例談作垂線段在三角形問題中的應(yīng)用

吳碧奕

八年級(jí)（浙教版）上冊(cè)幾何部分的重點(diǎn)內(nèi)容是三角形，而作垂線段的方法在解決與三角形有關(guān)的問題時(shí)發(fā)揮了重要作用，下面就作垂線段在與三角形有關(guān)的證明和計(jì)算類問題中的應(yīng)用作一些剖析，探討作垂線段的問題背景和問題思路。

一、證明題中作垂線段的方法

例1如圖1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)P是AC邊上一點(diǎn)，在BC邊上取一點(diǎn)D，使PB=PD，過點(diǎn)D作DE ⊥AC于點(diǎn)E，請(qǐng)求出線段PE與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

分析：從圖形上觀察可以猜想PE =AC，而AC又是等腰直角三角形的斜邊，與等腰三角形斜邊有一半關(guān)系的就是斜邊上的中線，由于∠PED=90°，為了便于證明全等，故而自然想到過點(diǎn)B作BF⊥AC，利用BF=PE證明PE =AC。

解：PE=12AC

證明如下：

作BF⊥AC（如圖2），

∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=AF=BF=AC，∠C=∠FBC =45°。

∵PB=PD，∴∠PBD=∠PDB，∵∠PBD=∠2+∠FBC=∠2+45°

∠PDB=∠1+∠C=∠1+45°，

∴∠1=∠2。又∵∠PFB=∠DEP=90°，

∴△PFB≌△DEP（AAS）， ∴PE=BF=12AC。

點(diǎn)評(píng)：三角形中有許多定理是通過作垂線段證明兩條線段相等，如等腰三角形中的三線合一定理，角平分線上點(diǎn)到角兩端的距離相等，等等。在相應(yīng)的背景下，只需作出垂線即有兩條相等線段，這些相等線段可以是題目所求證的線段，也可以作為中間量轉(zhuǎn)化為其他需要證明的線段。而本題中，首先問題背景是等腰直角三角形，其次，求的線段PE也在一個(gè)直角三角形中，這兩個(gè)都是作垂線段作為輔助線的暗示條件，于是線段BF這條輔助線也就順理成章了。

二、計(jì)算題中作垂線段的方法

1.利用作垂線段分割或補(bǔ)全圖形求三角形面積 例2如圖3，已知平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3），求△ABC的面積。

分析：從圖3中可以看到△ABC斜放在直角坐標(biāo)系中，而且從圖形上看也不是直角三角形，所以不論以哪條邊為底，求相應(yīng)對(duì)的高都很復(fù)雜，甚至無從下手.此時(shí)，可聯(lián)系不規(guī)則圖形的算.法，采用割補(bǔ)法，先用作垂線段的方法將△ABC補(bǔ)全成長(zhǎng)方形，再減去三個(gè)三角形就得△ABC的面積，而三個(gè)三角形都是直角三角形非常容易求面積。

解：作CD⊥x軸，CE⊥y軸，如圖4，

∵C（4，3），∴CE=4，CD=3

∵A（0，1），B（2，0） ∴OA=1，OB=2

∴S△ABC=3×4-S△AOB-S△BCD-S△ACE=4

點(diǎn)評(píng)：平面直角坐標(biāo)系中的三角形問題背景下，比如求三角形上某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，或者求圖形的面積等，這兩個(gè)也是作垂線段作為輔助線的暗示條件，或分割，或補(bǔ)全，或?qū)ふ抑苯侨切芜M(jìn)行計(jì)算，之后就能有清晰的解題思路了.

2.作垂線段，通過直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算 例3如圖5，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，以BC為邊向上面作等邊△BCD，

BD與AC交于點(diǎn)E，取CD的中點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G.

（1）求證：△ABE≌△CBG； （2）若BG=2，求DE的長(zhǎng).

分析：本題有兩小題，第一小題證明全等是為第二小題通過求BD，BE再求DE而服務(wù)的，而全等的條件也比較明顯，此處不詳述.第二小題已知BG求DE，乍一看是沒有任何聯(lián)系的兩條線段，細(xì)想之下，DE是線段BD的一部分，而BE=BG=2，所以問題就轉(zhuǎn)化為求線段BD，而與BD相等的線段BC與BG在同一個(gè)△BCG中，仔細(xì)思考這個(gè)三角形的特征，它有兩個(gè)特殊角∠GBC=30°，∠GCB=45°，于是可以過點(diǎn)G作垂線段GH，利用直角三角形中特殊角對(duì)應(yīng)邊的數(shù)量關(guān)系解決這個(gè)問題.

解：（2）作GH⊥BC，如圖6，Rt△BGH中，∵∠GBC=30°，

∴GH=12BG=1，∵∠GCB=45°，

∴等腰Rt△CGH中 CH=GH=1，

∴BC=1+3， ∵△BCD是等邊三角形

∴BD=BC=1+3，∴DE=BD-BE=1+3-2=3-1.

點(diǎn)評(píng)：本題作垂線段比較巧妙，△BCG并不是特殊三角形，不能直接求線段BC的長(zhǎng)，只有直角三角形中利用特殊角的邊角關(guān)系或者勾股定理才能求邊長(zhǎng)，所以在特殊角30°，45°的提示下，作垂線段GH就勢(shì)在必行了。不過這不是唯一的垂線段作法，經(jīng)過第（1）小題的三角形全等證明了BG=BE=2，這兩條線段所在的△BGC，△ABG，△ABE中都有30°，45°或60°這樣的特殊角，所以這三個(gè)三角形中都可以利用作垂線段求AB或BC的長(zhǎng)，進(jìn)而解決問題。因此，在有一條已知線段且有兩個(gè)特殊角的非直角三角形中，都可以通過作垂線段求邊長(zhǎng)。

綜上，可以看到，凡是需要作垂線段作為輔助線的題目都在條件和結(jié)論中有所提示，比如等腰三角形中，或直角三角形中的特殊角，或圖形的面積，或點(diǎn)的坐標(biāo)等，凡此種種，都可以通過作垂線段讓問題迎刃而解。