不完全測量系統魯棒SGQKF的傳遞對準濾波器設計和穩定性分析

陳紅梅，劉建娟，程向紅，劉楠嶓

（1. 河南工業大學 電氣工程學院 機電設備及測控實驗室，鄭州 450001；

2. 東南大學 儀器科學與工程學院 微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096）

不完全測量系統魯棒SGQKF的傳遞對準濾波器設計和穩定性分析

陳紅梅，劉建娟，程向紅，劉楠嶓

（1. 河南工業大學 電氣工程學院 機電設備及測控實驗室，鄭州 450001；

2. 東南大學 儀器科學與工程學院 微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096）

針對復雜環境下運載體觀測信息不完全測量并且存在隨機干擾不確定的傳遞對準問題，研究了不完全測量隨機不確定系統的魯棒稀疏網格求積分（H∞-SGQKF）的高斯逼近濾波算法。基于非線性離散系統的最優貝葉斯濾波框架和間斷觀測濾波算法以及不確定性擾動噪聲下的 H∞范數的魯棒 SGQKF算法，給出了不完全測量的稀疏網格求積分的高斯逼近濾波算法；通過非線性系統隨機穩定性理論，分析并給出了系統估計誤差和估計誤差方差有界的充分條件，同時給出了系統穩定的不完全測量時的丟包率臨界值，證明間斷觀測條件下的不完全測量H∞-SGQKF算法是穩定的。通過傳遞對準仿真試驗和某型激光捷聯式慣性導航系統的跑車試驗對該算法進行了驗證。結果表明，該方法比未采用魯棒的不完全測量的稀疏網格求積分濾波的傳遞對準精度有所提高，說明不完全測量的魯棒稀疏網格求積分濾波算法是正確的、穩定的，并且具有魯棒性能。

魯棒稀疏網格求積分卡爾曼；不完全測量系統；魯棒收斂性分析；傳遞對準

運載體導航系統采用以慣性導航系統為主，衛星導航或天文導航為輔的組合導航，主要涉及高動態傳遞對準技術、黑障區導航信息補償技術、高動態下信息快速捕獲技術、寬帶數據鏈通信等關鍵技術[1]。稀疏網格求積分卡爾曼濾波可用于非線性線性時變系統，并要求系統誤差模型準確，過程噪聲和測量噪聲均值為零，且方差已知，這對應用于運動載體的傳遞對準技術來說很難實現[2]。運載體的外掛武器和傳感器吊艙一般懸掛在機翼或機腹下，而飛行器在高速機動飛行情況下，受空氣氣流、載荷變更、發動機噪聲等多種因素的影響，機體會發生時變結構變形，復合材料的更多使用和現代戰斗機的高機動特性使機身和機翼的彈性特性增強[3]，使得子慣導系統的姿態精度不高，此外存在桿臂時間延遲誤差等，很難保證建模完全準確[4]。武器一般在發射前或發射中進行動基座條件下傳遞對準，需要借助外界輔助信息(也稱為外部測量信息)解決SINS誤差積累問題。運載體始終處于不斷運動中，飛行器受到各種天文觀測條件約束，要實現較好幾何配置關系的導航星通常比較困難，天文導航定位計算過程對導航選星將引起導航星觀測信息丟失[5]；同時，空間環境電磁信號密集，信號干擾嚴重，衛星快速捕獲過程中接收機及其天線可能會受到帶電粒子以及外層空間的電、磁、紫外線、宇宙射線等的影響，觀測量出現間斷性隨機丟失或延遲[6]。復雜環境下外部量測信息延遲或丟失等不足的不完全量測信息將嚴重影響導航精度。

