基于ARMA-GARCH模型的上證綜指收益率波動性研究

文/劉旺強，上海大學

基于ARMA-GARCH模型的上證綜指收益率波動性研究

文/劉旺強，上海大學

本文摘要：收益率波動性研究是資產定價領域研究的一個重要組成部分，本文以上證綜指為研究對象，運用GARCH模型對2005年1月4日至2016年3月31日上證綜指日收益率進行了實證研究。研究結果顯示：上證綜指收益率序列具有明顯的波動集聚性和異方差的特征，即具有ARCH效應。基于時間序列特性的ARMA-GARCH模型能夠較好的解釋時間序列本身的自相關性以及條件異方差性，運用該模型可以較好地對上證綜指波動情況進行擬合。

ARMA-GARCH模型；股票價格指數；波動率；ARCH效應

1 引言

上證綜指覆蓋了上海交易所所有上市公司股票，代表了大中小盤股股票的綜合表現，行業分布均衡，指數的整體波動性較小，可以全面反映股票市場總體走勢以及價格波動情況，具有良好的市場代表性。國內許多學者對上證綜指進行了廣泛的研究與論證。本文基于ARMA-GARCH模型對上證指數收益率序列的波動特性的基本特征進行分析，進而對近十年間上證指數收益率序列的變動情況進行模型擬合，以期對其波動情況進行預測。

2 模型介紹

2.1 自回歸條件異方差模型（ARCH模型）

一般的回歸分析和時間序列分析中，通常假設計量模型的隨機擾動項滿足同方差性。而一些時間序列特別是金融時間序列，經常會表現出波動性集群現象，其方差是隨著時間變化而變化的，即表現出“異方差性”。Engle（1982）提出的自回歸條件異方差模型（autoregressive conditional heteroscedasticity model，簡稱ARCH）模型很好的解決了時間序列的波動性問題，不斷被用來研究金融市場的收益序列變化的問題，同時奠定了金融時間序列波動異方差模型的基礎。

ARCH（p）一般形式如下：

方差方程：

其中，yt和xt分別表示因變量和自變量， 表示不存在序列相關性的隨機干擾項，p表示滯后階數。模型還要求 ＞0， + +… ＜1。需要注意的是，ARCH（p）模型中仍然假設隨機干擾項不存在序列相關，但是條件方差很可能存在序列相關，因此建模后還需要對殘差序列是否存在ARCH效應進行檢驗。對殘差序列進行ARCH檢驗的常用方法主要有殘差平方自相關圖檢驗法和拉格朗日乘數法。

ARCH模型最主要的特征是可以體現時間序列波動的時變性和波動集群性。

2.2 廣義自回歸條件異方差模型（GARCH模型）

GARCH模型成為廣義自回歸條件異方差模型，是ARCH模型的擴展，由Bollerslev（1986）提出，其一般形式如下：

此外，ARCH族模型還包括GARCH-M（GARCH-in-mean）模型、TARCH（Threshold ARCH）模型、EGARCH（Exponential GARCH）模型等等。

3 實證分析

3.1 數據的選取與描述性統計分析

3.1.1 數據選取

本文選取2005年1月4日至2016年3月31日上證綜指每日收盤價，共2730個數據。以相鄰兩天收盤價指數的對數一階差分來代表上證指數的日收益率，計算公式為：Rt=ln（Pt）-ln（Pt-1），其中Pt和Pt-1分別代表t日和t-1日的收盤股價指數。

本文數據來源于Wind數據庫，數據的處理采用EXCEL 2013、EVlEWS 8.0分析軟件。

3.1.2 描述性統計分析

分別對2005年1月4日至2016年3月31日的上證綜指收益率序列利用Eviews軟件進行描述性統計分析，結果如下：

表1 上證綜指日收益率序列統計特征

從上述描述性統計數據可看出，2005年1月4日至206年3月31日上證綜指日收益率序列集中分布于0附近，均值較低，說明上證綜指整體收益率較低。偏度為-0.545793，整體呈左偏。峰度為6.642316，說明日收益率序列分布較為集中，J-B統計量較大，為1643.999，且相伴概率接近于0，收益率不服從正態分布。

