例談作垂線段在三角形問題中的應用

吳碧奕

八年級（浙教版）上冊幾何部分的重點內容是三角形，而作垂線段的方法在解決與三角形有關的問題時發揮了重要作用，下面就作垂線段在與三角形有關的證明和計算類問題中的應用作一些剖析，探討作垂線段的問題背景和問題思路。

一、證明題中作垂線段的方法

例1如圖1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點P是AC邊上一點，在BC邊上取一點D，使PB=PD，過點D作DE ⊥AC于點E，請求出線段PE與AC的數量關系，并說明理由。

分析：從圖形上觀察可以猜想PE =AC，而AC又是等腰直角三角形的斜邊，與等腰三角形斜邊有一半關系的就是斜邊上的中線，由于∠PED=90°，為了便于證明全等，故而自然想到過點B作BF⊥AC，利用BF=PE證明PE =AC。

解：PE=12AC

證明如下：

作BF⊥AC（如圖2），

∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=AF=BF=AC，∠C=∠FBC =45°。

∵PB=PD，∴∠PBD=∠PDB，∵∠PBD=∠2+∠FBC=∠2+45°

∠PDB=∠1+∠C=∠1+45°，

∴∠1=∠2。又∵∠PFB=∠DEP=90°，

∴△PFB≌△DEP（AAS）， ∴PE=BF=12AC。

點評：三角形中有許多定理是通過作垂線段證明兩條線段相等，如等腰三角形中的三線合一定理，角平分線上點到角兩端的距離相等，等等。在相應的背景下，只需作出垂線即有兩條相等線段，這些相等線段可以是題目所求證的線段，也可以作為中間量轉化為其他需要證明的線段。而本題中，首先問題背景是等腰直角三角形，其次，求的線段PE也在一個直角三角形中，這兩個都是作垂線段作為輔助線的暗示條件，于是線段BF這條輔助線也就順理成章了。

二、計算題中作垂線段的方法

1.利用作垂線段分割或補全圖形求三角形面積 例2如圖3，已知平面直角坐標系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3），求△ABC的面積。

分析：從圖3中可以看到△ABC斜放在直角坐標系中，而且從圖形上看也不是……