為確保攻擊精度，運載體的定位精度通常要求達米級，現有的基于完全量測的組合導航算法難以完成不確定條件下導航估計。文獻[7-8]提出一種處理不完全量測的濾波器：當rk=0時，表示系統獲得實際觀測量，觀測噪聲為Rk；當rk=1時，表示系統未獲得實際觀測量，系統用上一時刻的測量值來代替，此時假定方差為σ2I的虛擬觀測來代替觀測噪聲，當方差為σ2I取較大值時，相當于系統只進行時間更新，不進行量測更新，這種方法將會減低濾波器性能。文獻[9]基于貝葉斯基本框架，給出一套不完全測量的高斯逼近濾波算法。文獻[10]分析了系統的穩定性，給出穩定的充分條件。但是針對組合導航系統隨機丟包延時等不完全量測的狀態估計研究，特別針對同時存在桿臂撓曲誤差和各種外界干擾噪聲等不確定條件的狀態估計研究有待深入，本文將因桿臂撓曲變形引起的桿臂速度誤差作為能量有限的不確定性干擾引入 H∞濾波器，利用不確定性噪聲的魯棒性抑制桿臂速度誤差的影響，根據魯棒濾波思想[11]和不完全測量系統高斯逼近[9]算法給出一套不完全測量的魯棒稀疏網格濾波(H∞-SGQKF)算法,完成傳遞對準過程，并進行魯棒算法和穩定性實驗驗證。

1 不完全測量系統模型和濾波器設計

考慮如下非線性離散系統狀態方程加性噪聲模型：

不完全測量系統濾波器接收到的測量值可通過如下模型來描述：

其中：xk∈Rn為n維狀態向量；zk∈Rm為系統理想測量輸出；yk∈Rm為系統實際測量輸出；wk∈Rp和 vk∈Rm為隨機過程噪聲序列和測量噪聲序列，均為0均值白噪聲，且有

fk(xk)和hk(xk)為已知的非線性系統n維向量函數和m維向量函數；{rk∈R，k>1}，為滿足Bernouli分布的序列，其取值為0和1，其不完全測量概率pk為

貝葉斯估計不完全測量隨機不確定系統 SGQKF的流程如圖1所示。

其中，

不完全測量隨機不確定系統魯棒SGQKF高斯逼近濾波可通過預測和更新完成，具體表示如下。

濾波器初始化（k=0）設置狀態和協方差陣平方根因子的初始值：

圖1 遞歸貝葉斯估計不完全測量魯棒SGQKF的流程圖Fig.1 Recursive bayesian estimation incomplete measuring robust SGQKF

1）時間更新：k=1, 2, …

② 通過狀態方程和測量方程傳播計算預測積分點

這里Np與稀疏網格求積分點集的準則和系統維數有關，Np=2n2+6n+1.

⑤ 測量方程重新傳播積分點

2）狀態估計更新和測量噪聲更新

2 系統誤差及相關誤差方差陣

2.1 系統估計誤差和預測誤差

定義系統估計誤差和預測誤差：

其中，δφ2和εφ2為不為零的正實數，滿足

將式(38)代入式(34)：

2.2 系統估計誤差方差陣和預測誤差方差陣

利用矩陣求逆運引理對(26)取逆，可得：

再次利用矩陣求逆引理，將式(60)重新表示為

對比不完全測量的高斯逼近濾波算法，

定義：

將式(26)(27)(63)代入式(64)整理得到：

由于

結合式(63)將式(65)重新表示為

其中，

3 系統估計誤差隨機有界性

以定理1的形式給出不完全測量隨機不確定系統魯棒稀疏網格求積分高斯濾波算法的穩定性充分條件。引入文獻[13]的隨機過程有界性引理，證明不完全測量H∞-SGQKF濾波算法的穩定性。

定理 1：廣義非線性隨機系統(1)～(3)以及不完全測量高斯濾波器算法(7)～(30)，若滿足如下假設，則(31)中的估計誤差x?k|k為均方內指數有界，則算法穩定。