綜上，結合上證綜指收益率序列時序圖（略）可見，上證綜指日收益率序列具有時間序列普遍表現出的波動集群性和尖峰厚尾特性，且不服從正態分布。

3.1.3 上證綜指收益率序列平穩性檢驗

序列的平穩性是時間序列分析的重要前提，為此需要對上證綜指收益率序列是否平穩進行檢驗，下面采取單位根檢驗方法進行平穩性檢驗，結果如下表：

表2 上證綜指日收益率序列平穩性檢驗

從上表可看出，上證綜指收益率序列是平穩的時間序列。

3.1.4 上證綜指日收益率序列ARCH效應檢驗

從收益率序列時序圖（略）可直觀看出，收益率序列出現大的波動后往往伴隨著大的波動，小的波動后面伴隨著更小的波動，即波動具有集群性，這說明收益率序列的誤差項具有異方差特征，為此對收益率序列的殘差序列進行ARCH效應檢驗，檢驗方法通常采取ARCH LM檢驗法以及殘差自相關圖（Q檢驗）法。此處以ARCH LM檢驗方法對上證綜指收益率殘差序列進行ARCH效應檢驗，結果如下表所示：

表3 上證綜指日收益率序列ARCH效應檢驗結果

從表3可看出，P值接近于0，小于置信度0.05，拒絕原假設，即殘差序列存在ARCH效應。

通過殘差平方的自相關圖也可看出，上證綜指收益率序列的殘差平方自相關系數（ACF）與偏自相關系數（PACF）不顯著為0，也驗證了收益率殘差項存在ARCH效應。

3.2 ARMA-GARCH模型建模

考慮到上證綜指收益率序列具有的異方差特性以及自相關性，本文擬考慮建立ARMA-GARCH模型對2005年1月4日至2016年3月31日上證總指數收益率序列進行模型擬合。結合上證綜指收益率序列殘差自相關圖與偏自相關圖，考慮其截尾與拖尾情形，并根據AlC信息準則，最后確定以ARMA（1,1）模型為上證指數收益率序列的均值方程。就波動率方程而言，一般的GARCH（1,1）模型能夠較好的模擬大多數時間序列波動情形以及較好地解釋時間序列的異方差性。因此，最后確定以GARCH（1,1）模型來模擬收益率序列的波動。

綜上而言，最后確定以ARMA（1,1）-GARCH（1,1）模型來模擬上證綜指收益率序列，最后得到的方程如下所示：

從分析結果可以看到，所有的參數都是顯著的，說明前面驗證的上證綜指收益率序列存在的自相關性與異方差特性確實存在，括號中的z統計量以及AlC與SC值也說明ARMA（1,1）-GARCH（1,1）模型對上證綜指收益率序列的擬合度較高，能夠很好的解釋收益率序列的波動特性。

4 結論與政策建議

從上述實證研究結果可以看出，上證綜指收益率序列所具有的波動集群性表明我國股票市場波動幅度較大，我國股票市場發展還不太完善，歷史發展環境的制約，我國股票市場特有的模式以及運行機制上的特殊性決定了我國股票市場價格波動還存在諸多風險。

針對上述問題并結合本文研究結果，在此提出一些建議：

（一）完善市場監管，盡量減少政府對市場的直接干預，適時適度引導。政府對于股市的頻繁干預是我國股票市場的一個重要問題，應適時適度發揮政府作用，加強監管。

（二）建立股票市場信息發布及傳遞機制，確保股市信息能夠準確快速及時地傳遞，最大程度減少信息不對稱帶來的弊端，防止股票市場的大度波動。

（三）我國股票市場發展尚不成熟, 波動具有條件異方差效應,政府可以利用其計量工具進行模擬和預測分析結果, 制定相應政策, 提高股市監管能力, 而投資者則可以運用股市波動規律, 從而盡可能規避市場風險。

[1]高鐵梅.計量經濟學分析與建模-EVIEWS應用與案例[M].清華大學出版社.2006

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