u0-錐度量空間上新的映射不動點定理

袁 軒， 袁國常， 雷國營， 張 宙

(1.三峽大學 水利與環境學院， 湖北 宜昌 443000；2.湖北三峽旅游職業技術學院， 湖北 宜昌 443100)

u0-錐度量空間上新的映射不動點定理

袁 軒1， 袁國常2*， 雷國營2， 張 宙2

(1.三峽大學 水利與環境學院， 湖北 宜昌 443000；2.湖北三峽旅游職業技術學院， 湖北 宜昌 443100)

錐度量；u0-錐度量空間； 單增映射； 不動點

在文獻[1]中，Potter在Hilbert空間上介紹了α-凹算子，給出了關于這類算子非線性特征問題Ax=λx解的存在性.隨后，這類算子的條件和結論被人們減弱和改進[3].文獻[3]進一步推廣了α-凹算子，得到新的不動點定理.由此自然地產生一個問題，能否在一般集合上推廣α-凹算子，進而討論其不動點問題呢？解決這一問題是困難的.文獻[4-5]給出錐度量的概念，這使得在一般集合上討論相關映射的不動點問題成為可能.本文以文獻[4-5]給出的錐度量概念為基礎，建立了u0-錐度量空間理論，并引入滿足條件H的映射T，討論了T的不動點問題.最后給出的例子說明映射T正是Banach空間上的α-凹算子在一般正齊性集X上的推廣.

1u0-錐度量空間

設E為實Banach空間，θ為其零元，P為E中非空錐體，E由P導入的半序記為“≤”，即u，v∈E，u≤v，且u≠v時，記為u

本文總假定X為非空正齊性集，(X，d)為完備的錐度量空間.

引理1[7]設Pu0中的兩元u，v可比較，并且u≤v，則u-v∈Pu0.

現對X→X的映射T作以下假設H：T為單增映射，對?x∈X，存在x0∈X，使得T滿足：

引理3設T：X→X滿足條件H，則?x∈X，

證明設tx=y，則x=t-1y，代入條件H中的不等式，有

證明由引理3，對?y∈X，有

證畢.

2(X，d)上滿足條件H的映射的不動點定理

(1)

這與推論2矛盾.故t0<1，且

(2)

(3)

(4)

(5)

由推論2得到

綜上述得到

(6)

再由T的單增性得到

v0≤v1≤…≤v0≤…≤wn≤…≤w1≤w0.

(7)

如此得到

由

及推論2得

取正整數n，p，由T的假設條件，(7)和T的單增性以及

得：

設有x#∈X，使得Tx#=x#. 記s1=sup{(s>0|d(x0，x*)≥d(x0，sx#)}.顯然d(x0，x*)≥d(x0，s1x#).如果0

得x*=x#.證畢.

3例子

1) 當x與y可比較，分3種情況：設x≥y，z∈Pu0，

(1)若z與x，y均可比較，此時

；

(2)若z與x，y之一不可比較，不妨設z與y不可比較，此時

；

(3)若z與x，y均不可比較， 此時

.

注2定理1在證明不動點的存在性時沒有用到范數和錐的正規性，所以定理2更具有一般意義.

[1]POTTERAJB.ApplicationsofHilbertsrojectivemetrictocertainclassofnon-Homogeneousoperators[J].QuartJMathOxfond， 1997， 28(2):93-99．

[2] 郭大均. 非線性泛函分析[M].2版.濟南：山東科學技術出版社，2001.

[3] 翟成波， 王文霞， 張玲玲. 一類凹與凸算子的推廣[J].數學學報， 2008, 51(3):529-540.

[4]HUANGLG，ZHANGX.ConemetricspacesandfixedpointtheoremsofContractivemappings[J].JMathAnalAppl， 2007， 332:1467-1475．

[5] 張 憲. 錐度量空間中Lipschitz型映射的公共不動點定理[J].數學學報， 2010， 53(6):1139-1148．

[6] 張 憲. 序壓縮映射的不動點定理[J].數學學報， 2005， 48(5):973-978．

[7] 袁國常. 錐壓縮逼近算子的不動點定理[J].西南師范大學學報(自然科學版)， 2011， 36(5):44-47．

A new fixed point theorem of mappings onu0-cone metric space

YUAN Xuan1, YUAN Guochang2, LEI Guoying2, ZHANG Zhou2

(1.College of Hydraulic and Environmental， China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443000;2.Department of Basic Course， Three Gorges Travel Vocational College， Yichang, Hubei 443100)

conemetric； u0-conemetric；singleincreasemapping；fixedpoint

2016-05-23.

1000-1190(2017)01-0007-05

0177.91

A

*通訊聯系人. E-mail: ygc510@163.com.