時域分析法在系統響應分析中的應用

伍玩秋

（陽江職業技術學院機電系，廣東陽江529500）

時域分析法在系統響應分析中的應用

伍玩秋

（陽江職業技術學院機電系，廣東陽江529500）

對系統的時間響應分析是揭示系統本身動態特性的有效途徑。時域分析法充分運用拉普拉斯變換（下稱“拉氏變換”）規則，重視發揮數學模型的優勢作用，在系統響應分析中具有獨特而重要的應用。其基本思路是：運用物理規律，建立反映系統本質的微分方程；通過拉氏變換及待定系數法求出系統輸入信號后的響應輸出信號的拉氏變換式；利用拉氏反變換，求出系統響應輸出信號的實變量函數解析式；再通過應用軟件作出系統響應曲線；最后結合曲線進行必要的數學運算和推理，完成對系統有關性能的分析和總結。

時域分析法；拉普拉斯變換；系統響應；思路

1 引言

在經典控制理論中，系統時間響應是指系統在外加作用（信號輸入）的激勵下，其輸出量隨時間變化的函數關系；時域分析法通常是指直接從微分方程或間接從傳遞函數出發去分析系統問題的方法。時域分析法是系統時間響應分析中常用的方法，但對方法應用的一般規律卻探討得較少。本文試圖以常用的單位階躍信號為系統輸入信號，以典型一階系統（慣性環節）的時間響應分析為例，以探求時域分析法在系統響應分析中的基本思路。

2 系統微分方程的建立

【例】圖1所示為慣性調節器，其中ui為輸入信號，uo為輸出信號，設初始條件為零。請運用時域分析法分析其單位階躍響應輸出性能。

解決問題的第一步是建立反映系統本質規律的微分方程。

根據基爾霍夫電流定律（KCL）有：

由于運算放大器的開環增益很大，這時可認為：

式（1）即為慣性調節器的微分方程。

圖1 慣性調節器

3 運用時域分析法進行系統響應分析的過程

3.1 求出輸出信號的拉氏表達式

將系統微分方程兩邊進行拉氏變換：

因輸入信號是單位階躍信號，且初始條件為0（即t≥1），所以ui（t）＝I（t）＝1，這時有，代入式（1）得：

式（3）即為輸出信號的拉氏表達式

3.2 用待定系數法求出輸出信號拉氏表達式的分式和的形式

先將式（3）變成含待定系數A、B的分式和的形式：

對比式（3）和式（4），可求得A＝1，B＝－T代入式（4）得：

3.3 通過拉氏反變換得出響應輸出信號的函數解析式

根據常用函數拉氏變換對照表，將式（5）分項進行拉氏反變換，得出響應輸出信號的函數解析式。

3.4 應用仿真軟件（如Simulink）作出系統響應曲線

式（6）的函數圖像即為慣性調節器的單位階躍響應曲線，如圖2所示。

圖2 慣性調節器的單位階躍響應曲線

3.5 結合響應曲線分析系統有關性能

從上圖可以看出，慣性調節器的單位階躍響應曲線是按指數規律下降的一條曲線。該曲線有以下特征：

（1）階躍響應曲線起點的斜率

由上式可知，響應曲線起點的斜率m是時間常數T′的倒數的相反數，T′越大，m的絕對值越小，Uo（t）下降過程越慢，即Uo（t）的絕對值上升過程越慢。

（2）穩態值

Uo（t）的穩態值為

（3）趨向穩態值的過渡時間

由曲線可知，在t經過T、2T、3T、4T、5T后，其響應輸出值分別為穩態值的63.2%、86.5%、95%、98.2%、99.3%。由此可見，對典型一階系統，其過渡時間大約為（3－5）T，響應輸出值可達到穩態值的95%－99.3%。

4 結束語

綜上可知，時域分析法在系統響應分析中的基本思路是：運用物理規律，建立反映系統本質的微分方程；通過拉氏變換、待定系數法及拉氏反變換，求出系統響應輸出實變量函數解析式；通過應用軟件做出系統的響應曲線，最后結合曲線對系統進行必要的數學運算和推理，完成對系統有關性能的分析和總結。在此過程中，拉氏變換和拉氏反變換規則、常用數學模型及待定系數法等數學工具的運用，使求解過程變得簡單、有效；系統仿真軟件的運用使系統響應曲線的繪制變得更為方便、真實。盡管以上方法及思路是通過典型一階系統（慣性環節）的階躍響應分析總結出來的，但對其他二階以上系統的響應分析同樣具有普遍的借鑒意義。

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Application of time domain analysis method in system response analysis

WU Wan－qiu
（Yangjiang Vocational and Technical College，Yangjiang 529500，China）

The time response analysis of the system is an effective way to reveal the dynamic characteristics of the system itself.The time domain analysis method，which is based on the Laplace transform rule and takes advantage of the mathematical model，has a unique and important application in the system response analysis.The basic ideas in the analysis process are the following：to established the differential equation by the physical laws to reflect the essence of the system；to calculate the Laplace transform of the response output signal after the input signal by the Laplace transform method and the undetermined coefficient method；to calculate the system response functional analysis of the real－time variable－type output signal by using the inverse Laplace transform；to draw the system response curve by the software application；to do some mathematical calculations and some necessary reasoning by curves；to complete the analysis and summary for the performance of the system.

time domain analysis method；Laplace transform；system response；ideas and solutions

TM131

：A

1005—7277（2017）01—0058—03

伍玩秋（1967－），男，碩士，高級工程師，主要從事電氣自動化相關課程教學及技術研究工作。

2016－10－09