基于最小搜索超橢球的GNSS模糊度固定及檢驗(yàn)方法

吳澤民，邊少鋒

（1. 海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，武漢 430033；2. 中國(guó)人民解放軍91919部隊(duì)，黃岡 438000）

基于最小搜索超橢球的GNSS模糊度固定及檢驗(yàn)方法

吳澤民1,2，邊少鋒1

（1. 海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，武漢 430033；2. 中國(guó)人民解放軍91919部隊(duì)，黃岡 438000）

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化GNSS模糊度解算流程，降低計(jì)算復(fù)雜度，重點(diǎn)提高LAMBDA算法的搜索效率，對(duì)模糊度解算作出以下改進(jìn)：1）模糊度檢驗(yàn)采用后驗(yàn)概率檢驗(yàn)方法，并對(duì)其目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化；2）把簡(jiǎn)化后的目標(biāo)函數(shù)嵌入模糊度搜索過(guò)程，省去了單獨(dú)的模糊度檢驗(yàn)步驟；3）推導(dǎo)了模糊度空間最小搜索超橢球，把搜索區(qū)域限制在該超橢球中，縮小了搜索范圍，從而大大降低了搜索復(fù)雜度。用三組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)比較了新方法和傳統(tǒng)的 LAMBDA方法，結(jié)果顯示新方法搜索復(fù)雜度降低普遍在30%左右，最高可接近60%。理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均證明了新方法的高效性。

GNSS；LAMBDA；后驗(yàn)概率檢驗(yàn)；搜索效率

利用GNSS載波相位觀測(cè)量進(jìn)行精密定位，可以獲得厘米甚至毫米級(jí)別的定位精度，廣泛應(yīng)用于大地測(cè)量與導(dǎo)航的各個(gè)領(lǐng)域。GNSS精密定位的核心技術(shù)是載波相位的模糊度解算，這也是近幾十年GNSS領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

從Teunissen教授提出LAMBDA算法以來(lái)，模糊度解算有了一套標(biāo)準(zhǔn)的流程[1]，但仍留下了若干難題需要解決，其中兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是模糊度空間搜索的復(fù)雜度和模糊度檢驗(yàn)。模糊度搜索復(fù)雜度隨模糊度維數(shù)增長(zhǎng)呈指數(shù)增加，如何盡量減少其復(fù)雜度一直是學(xué)界很關(guān)注的問(wèn)題[2-3]。模糊度檢驗(yàn)曾被視為一個(gè)遠(yuǎn)未解決的開(kāi)放問(wèn)題，缺乏統(tǒng)一的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[4-5]。Wu和Bian[6]提出了后驗(yàn)概率檢驗(yàn)，并證明所有檢驗(yàn)方法中，后驗(yàn)概率檢驗(yàn)在相同的誤警率下具有最小的漏警率，是理論上的最優(yōu)檢驗(yàn)方法[6]。本文旨在降低模糊度解算的復(fù)雜度，通過(guò)把后驗(yàn)概率檢驗(yàn)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，嵌入模糊度搜索中，簡(jiǎn)化模糊度解算的步驟；同時(shí)提出一種模糊度空間內(nèi)最小超橢球的搜索方法，降低模糊度搜索的復(fù)雜度，提高解算效率。

1 GNSS模糊度解算步驟

GNSS精密定位數(shù)學(xué)模型可以表述為如下混合整數(shù)模型：

式中：E(·)和D(·)分別表示取期望和方差；y是載波相位與偽碼觀測(cè)向量；a是未知的整周模糊度向量；b是未知的實(shí)參數(shù)向量，包括基線向量和未完全模型化的電離層、對(duì)流層和多徑誤差等；A和B是聯(lián)系未知參數(shù)和觀測(cè)量之間的設(shè)計(jì)矩陣；Qyy是觀測(cè)向量y的協(xié)方差矩陣。GNSS模糊度解算可以歸結(jié)為三個(gè)步驟[7]。第一步，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的加權(quán)最小二乘估計(jì)，得到未知參數(shù)a和b的實(shí)數(shù)解和，及其協(xié)方差矩陣：

