把握探究的重點。筆者以“三角形的面積”為例對此進行了教學實踐與思考。

一、教學困惑

“三角形的面積”（人教版五年級上冊第六單元第二課時）屬于“空間與圖形”板塊，是繼平行四邊形的面積之后的又一節幾何概念課。學生是在掌握了三角形的特征及長方形、正方形、平行四邊形的面積計算的基礎上學習的。學好這一課，有助于學生學習梯形和多邊形的面積計算公式。以往教學這一內容時，為了讓學生理解并掌握三角形面積計算公式的推導過程，一般采取以下兩種策略。

一是“拼組法”，即將兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，然后歸納出三角形的面積公式。這種方法看似易于學生理解，但學生其實并不理解為什么要用兩個完全相同的三角形來拼。這種做法忽略了學生的主體地位?；趯W生學習起點的認識，筆者發現，由于受平行四邊形面積計算公式推導的影響，學生更傾向于用一個三角形進行“剪拼”轉換，進而推導出三角形的面積計算公式。

二是“剪拼法”，即將一個三角形沿其中位線剪開并通過旋轉拼成一個平行四邊形，或者沿高線中點并垂直于高剪開后通過旋轉拼成一個長方形。學生由于知識和經驗不足，往往不能剪拼成功。

那么對于這兩種策略，在本節課的教學中到底應以誰為重？抑或是兩者兼顧？

二、課前思考

為了解決這個困惑，筆者決定先弄清楚兩個問題，一是學生的學習起點，二是教材的編排意圖。

1.學生的學習起點

對于本節課，學生的知識起點是已了解三角形的特征和平行四邊形的面積計算公式及推導方法。經驗起點是在經歷推導平行四邊形面積計算公式的過程中，已初步掌握運用轉化思想和割補方法推導平面圖形面積計算公式的方法。這些知識起點和經驗起點導致學生嘗試推導三角形的面積計算公式時，只會沿著三角形的高剪開三角形。

2.教材的編排意圖

對于本節課，教材先通過小女孩的實際問題“怎樣計算紅領巾的面積”引發學生思考，接著根據平行四邊形面積公式的推導方法提出解決問題的思路：能不能把三角形也轉化成學過的圖形？在此基礎上，再提出用拼組的方法加以推導，即引導學生把兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形。學生通過動手操作和實驗，發現三角形與平行四邊形的關系，進而推導出三角形的面積計算公式為“底×高÷2”。

教材按照“操作實驗→歸納結論→應用結論”的順序來編排學習內容，體現由特殊到一般的完全歸納推理思路，符合小學生的認知規律。

在現實的教學活動中，學生很難想到用兩個完全相同的三角形來拼平行四邊形。因此教師要從學生的常規思維出發，即用“剪拼法”來推導三角形的面積公式，同時兼顧“拼組法”，從而促進學生真正理解三角形的面積計算公式及其推導過程。

三、教學設想

1.確定教學思路

基于上述的分析與思考，筆者認為本節課的教學應從平行四邊形面積計算公式的推導入手，結合轉化思想，以銳角三角形作為突破口，通過將單個銳角三角形剪拼成長方形或平行四邊形，或將兩個銳角三角形拼成平行四邊形，并聯系轉化前后圖形之間的關系，從而得出銳角三角形的面積等于“底×高÷2”。通過對比，優化“拼組法”，進一步得到直角三角形和鈍角三角形的面積也是“底×高÷2”，從而歸納概括出所有三角形的面積都等于“底×高÷2”。這屬于完全歸納推理的思路。

2.確定教學目標及重難點

教學目標：（1）讓學生理解并掌握三角形的面積計算公式，并能正確計算三角形的面積；（2）引導學生經歷三角形面積計算公式的推導過程，發展學生的空間觀念；（3）滲透轉化思想，培養學生合作學習、積極動腦思考的良好學習習慣。

教學重點：探索并掌握三角形的面積計算公式，能正確計算三角形的面積。

教學難點：理解三角形面積計算公式的推導過程。

四、教學實踐

【環節一】復習引入，喚醒認知

師：前面我們已經學習了平行四邊形的面積計算公式，你們知道這個公式是怎樣推導的嗎？

生1：將平行四邊形剪拼成長方形……（課件演示剪拼過程）

師：你為什么要把平行四邊形變成長方形？這是應用了什么數學思想？（板書：轉化）

【環節二】轉化引路，推導三角形的面積計算公式

師：今天這節課，我們就來研究三角形的面積。（出示課題：三角形的面積）

1.初步探究

師（課件出示一個三角形）：為了研究方便，我們將它放上格子圖，如果格子圖中每個小正方形的邊長是1厘米，那么這個三角形的底和高分別是幾厘米？

師：若要求這個三角形的面積，能否像推導平行四邊形的面積公式那樣把它轉化成已學過的圖形呢？

2.分組操作

師：請拿出事先準備好的學具（兩個銳角三角形和一張網格紙），通過剪一剪、拼一拼、折一折等，把三角形轉化成所學過的圖形。轉化好后，完成以下操作記錄單，然后同桌相互交流。（學生動手研究，教師巡視指導）