結合定理1給出的穩定性充分條件，證明滿足文獻[13]引理的相關結論，則系統估計誤差隨機有界，證明過程見附錄1。

4 系統估計誤差方差陣隨機有界

證明過程見附錄2。

5 仿真和物理數據驗證

為了驗證不完全測量隨機不確定系統魯棒SGQKF濾波性能，設計了如下仿真實驗和車載跑車試驗。

5.1 數學仿真試驗

5.1.1 系統參數設置

初始位置為北緯31.98°，東經118.8°，高度50 km,初始速度為5 Ma，加速度計常偏為0.1 mg(1σ)，隨機為0.05 mg/Hz1/2陀螺儀的常值漂移為0.1 (°)/h(1σ)，隨機噪聲為0.01 (°/h)/Hz1/2，基準系統的速度精度為0.5 m/s，姿態更新時間為5 ms，濾波周期為1 s。桿臂和機動軌跡設計采用文獻[15]模型，其中靜態桿臂為0.15/0.15/ 0.30 m，未建模動態桿臂為8～12 mm，8～14 mm，5～30 mm。仿真時間為300 s，橫滾角從0°到34°做搖翼機動，俯仰角和航向角從0°到10°做勻速變化。仿真過程中注入撓曲變形干擾,發射點慣性坐標系(i)作為導航坐標系，采用“速度+姿態”匹配方式進行傳遞對準，系統的狀態方程和觀測方程不對主子慣導間的桿臂和撓曲變形進行建模，需要對準的子慣導系統初始失準角的俯仰角、航向角和橫滾角方向分別為：50°/20°/30°。不完全測量概率pk為0.885，給定魯棒因子γ取為3.0，給定矩陣Lk=I。

5.1.2 試驗及結果分析

系統存在外觀測丟失等不完全測量且同時存在桿臂和撓曲等隨機不確定問題時，分別采用未加入魯棒/增加魯棒的不完全測量系統，并與系統完全觀測魯棒估計進行了比較，仿真結果如圖2所示。黑色點畫線表示系統在模型隨機不確定時未加入魯棒的不完全測量；藍色實線表示系統增加了魯棒的不完全測量，紅色點劃線表示系統完全觀測。

從圖2中可以看出：由于未加入魯棒方法的不完全測量的濾波器較依賴精確的數學模型和噪聲統計方法，當系統中存在不確定因素時，傳遞對準初期濾波器收斂較緩慢，傳遞對準后期，特別是在俯仰角姿態發散較大，降低了系統性能；與之對應的增加了魯棒的不完全測量的濾波器，逼近完全測量的魯棒濾波器，能夠較好地完成傳遞對準。

圖2 飛行器姿態誤差曲線圖Fig.2 Attitude error comparisons based on Pehlivano?lu

5.2 車載跑車試驗

為驗證不完全測量隨機不確定系統魯棒SGQK算法和穩定性分析在工程應用中的可行性，搭建實驗平臺如圖3所示。

圖3 跑車實驗平臺Fig.3 Experiment platform of trial vehicle

本文采用某型主慣性測量組件（IMU），不對主慣導誤差建模，子慣性測量組件由三個 1.0 (°)/h(1σ)精度級別的陀螺和三個 0.5 mg(1σ) 精度級別的加速度計組成。主慣導提供姿態和速度作為外部匹配觀測量，GPS輸出當地地理系(t)位置/速度信息作為系統導航真值，GPS的水平定位精度為10 m(1σ)，導航坐標系為當地地理坐標。

5.2.1 系統參數設置

傳遞對準濾波模型的狀態方程可由以下 4個矢量方程組成[17]：

濾波器的參數設置如下：

不完全測量的隨機丟包率為85%，即不完全測量概率pk為0.85，給定魯棒因子γ取為1.0，給定矩陣Lk=I。

5.2.2 試驗及結果分析

針對實驗平臺不完全測量問題，采用本文提出的魯棒方法處理不完全測量系統（藍色實線5，方案5），分別與文獻[7-8]未加入魯棒方法（綠色點畫線 2，方案2）/ 增加魯棒濾波方法（品紅色點畫線4，方案4）、文獻[9]處理外觀測丟失未加魯棒濾波方法（品紅色實線3方案3）和系統完全觀測系統（黑色虛線曲線1，方案1）進行了比較，跑車實驗結果如圖4所示。系統采用GPS位置提供基準，采用主子慣導的完全觀測系統作為姿態參考基準。