第二步，把模糊度實(shí)數(shù)解?a映射為整數(shù)解：

模糊度解算的第三步是對(duì)所求模糊度整數(shù)解進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，驗(yàn)證結(jié)果的可靠性：

式中：H0和H1分別為零假設(shè)和備擇假設(shè)；a0是模糊度向量的真值。若通過(guò)檢驗(yàn)，則接受所求的模糊度整數(shù)解，反之則拒絕。Wu和 Bian[6]提出后驗(yàn)概率檢驗(yàn)方法，并證明了后驗(yàn)概率檢驗(yàn)在相同的誤警率下具有最小的漏警率，是理論上的最優(yōu)檢驗(yàn)方法。

2 后驗(yàn)概率檢驗(yàn)及其簡(jiǎn)化

模糊度后驗(yàn)概率檢驗(yàn)是利用模糊度整數(shù)解后驗(yàn)概率的大小來(lái)確定是否接受這個(gè)解的方法，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為

式中：P(γ| )η是γ在給定條件η下的條件概率；cp是概率值，表示使用者設(shè)定的顯著性水平。后驗(yàn)概率是Bayes統(tǒng)計(jì)理論中的概念，故GNSS后驗(yàn)概率函數(shù)的推導(dǎo)需要引入 GNSS觀測(cè)值模型的抽樣概率和Bayes統(tǒng)計(jì)方法，具體推導(dǎo)過(guò)程可見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。模糊度整數(shù)解的后驗(yàn)概率函數(shù)為[6]

模糊度后驗(yàn)概率函數(shù)看似無(wú)法計(jì)算，因其分母由無(wú)窮多項(xiàng)構(gòu)成。但需要注意的是，由于分母求和項(xiàng)是負(fù)指數(shù)形式的，意味著隨著模糊度整數(shù)向量與實(shí)數(shù)解?a距離的增大，其值會(huì)迅速地衰減，而求和項(xiàng)大部分的值集中在模糊度空間中?a附近的一個(gè)小區(qū)域中，所以可以求取這個(gè)范圍內(nèi)的模糊度整數(shù)向量而得到分母的近視值。特別地，本文為了把后驗(yàn)概率檢驗(yàn)嵌入模糊度搜索中，將其簡(jiǎn)化為只取分母中最大的兩項(xiàng)，此時(shí)對(duì)模糊度后驗(yàn)概率檢驗(yàn)可近似表述為

式中，a1表示模糊度空間中與 ?a距離次近的整數(shù)向量。滿足式(7)的模糊度整數(shù)解被接受，不滿足的則被舍棄。

3 基于最小超橢球的模糊度搜索算法

為降低搜索復(fù)雜度，在模糊度搜索之前還應(yīng)進(jìn)行降相關(guān)變換，而把搜索算法用在降相關(guān)后的模糊度空間[9]。為簡(jiǎn)化本文符號(hào)系統(tǒng)，把降相關(guān)后的模糊度協(xié)方差矩陣以及模糊度向量實(shí)數(shù)解仍記為和，則搜索空間可表示為

在模糊度解算中，搜索次近向量a1的唯一用途是模糊檢驗(yàn)。如果完成模糊度檢驗(yàn)可以不需要模糊度次近向量，則模糊度搜索范圍還可進(jìn)一步縮小，使搜索復(fù)雜度進(jìn)一步降低。考察若模糊度整數(shù)解成功通過(guò)后驗(yàn)概率檢驗(yàn)，a1需滿足的條件，對(duì)后驗(yàn)概率檢驗(yàn)的簡(jiǎn)化表達(dá)式(7)進(jìn)行適當(dāng)變形得：

由式(9)知，當(dāng)且僅當(dāng)次近整數(shù)向量a1滿足式(9)，才能通過(guò)后驗(yàn)概率檢驗(yàn)。式(9)存在未知向量，為去除，利用模糊度的Bootstrapping解對(duì)式(9)適當(dāng)放縮。Bootstrapping方法是一種流行的整數(shù)估計(jì)方法，它不需要搜索，但求得的解是模糊度整數(shù)向量次優(yōu)解[4]，即Bootstrapping解到模糊度實(shí)數(shù)解的距離不小于ILS解。記模糊度的Bootstrapping解為，有

