基于Lp稀疏正則的圖像去模糊方法研究

彭 鴻，閆敬文，林 哲

（1.汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，廣東 汕頭 515078；2.汕頭大學(xué)工學(xué)院，廣東 汕頭 515063；3.汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)系，廣東 汕頭 515078）

基于Lp稀疏正則的圖像去模糊方法研究

彭 鴻1，閆敬文2，林 哲3

（1.汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，廣東 汕頭 515078；2.汕頭大學(xué)工學(xué)院，廣東 汕頭 515063；3.汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)系，廣東 汕頭 515078）

在圖像去模糊問題中，圖像的模糊核估計(jì)是重中之重.通常圖像的梯度服從重尾分布這一先驗(yàn)被廣泛的運(yùn)用于圖像的模糊核估計(jì)中，然而受限于非凸優(yōu)化的數(shù)值求解方法，人們往往采用圖像梯度的L1范數(shù)或者L2范數(shù)來近似，從而構(gòu)造出計(jì)算較為簡單的凸優(yōu)化能量函數(shù)來估計(jì)模糊核.為此，本文提出一種基于Lp稀疏正則的非凸優(yōu)化的模糊核估計(jì)方法，該方法以服從超拉普拉斯分布的圖像梯度的Lp范數(shù)為稀疏先驗(yàn)項(xiàng)，有效的提高了先驗(yàn)知識(shí)的準(zhǔn)確性的同時(shí)增強(qiáng)圖像的強(qiáng)邊緣，抑制了細(xì)小邊緣對(duì)模糊核估計(jì)的影響.在對(duì)Lp范數(shù)的數(shù)值求解問題中，本文采用GISA（generalized iterated shrinkage algorithm）可以簡單且有效的求得任意p值下的最優(yōu)解.實(shí)驗(yàn)表明與傳統(tǒng)方法相比，本文方法有效地提升圖像的質(zhì)量，去模糊后的圖像更加清晰.

去模糊；Lp范數(shù)；核估計(jì)；反卷積；點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；超拉普拉斯分布

0 引言

相機(jī)在按下快門的瞬間，由于失焦、相機(jī)抖動(dòng)及拍照物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)等諸多因素，不可避免的造成圖像退化模糊，從而導(dǎo)致圖像信息的丟失[1].雖然對(duì)于細(xì)節(jié)豐富的圖像，如自然風(fēng)景圖、微距攝影圖等，圖像局部的信息丟失并不會(huì)太過影響人們的視覺感受.但對(duì)于圖像細(xì)節(jié)較少的圖像，圖像的退化模糊無疑是致命.尤其是圖像中重要信息的模糊，如車牌識(shí)別運(yùn)用中車牌的模糊，文檔影印中關(guān)鍵文字的模糊丟失等等[2].這些圖像模糊問題一直困擾著視頻圖像技術(shù)的發(fā)展及應(yīng)用，是計(jì)算機(jī)視覺研究領(lǐng)域的一大經(jīng)典問題及研究熱點(diǎn).