從圖4(a)～(c)可以看出，采用了貝葉斯框架處理的不完全測量（方案3和方案5）優于文獻Xia的一步預測方案（方案2和方案4），不完全測量系統增加魯棒補償的方案5對姿態的估計精度優于未加魯棒補償的方案 3對準精度；從圖 4(d)～(e)中經緯度度誤差可以看出：方案2誤差為262.9/145.5 m，方案3的誤差為152.7/61.19 m，方案4的位置誤差為48.98/18.77 m，方案5的位置誤差為15.58/5.17 m，方案1的位置誤差為7.35/3.40 m，方案3處理不完全量測系統性能優于方案2的不完全量測性能；本文的方案5基于魯棒不完全測量的傳遞對準位置估計優于方案3方法，比未加入魯棒的不完全測量系統位置誤差更小，逼近系統完全觀測的方案 1，性能接近完全觀測系統，較好解決了不完全測量系統的性能估計問題。

圖4 跑車實驗的位置和失準角誤差曲線圖Fig.4 Position errors and misalignment comparisons based on vehicle experimental platform

6 結 論

針對觀測信息不完全測量的隨機不確定非線性系統，研究了不完全測量隨機不確定系統的魯棒稀疏網格求積分的高斯逼近濾波算法；通過非線性系統隨機穩定性的理論，分析并給出了系統估計誤差和估計誤差方差有界的充分條件，同時給出了系統穩定的不完全測量丟包率的臨界值；不完全測量的魯棒稀疏網格求積分的高斯逼近算法是穩定的。最后通過數值仿真和跑車實驗平臺驗證了算法和穩定性的可行性。

附錄1

證明：由文獻[13]引理，首先定義李雅普諾夫函數

將(75)代入(74)得：

（References）：

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Design and stability analysis of robust SGQKF transfer alignment filter for incomplete measurement system with stochastic disturbance

CHEN Hong-mei, LIU Jian-juan, CHENG Xiang-hong, LIU Nan-bo
(1. Henan University of Technology, College of Electrical Engineering, Mechanical and Electrical Equipment and Measurement and Control Laboratory, Zhengzhou 450001, China; 2. Key Laboratory of Micro Inertial instrument and Advanced Navigation technology, Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China)

A transfer alignment method based on H∞-SGQKF is developed for the nonlinear systems with intermittent measurements and uncertain stochastic perturbations. A novel Gaussian robust filter with intermittent measurements (H∞-SGQKF) is proposed through presenting Gaussian approximate posterior probability density function (PDF) by embedding the Gaussian approximate filter into the robust mechanism of H∞ suboptimal filter. Using the direct method of Lyapunov, we prove that, under some conditions, the proposed filter is an exponential observer, i.e., the dynamics of the estimation error is exponentially stability, and the error covariance matrices are nominal and robust convergent by providing the existence of a super-threshold value for the intermittent measurement probability. At last, a transfer alignment method based on the proposed filter is presented, and the ground vehicle test of missile-board SINS and a numerical example show that the obtained estimator has good estimation performance.

robustness sparse grid Kalman; nonlinear system with intermittent measurements; robust convergence analysis; transfer alignment

U666.1

A

1005-6734(2017)02-0171-11

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.02.007

2017-01-20；

2017-03-26

國家自然科學基金（61374215，61304529）；東南大學微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室（B 類）開放基金資助項目（SEU-MIAN-201702）；河南省教育廳高等學校重點科研項目（17B590001）；河南工業大學博士基金（2016BS005）；河南省科技廳自然科學項目（172102210214）

陳紅梅（1977—），女，博士，從事導航算法研究。E-mail: chenhongmei_seu@163.com