依據(jù)式(9)和(10)，設(shè)定2χ大小為

式中，lij為L(zhǎng)的元素。則搜索空間用a?的元素表示為

式中，di是D的元素。搜索從模糊度向量的第一個(gè)元素a1開(kāi)始，采用分層搜索方法，每個(gè)元素為一層，層層向下搜索，則每個(gè)模糊度元素的搜索窗口為[4]

對(duì)每一層的搜索窗口，依據(jù)整數(shù)點(diǎn)與歐氏距離，從搜索窗口的中心向兩端做折線式“Z”字形搜索[10]。若所有層搜索結(jié)束后，在此范圍內(nèi)無(wú)第二個(gè)整數(shù)向量，則不等式(9)成立，直接接受。若有第二個(gè)整數(shù)向量a′，且，則不等式(9)不成立，拒絕整數(shù)解；若，則把和a′分別代入式(9)中代替a1和，若不等式成立，接受a′，反之拒絕整數(shù)解。

4 實(shí) 驗(yàn)

搜索格點(diǎn)數(shù)是搜索復(fù)雜度的權(quán)威的衡量指標(biāo)[4]，所以本實(shí)驗(yàn)通過(guò)比較LAMBDA算法和本文提出的新搜索算法的搜索格點(diǎn)數(shù)目來(lái)比較它們的搜索復(fù)雜度。實(shí)驗(yàn)基于香港 CORS網(wǎng)的測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)組成的三組基線，基線長(zhǎng)度分別為5 km、10 km和20 km。三組基線的觀測(cè)信息如表1所示。在這三條基線中，利用所觀測(cè)的雙頻載波相位與偽碼觀測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行逐個(gè)歷元獨(dú)立模糊度固定實(shí)驗(yàn)。測(cè)距碼和載波相位觀測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別設(shè)置為0.3 m和0.003 m。實(shí)驗(yàn)中，對(duì)每個(gè)歷元的模糊度實(shí)數(shù)解向量在模糊度空間中搜索，以求得整數(shù)解，記錄下每個(gè)歷元搜索格點(diǎn)數(shù)目。

表1 三組觀測(cè)數(shù)據(jù)信息表Tab. 1 Information of three sets of observation data

三組基線實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的PDOP值與模糊度維數(shù)變化情況分別如圖1(a)、圖2(a)和圖3(a)所示，可見(jiàn)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中衛(wèi)星的幾何結(jié)構(gòu)良好；三組實(shí)驗(yàn)中模糊度維數(shù)都在20維以下，分別為：5 km基線8～20維，10 km基線 8～18維，20 km 基線 8～18維。三組實(shí)驗(yàn)中LAMBDA方法和新方法的每個(gè)歷元搜索格點(diǎn)數(shù)分別記錄在圖1(b)、圖2(b)和圖3(b)中，三圖的縱坐標(biāo)均為指數(shù)。由此三圖可以看出，新方法的搜索格點(diǎn)數(shù)普遍小于LAMBDA方法，且新方法不同歷元搜索格點(diǎn)數(shù)多少的差異性比LAMBDA方法小，表明新方法計(jì)算復(fù)雜度的穩(wěn)定性優(yōu)于LAMBDA方法。對(duì)于某些歷元，新方法搜索格點(diǎn)數(shù)甚至比 LAMBDA方法小一個(gè)數(shù)量級(jí)。為了便于定量分析，在三組實(shí)驗(yàn)中分別把模糊度維數(shù)相同的歷元合并，求出此維數(shù)的平均搜索格點(diǎn)數(shù)，分別列于表2至表4。可以看出，在不同維數(shù)歷元中新搜索方法搜索格點(diǎn)數(shù)均大大小于LAMBDA方法，搜索復(fù)雜度降低普遍在30%左右，最高可接近60%。

圖1(a) 5 km基線PDOP值和模糊度維數(shù)Fig.1(a) PDOP and ambiguity dimension in 5 km baseline data

圖1(b) 5 km基線LAMBDA方法和新方法搜索格點(diǎn)數(shù)Fig.1(b) Search nods of LAMBDA and new method in 5 km baseline data

