一維定常對流擴散反應方程的高精度緊致差分格式

祁應楠, 武莉莉

(寧夏師范學院 數學與計算機科學學院， 寧夏 固原 756000 )

一維定常對流擴散反應方程的高精度緊致差分格式

祁應楠*, 武莉莉

(寧夏師范學院 數學與計算機科學學院， 寧夏 固原 756000 )

針對一維定常對流擴散反應方程，提出了一種四階精度的有理型緊致差分格式，其局部截斷誤差為O(h4)；然后通過Richardson外推技術和算子插值法將本文格式的精度提高到六階.因為格式僅涉及到3個網格基架點，所以對于Dirichlet邊值問題，由差分格式可得三對角線性方程組，可采用追趕法進行求解.最后通過數值算例驗證了本文方法的精確性和可靠性.

對流擴散反應方程； 高階緊致格式；Richardson外推； 有限差分法

對流擴散反應問題是流體力學、傳熱學、傳質學等學科以及環境、化工等應用領域中經常遇到的典型問題之一，由于問題的準確解往往很難獲得，所以人們經常采用數值方法來尋求問題的近似解.目前，所流行的近似計算方法包括有限差分法、有限元法和邊界元法等.其中有限差分方法是一種常用的數值計算方法.目前，國內外已經有許多有關該問題高階緊致差分格式的研究報道.如：魏劍英[1]針對一維對流擴散方程，提出了一種指數型高階緊致差分格式.王彩華[2]利用泰勒展開公式和數項級數收斂性給出了一線性對流擴散問題的一類高精度緊致差分格式.田芳和田振夫[3]基于非均勻網格上函數的泰勒級數展開，構造了非均勻網格上的高精度緊致差分格式.Sun和Zhang[4]構造了定常對流擴散反應方程的多項式型四階緊致差分格式，并用Richardson外推法[5]和算子插值技術將格式的精度提高到了六階.Tian和Dai[6]構造對流擴散問題的指數型格式，其空間具有四階精度.文獻[7]研究了非定常對流擴散方程的有理型高階緊致差分格式并得到了很好的計算效果.楊志峰等[8]構造了含源項非定常對流擴散問題的緊致四階格式.文獻[9-11]研究了利用樣條插值的方法來構造高精度緊致差分格式.

文獻[12]通過消除對流項，并利用Pade格式，構造了一維非定常對流擴散反應方程無條件穩定的四階緊致差分格式.文獻[13]針對非定常對流擴散方程，對空間采用三點緊致差分格式，并對時間采用單對角隱式Runge-Kutta方法進行離散，得到了截斷誤差為O(τ4+h4)的無條件穩定的隱格式.文獻[14]通過簡單的分裂算法及增加特殊網格點的方法，對時間的處理采用C-N格式與向后歐拉結合的技巧，推導出求解高維非定常對流擴散反應方程的隱式差分格式.

本文針對一維定常對流擴散反應方程，基于截斷誤差余項修正思想，并結合原方程本身，推導得到了求解該方程的一種四階精度的有理型緊致差分格式.然后采用Richardson外推法和算子插值技術將格式的精度提高到六階.最后給出了數值算例.

1數值計算方法

本文討論的方程模型為兩點邊值問題：

(1)

其中，邊界條件為：u(0)=q0，u(L)=qL.這里，a，p(x)，b(x)分別為擴散、對流和反應項系數.且a>0，p(x)和b(x)均為關于空間變量x的光滑函數.

將式(1)改寫為：

(2)

由此定義空間一階和二階導數的中心差分算子為：

(3)

(4)

將式(1)利用中心差分代替，并利用關于u的一階數和二階導數的定義，可得：

(5)

(6)

(7)

將式(6)代入式(7)消去xi化簡可得：

(8)

將式(6)和式(8)代入式(5)可得：

fi+O(h4).

(9)

將式(3)和式(4)代入式(9)，略去高階項后化簡整理可得：

(10)

其中

(11)

(12)

(13)

(14)

式(10)即為多項式型四階緊致(FOC)差分格式，此格式色散誤差和耗散誤差較大.為了能精確數值求解此類方程，我們推導一種有理型的四階緊致差分格式.

將式(2)代入式(6)可得：

(15)

(16)

將式(2)和式(15)代入式(7)，整理可得：

(17)

令

則式(17)可化簡為：

(18)

將式(16)和式(18)代入式(5)，整理可得：

O(h4)，

(19)

(20)

(21)

令

則式(21)可化簡為：

(γ4f+γ5fx+γ6fxx)i+O(h4).

(22)

(23)

此格式的高階截斷誤差為O(h4)，即此格式具有四階精度.本文格式之所以稱之為有理型格式，是因為其差分算子的系數為有理型函數，記為RHOC.