3.匯報交流

師：你們都研究出了什么？誰愿意與大家分享？請停下手中的操作，聽一聽其他同學的說法，看看他們想的是否和你一樣。

師：你把這個三角形轉化成了什么圖形？

生2：把左上的小三角形剪下移到左下，右上的小三角形剪下移到右下，拼成長方形（如圖1）。（教師隨著學生的回答進行課件演示）

師：剛才你把三角形轉化成了長方形，那么長方形的面積怎樣計算？

生2：6×2=12（平方厘米）。

師：三角形的面積與這個長方形的面積有什么關系？

生3：相等。

師：長方形的長與這個三角形的底是什么關系？長方形的寬與這個三角形的高是什么關系？

生4：長方形的長與三角形的底相等，但長方形的寬只有原三角形高的一半。

師：那么原三角形的面積可以寫成“底×（高÷2）。（板書：高×（底÷2））

師：你還能把它轉化成什么圖形？

生5：把左下的小三角形移到左上，右下的小三角形移到右上，拼成長方形（如圖2）。（課件演示）

師：這個長方形的面積怎樣計算？

生6：4×3=12（平方厘米）。

師：三角形的面積與這個長方形的面積有什么關系？

生7：相等。

師：長方形的長與這個三角形的高是什么關系？長方形的寬與這個三角形的底是什么關系？

生8：長方形的長與三角形的高相等，長方形的寬是三角形的底的一半。

師：那原三角形的面積可以寫成“高×（底÷2）”。（板書：底×（高÷2））

師：還能把它轉化成什么圖形？

生9：把上面的三角形剪下移到右邊，拼成一個平行四邊形（如圖3）。（課件演示）

師：你把三角形轉化成了平行四邊形。平行四邊形的面積怎樣計算？

生9：6×2=12（平方厘米）。

師：三角形的面積與這個平行四邊形的面積有什么關系？

生10：相等。

師：平行四邊形的底與這個三角形的底是什么關系？平行四邊形的高與這個三角形的高是什么關系？

生11：底相同，平行四邊形的高是三角形高的一半。

師：那原三角形的面積可以寫成“底×（高÷2）”。（板書：底×（高÷2））

師：還能把它轉化成什么圖形？

生12：把原三角形沿高分成兩個小三角形，左邊的補上一個小三角形，右邊補上一個小三角形，拼成一個大的長方形（如圖4）。（課件演示）

師：你把原三角形拼成一個大的長方形。大長方形的面積怎樣計算？

生12：6×4=24（平方厘米）。

師：三角形的面積與這個大長方形的面積有什么關系？

生13：三角形的面積是大長方形面積的一半。

師：大長方形的長與這個三角形的底是什么關系？大長方形的寬與這個三角形的高是什么關系？

生14：長與底相同，寬與高相同。

師：那原三角形的面積我們可以寫成“底×高÷2”。（板書：底×高÷2）

師：還能把它轉化成什么圖形？

生15：把兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，原三角形面積是平行四邊形的面積的一半（如圖5）。（課件演示）

師：原三角形的面積怎么計算？

生15：6×4÷2=12（平方厘米）。

師：你剛才把三角形轉化成了大的平行四邊形，轉化時用了兩個三角形，這兩個三角形有什么特點？

生15：完全相同。

師：這里有一個三角形跟黑板上的三角形是完全相同的，有誰愿意到黑板上操作，轉化成大平行四邊形。（學生操作）

師：這個平行四邊形的底與原三角形的底有什么關系？這個平行四邊形的高與原三角形的高有什么關系？

生16：一樣。

師：原三角形的面積與這個大平行四邊形的面積有什么關系？

生17：一半。

師：那原三角形的面積可以寫成“底×高÷2”。（板書：底×高÷2）

4.階段小結

師：通過討論，我們發現這個銳角三角形可以轉化成很多種圖形，并得出了銳角三角形的面積可以用底×（高÷2）、高×（底÷2）、底×高÷2來計算。“底”寫到最前面，“÷2”寫到最后面，則這個銳角三角形的面積可以寫成“底×高÷2”。（板書：底×高÷2）

5.深入探究

師：銳角三角形的面積可以用“底×高÷2”來進行計算，那么直角三角形和鈍角三角形的面積是否也可以用“底×高÷2”來計算呢？

（1）探究直角三角形和鈍角三角形的面積公式

師（為學生準備完全一樣的直角三角形和鈍角三角形各2個）：研究這些三角形，它們的面積是不是也可以用“底×高÷2”來計算？（學生動手操作）

（2）匯報交流（請學生上黑板演示并講解）

師：直角三角形的面積能用“底×高÷2”來計算嗎？

生18：能。把完全相同的兩個直角三角形轉化成長方形，長方形的長就是原三角形的底，長方形的寬就是原三角形的高，原三角形面積是長方形面積的一半，長方形的面積是“長×寬”，所以原三角形的面積是“底×高÷2”。