圖2(a) 10 km基線PDOP值和模糊度維數(shù)Fig.2(a) PDOP and ambiguity dimension in 10 km baseline data

圖2(b) 10 km基線LAMBDA方法和新方法搜索格點(diǎn)數(shù)Fig.2(b) Search nods of LAMBDA and new method in 10 km baseline data

圖3(a) 20 km基線PDOP值和模糊度維數(shù)Fig.3(a) PDOP and ambiguity dimension in 20 km baseline data

圖3(b) 20 km基線LAMBDA方法和新方法搜索格點(diǎn)數(shù)Fig.3(b) Search nods of LAMBDA and new method in 20 km baseline data

表2 5 km基線實(shí)驗(yàn)新方法和LMABDA方法在不同模糊度維數(shù)下搜索格點(diǎn)數(shù)比較Tab.2 Search nods in different ambiguity dimensions of 5 km baseline data by LAMBDA and new method

表3 10 km基線實(shí)驗(yàn)新方法和LMABDA方法在不同模糊度維數(shù)下搜索格點(diǎn)數(shù)比較Tab.3 Search nods in different ambiguity dimensions of 10 km baseline data by LAMBDA and new method

表4 20 km基線實(shí)驗(yàn)新方法和LMABDA方法在不同模糊度維數(shù)下搜索格點(diǎn)數(shù)比較Tab.4 Search nods in different ambiguity dimensions of 20 km baseline data by LAMBDA and new method

5 結(jié) 論

LAMBDA算法因其最高的模糊度解算成功率，得到了廣泛應(yīng)用。在其標(biāo)準(zhǔn)的GNSS模糊度解算流程中，需要經(jīng)過(guò)三個(gè)步驟：最小二乘估計(jì)、模糊度整數(shù)估計(jì)和模糊度檢驗(yàn)。算法的關(guān)鍵和難點(diǎn)在后兩個(gè)步驟。本文把模糊度后驗(yàn)概率檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)適當(dāng)簡(jiǎn)化，嵌入模糊度搜索過(guò)程，把模糊度解算簡(jiǎn)化為兩個(gè)步驟。同時(shí)，由設(shè)定的后驗(yàn)概率門(mén)限，推導(dǎo)了需要搜索的模糊度空間最小超橢球，進(jìn)而從搜索開(kāi)始就把搜索區(qū)域就設(shè)定為最小，并一直保持到搜索結(jié)束，大幅度降低了搜索的復(fù)雜度，從而提高了算法的執(zhí)行效率。值得注意的是，本文方法并未改變LAMBDA算法的目標(biāo)函數(shù)，因此在提高效率的同時(shí)，解算成功率保持不變。

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GNSS ambiguity resolution and validation based on minimum search hyper-ellipsoid

WU Ze-min1,2, BIAN Shao-feng1
(1. Department of Navigation Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;
2. Unit 91919 of PLA, Huanggang 438000, China)

In order to simplify the calculation process of GNSS ambiguity resolution, degrade its complexity, and improve the search efficiency of the LAMBDA algorithm, the following aspects of the ambiguity resolution is modified: (1) posterior probability validation method is adopted in ambiguity validation, and its objective function is simplified; (2) this simplified objective function is embedded into the ambiguity search procedure, thus the independent step for testing the ambiguity resolution is eliminated; (3) the minimum search hyper-ellipsoid in the ambiguity space is derived, and the searching area is restricted to within this hyper-ellipsoid, thus the search region is reduced, and corresponding complexity is significantly decreased. Three groups of real observed data are used to compare the traditional LAMBDA method with the new method, and the results show that the computational complexity of the new method is reduced by 30%, sometimes even by 60%, compared with that of the traditional one. Theoretical derivation and experimental results verify the high efficiency of the new method.

GNSS; LAMBDA; posterior probability validation; search efficiency

P228

A

1005-6734(2017)02-0216-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.02.014

2016-12-24；

2017-03-26

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41504029，41631072）

吳澤民（1988—），男，博士、工程師，從事衛(wèi)星導(dǎo)航研究。E-mail: wzm_hust@sina.com

聯(lián) 系 人：邊少鋒（1961—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: sfbian@sina.com