從推導過程可以看出，FOC格式只是其中的一種特殊情況，有理型格式的推導更具有廣泛性.結合原方程可得到具有不同性質的高精度格式，對于不同性質的問題可選用與之相適應的格式進行求解，此類格式均為三個網格基架點，只發生系數的變化.

2Richardson外推

下面使用Richardson外推方法[5]將本文的四階格式RHOC提高到六階精度.

定義：

0 1 2 3 4……N-1N

(24)

(25)

由于細網格上偶數點(菱形點)已經算出，因此只須采用式(26)計算奇數點(圓點)，即可得如下算子插值公式：

(26)

通過式(26)利用細網格上具有六階精度的偶數點來計算奇數點，從而可使得細網格上點的精度均為六階，整個過程我們將其記為RRHOC，其算法步驟如下：

3數值算例

為了驗證本文格式的精確性和可靠性，分別采用RHOC格式和RRHOC格式對以下兩個有精確解的問題進行數值實驗，并與中心差分格式、多項式型四階緊致格式(FOC)[4]和六階格式(REC)[4]的計算結果進行比較.其中，L∞范數誤差和收斂階(Rate)的定義如下：

其中，Ui表示點xi處的精確解，ui表示點xi處的數值解，L∞(uh1)和L∞(uh2)分別表示網格步長為h1和h2時對應的L∞范數誤差．

問題1：

該問題的精確解為：u(x)=ex.取：a=1，b(x)=x2+1，f(x)=x2ex.

問題2：

該問題的精確解為：u(x)=e-4πsin(x).取：a=1，p(x)=1，b(x)=1，f(x)=e-4π(cosx+2sinx).

表1 算例1當取不同h時，本文RHOC格式與中心差分格式和FOC格式[4]的最大絕對誤差及收斂階

表2 算例1當取不同h時，本文RHOC格式和REC格式[4]的最大絕對誤差及收斂階

表3 算例2當取不同h時，本文RHOC格式與中心差分格式和FOC格式[4]的最大絕對誤差及收斂階

表4 算例2當取不同h時，本文RHOC格式和REC格式[4]的最大絕對誤差及收斂階

對于問題1和問題2，表1和表3列出了取不同步長h時，采用中心差分格式、FOC格式[4]與本文RHOC格式計算的L∞范數誤差和Rate(收斂階).不難得到，本文所提的四階精度的有理型格式(RHOC)格式比多項式型格式(FOC) 和中心差分格式均具有更高的準確度.而且，當網格數不斷增加時，RHOC格式的L∞范數誤差比中心差分格式小四個數量級不等，比同是四階的FOC格式計算結果更精確.表2和表4列出了取不同網格步長h時，REC格式[4]與本文RHOC格式的最大絕對誤差和收斂階，從表中可以看出經過外推和算子插值之后的REC格式和本文RHOC格式均有六階精度，但是本文RHOC格式的計算誤差明顯優于REC格式[4].

4結論

本文基于中心差分格式的截斷誤差余項修正，并利用原方程本身，提出了數值求解一維兩點邊值問題的一種緊致的高精度差分方法，由理論推導可知所提格式為四階精度.然后采用Richardson外推法和算子插值技術將格式的精度提高到六階.最后，采用本文兩種方法計算了兩個數值算例，并與傳統的中心差分格式以及文獻[4]中的FOC格式和REC格式進行了對比，充分體現了本文方法的精確性和有效性.

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A high-order compact difference scheme forthe 1D steady convection-diffusion-reaction equation

QI Yingnan， WU Lili

(School of Mathematics and Computer Science, Ningxia Normal University, Guyuan, Ningxia 756000)

In this paper, a rational high-order compact difference scheme for solving the 1D steady convection-reaction-diffusion equation is proposed. The local truncation error of the scheme isO(h4). And then the Richardson extrapolation and operator interpolation techniques are employed to obtain a sixth order accuracy solution. Because only three basic grid points are used in the scheme, the linear system arising from the scheme for Dirichlet boundary problem is tridiagonal. It’s able to be solved by the forward elimination and backward substitution algorithm. Finally, numerical experiments are carried out to demonstrate the accuracy and the effectiveness of the present method.

convection-reaction-diffusion equation; high-order compact scheme; Richardson extrapolation; finite difference method

2016-09-18.

寧夏高等學校科學研究項目(NGY2015115)；寧夏自然科學基金項目(NZ15259、NZ16251)；寧夏師范學院項目(NXSFZD1707，NXSFZD1709，NXSFZD1710).

1000-1190(2017)01-0001-06

O241.8

A

*E-mail: gysz9695@163.com.