圖像的去模糊是參照圖像的退化過程，力圖從原理角度復(fù)原出原始圖像的本來面貌.通常根據(jù)模糊過程是否已知將圖像去模糊工作分為非盲去模糊與盲去模糊兩類.在已知模糊過程情況下，模糊圖像復(fù)原就轉(zhuǎn)化為模糊過程逆運(yùn)算.經(jīng)典的算法有維納濾波[3]、RL反卷積方法[4].維納濾波又稱為最小均方誤差濾波，是逆濾波算法的一種，直接通過退化系統(tǒng)的逆變換與模糊圖像進(jìn)行反卷積得到復(fù)原圖像.RL反卷積方法則是以圖像的像素值服從泊松分布為先驗(yàn)，運(yùn)用最大似然估計(jì)的方法復(fù)原圖像[5].該方法對(duì)噪聲較為敏感，恢復(fù)后的圖像具有明顯的振鈴效應(yīng).為此，后續(xù)的學(xué)者提出了效果更佳的反卷積算法，如總差分反卷積[6-7]、基于超拉普拉斯先驗(yàn)的反卷積[8]、Bregman迭代方法[9]等等.這些方法的提出也為人們解決圖像盲去模糊問題提供了幫助.圖像盲去模糊是指模糊過程未知的圖像復(fù)原問題，不是一個(gè)單純的反卷積問題.需要充分利用模糊圖像現(xiàn)有的信息，再結(jié)合圖像的稀疏約束條件及先驗(yàn)知識(shí)，估計(jì)出圖像的模糊退化過程.它涉及圖像模糊退化建模、參數(shù)估計(jì)最優(yōu)化求解等諸多挑戰(zhàn)[10-11].2006年Fergus等人[10]提出使用稀疏先驗(yàn)正則化的模糊核估計(jì)方法.2009年Cho等人[12]提出基于模糊核L2范數(shù)的快速算法，該方法將模糊核估計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)經(jīng)典的凸優(yōu)化問題，降低了模糊核估計(jì)的復(fù)雜度；但其約束項(xiàng)的稀疏性不夠，模糊核估計(jì)的準(zhǔn)確性欠佳.香港中文大學(xué)的賈佳亞團(tuán)隊(duì)先后提出了兩階段的模糊核估計(jì)方法[7]、L0稀疏正則化模糊核估計(jì)方法[13]等約束項(xiàng)更加稀疏的算法，該稀疏正則項(xiàng)可以有效的抑制細(xì)小邊緣對(duì)模糊核估計(jì)的影響，為圖像去模糊的研究做出了杰出的貢獻(xiàn)；然而該方法也存在著嚴(yán)重的不足，圖像梯度L0稀疏正則項(xiàng)在抑制細(xì)小邊緣的同時(shí)也削弱了圖像的強(qiáng)邊緣，造成模糊核估計(jì)困難，特別是對(duì)于圖像細(xì)節(jié)豐富的圖像其去模糊效果不佳.為此，很多學(xué)者尋求采用shark濾波器、雙邊濾波器等圖像預(yù)處理的方式來達(dá)到增強(qiáng)圖像強(qiáng)邊緣的目的，但實(shí)際效果不佳.Daniele等人[14]則試圖采用以圖像梯度的Lp范數(shù)為稀疏先驗(yàn)知識(shí)來達(dá)到抑制細(xì)小邊緣的同時(shí)增強(qiáng)大邊緣的目的，但基于Lp范數(shù)的稀疏正則的模糊核估計(jì)是一個(gè)病態(tài)的反問題，不易求解，作者則是通過取圖像梯度Lp范數(shù)的log函數(shù)為稀疏正則項(xiàng)的方法將一個(gè)非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為二次優(yōu)化問題.為此，本文提出一種基于Lp稀疏編碼的非凸優(yōu)化的模糊核估計(jì)方法，該方法直接采用圖像梯度的Lp范數(shù)為稀疏先驗(yàn)項(xiàng)，有效的提高了先驗(yàn)知識(shí)的準(zhǔn)確性的同時(shí)增強(qiáng)圖像的強(qiáng)邊緣，抑制了細(xì)小邊緣對(duì)模糊核估計(jì)的影響.在對(duì)Lp范數(shù)的數(shù)值求解問題中，本文采用GISA（generalized iterated shrinkage algorithm）可以簡單且有效的求得任意p值下的最優(yōu)解.

1 圖像去模糊

普通的相機(jī)采用仿人眼晶狀體的光學(xué)凸鏡系統(tǒng)和仿視網(wǎng)膜的CCD感光原件組成，在此結(jié)構(gòu)之下，光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散及相機(jī)畸變成為圖像模糊的主要成因.光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散是指點(diǎn)光源通過光學(xué)成像系統(tǒng)后擴(kuò)散形成光斑現(xiàn)象，通常用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)來衡量.點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是描述光學(xué)成像質(zhì)量的基本函數(shù).在忽略相機(jī)畸變及噪聲的情況下，光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)即為圖像模糊退化函數(shù).在成像物體的景深一致或相差不大時(shí)，可以認(rèn)為圖像具有一個(gè)統(tǒng)一的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù).再加上相機(jī)畸變及噪聲的影響，可以將這類圖像的模糊問題的模型簡化成下式：

其中B，I和N分別為模糊圖像、原始圖像和噪聲，?為卷積運(yùn)算符，k為模糊退化函數(shù).如果k滿足下式：

即k滿足核函數(shù)的定義則稱其為模糊核.由式（1）圖像模糊模型可知，圖像模糊核是造成圖像模糊的關(guān)鍵因素.因此，如何從模糊圖像中估計(jì)出模糊核成為圖像去模糊的主要工作.

1.1 Lp稀疏正則模糊核估計(jì)方法

稀疏正則方法在模糊核估計(jì)中被廣泛運(yùn)用，本文以圖像梯度平滑Lp范數(shù)為稀疏正則項(xiàng)，在構(gòu)建最優(yōu)化能量函數(shù)時(shí)，使用TV模型，定義模糊核估計(jì)的最優(yōu)化能量函數(shù)為：

上式為一個(gè)經(jīng)典的二次優(yōu)化問題，為此我們可以很容易的求解得到：

其中F，F(xiàn)－1分別表示快速傅里葉正逆變換，F(xiàn)（I）為F（I）的共軛，?x，?y分別表示為求圖像x，y方向的梯度.

式（8）則轉(zhuǎn)換為如下迭代的子問題：

式（9）及式（10）是一個(gè)經(jīng)典的二次優(yōu)化問題，易得：

式（11）采用GISA的方法來求解，GISA將Donoho[16]提出軟閾值的方法擴(kuò)展到求解p范數(shù)最小化的問題上，其結(jié)果為：

式（12）的求解過程同上.