師：那鈍角三角形的面積能用“底×高÷2”來計算嗎？

生19：能。把完全相同的兩個鈍角三角形轉化成平行四邊形，平行四邊形的底就是原三角形的底，平行四邊形的高就是原三角形的高，原三角形面積是平行四邊形面積的一半，平行四邊形的面積是“底×高”，所以原三角形的面積是“底×高÷2”。

（3）歸納公式

師：同學們通過動手操作、學習研究后發現，直角三角形、鈍角三角形的面積也可以用“底×高÷2”來進行計算。因此，所有的三角形面積都可以用“底×高÷2”來計算。（板書：三角形的面積=底×高÷2）

師：如果三角形的面積用S表示，底用a表示，高用h表示，那三角形的面積可以寫成什么？“底×高”表示什么？為什么要除以2？

生20：S=ah÷2。“底×高”表示用兩個完全相同的三角形拼成的平行四邊形的面積，因為其中一個三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半，所以要“÷2”。

6. 介紹其他方法

師：今天我們一起推導了三角形的面積計算公式，早在2000多年前，我們的祖先就已經提出了這個公式，請看大屏幕。

師：如圖6所示，你看懂劉徽的證明方法了嗎？

師：長方形的長是什么？寬是什么？三角形的面積又是什么？

師：剛才我們通過剪一剪、拼一拼等方式，得出了三角形的面積是“底×高÷2”。下面，我們就用這個公式來解決一些簡單的實際問題。

【環節三】分層練習，強化三角形面積計算方法的運用

1.基礎練習

（1）計算下面三角形的面積。（注意書寫格式）

思考：①4×2表示什么？（請學生上臺指一指）還有不同的想法嗎？（指名學生回答）

②計算第三個三角形面積時為什么不用10這個數據呢？（強調底和高要對應）

師：生活中哪些地方需求三角形的面積？（學生舉例）

師（PPT 出示一條紅領巾）：要求這一條紅領巾的面積，需要哪些數據？（底和高）

師：紅領巾的底是100cm，高是33cm，它的面積是多少平方厘米？（學生獨立計算））

2.提高練習

選一選：做這樣的四塊標識牌至少需要多少平方分米的鐵皮？（ ）

A.9×7.8÷2 B. 9×7.8÷2×4 C. 9×7.8×2

師：請大家說說選擇的理由。

師：老師覺得選項C是正確的，你知道老師是怎么想的嗎？

3.拓展練習

（1）會變的三角形

師（出示一組平行線）：這是兩條什么線？大家仔細看下面的這條線（閃爍線段），這是一條很神奇的線段，它會變出很多個三角形。（點擊鼠標演示）大家比比看，哪個三角形的面積最大？你發現了什么？（三角形的面積與底和高有關，與形狀無關；等底等高的三角形面積相等）

（2）求涂色部分的面積（大正方形的邊長是6厘米，小正方形的邊長是4厘米）。

【環節四】總結全課，回顧三角形面積計算公式的推導過程

師：這節課你有哪些收獲？我們是怎樣推導出三角形的面積計算公式的？ 計算三角形面積時需要注意什么？

五、課后再思考

思考1：兩種教學策略如何把握？

對于“剪拼法”與“拼組法”兩種教學策略，在教學中應側重一種，只需將另一種作為補充，以豐富學生對知識的建構。在本節課中，筆者以剪拼法為重，經過反思，筆者認為應以“拼組法”為重。主要原因有以下兩點：第一，對于本節課的學習，學生對三角形剪拼成平行四邊形的知識儲備還不夠，因為對于中位線等概念，學生還未掌握；第二，前一課學習平行四邊形的面積采用的是割補法，即沿高剪開平行四邊形后將其兩部分拼成一個長方形，從而推導出平行四邊形的面積計算公式，后一課將要學習梯形面積計算公式的推導過程，將梯形剪成一個三角形和一個平行四邊形；將梯形剪拼成一個三角形或平行四邊形；用兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形。基于教材的編排順序，本節課的教學應側重“拼組法”。

思考2：探究活動是否都要基于精選材料而展開？

在很多公開課中，許多探究活動都是基于精選材料而展開的。在這個過程中，學生積累的活動經驗，也是一種基于精選材料探究而獲得的學習經驗。然而，無論是今后要學習的其他圖形面積公式的探究，還是其他知識的建構，都無法提供現成的精選材料，真正富有意義的學習活動，很多時候只能依靠學習者本身。因此，在這節課中教師應為學生設置一個基于基本材料而探究的學習活動，以此幫助學生積累更有價值的活動經驗。比如，教師只給每個學生提供一個三角形（無方格背景），隨后充分放手，讓學生自主探究三角形面積的計算公式。由于離開了精選材料的幫扶與暗示，很多學生可能會暫時茫然、不知所措，但經過思考后，他們會想到在方格上擺一擺、與同伴拼一拼、動手剪一剪等方法。顯然，這種前期“山窮水盡”后帶來的“柳暗花明”的學習經歷，更能讓學生有深刻的學習體悟，真正深入理解知識的本質與內涵。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王國元.基于學習起點 優化學法指導[J]. 小學數學教師， 2014（5） .

[2] 葉柱.由“教什么”談起[J]. 小學教學設計（數學），2015（11）.

（責編 黃春香）