1.2 圖像反卷積

在模糊核估計(jì)結(jié)束后，模糊圖像的盲復(fù)原問題則轉(zhuǎn)化為圖像的反卷積問題.圖像反卷積的方法眾多，比較常見的方法有AKTV（Adaptive Kernel Total Variation，AKTV）方法[17]、快速TV-l1反卷積[7]等以圖像總差分為正則項(xiàng)的反卷積方法.該類方法以圖像的總差分為稀疏正則項(xiàng)構(gòu)建圖像反卷積的最優(yōu)化能量函數(shù)，在最優(yōu)化能量函數(shù)的求解問題中，經(jīng)典的軟閾值求解方法和Bregman迭代方法被廣泛運(yùn)用.雖然以圖像總差分為稀疏約束條件的反卷積方法，很好的約束了圖像梯度的延展，使復(fù)原后的圖像邊緣變的更加銳利.但受約束項(xiàng)權(quán)重影響大，容易出現(xiàn)亮邊等邊緣過分銳利的情況，影響圖像的解析力.為此，本文建議采用超拉普拉斯先驗(yàn)的圖像反卷積方法[8].該方法根據(jù)自然圖像梯度服從重尾分布這一特性，以超拉普拉斯分布來近似重尾分布，采用最大后驗(yàn)估計(jì)的方法來復(fù)原圖像.實(shí)驗(yàn)表明該方法可以有效的抑制邊緣過度銳利的問題，復(fù)原效果較好.本文選用α＝2/3的超拉普拉斯分布為先驗(yàn)，即圖像梯度的L2/3范數(shù)為正則項(xiàng)的方法求解反卷積.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證本文所提算法的可行性，對(duì)該算法進(jìn)行系統(tǒng)仿真與對(duì)比分析兩組實(shí)驗(yàn).在系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)中，本實(shí)驗(yàn)選取兩張經(jīng)典的模糊圖像，對(duì)其復(fù)原效果進(jìn)行直觀的評(píng)價(jià).為了保證實(shí)驗(yàn)的可靠性，本文的所有實(shí)驗(yàn)均在統(tǒng)一的軟硬件環(huán)境中完成.軟硬件環(huán)境描述如下，硬件環(huán)境：CPU：i5-5200U@2.7GHz；內(nèi)存：4GB；軟件環(huán)境：win10 64位系統(tǒng)+MATLAB R2010b.設(shè)置第一組實(shí)驗(yàn)的參數(shù)為：模糊核大小17×17，γ＝40，＝0.002，βx＝βy＝3000.其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示，左圖為模糊圖像，右圖為復(fù)原后的圖像，可直觀的看出本文算法可以有效的復(fù)原模糊圖像，提高模糊圖像的質(zhì)量.特別是第一幅圖像的矩形框框定的局部圖，更加清晰的表現(xiàn)出模糊圖像復(fù)原后的效果.相對(duì)于原本的模糊圖像字跡不清晰的問題，復(fù)原后的圖像可以清晰的識(shí)別出圖像中的模糊字跡.圖像中的字跡，如車牌號(hào)碼、道路識(shí)別牌、地標(biāo)碼等等是圖像中重要信息的組成部分，在數(shù)字圖像運(yùn)用中具有非常重要的地位.本文所提的方法可以有效的將圖像中的重要細(xì)節(jié)進(jìn)行復(fù)原，提高圖像的使用效率.

圖1 仿真測試效果圖（左圖為模糊圖，右圖為復(fù)原圖）

第二組對(duì)比實(shí)驗(yàn)為客觀的評(píng)價(jià)本文算法去模糊的效果，本組實(shí)驗(yàn)選用已知原圖的模糊圖像進(jìn)行處理，并通過計(jì)算復(fù)原后的圖像的PSNR及SSIM[18]值來客觀的評(píng)價(jià)本文算法.其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2，圖3及表1所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Cho等人[12]的方法存在明顯的振鈴效應(yīng)，圖像邊緣信息損失嚴(yán)重，復(fù)原效果差.賈佳亞等人[13]的方法出現(xiàn)局部過分銳利的情況，造成圖像的部分細(xì)節(jié)變形，無法識(shí)別.雖然復(fù)原后的圖像整體銳利度提升較高，但局部過銳的現(xiàn)象嚴(yán)重影響復(fù)原后圖像的PSNR及SSIM的值.Daniele等人[14]的方法整體表現(xiàn)良好，復(fù)原后的圖像較為銳利，比較討好眼球，但其PSNR及SSIM的客觀評(píng)價(jià)值均略低于本文方法.本文算法復(fù)原后的圖像更加自然，其PSNR及SSIM的值均高于其他方法.并且可以有效的抑制圖像局部過度銳化及振鈴效應(yīng)，得到更加清晰的復(fù)原圖片.

圖2 對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

圖3 對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

表1 對(duì)比實(shí)驗(yàn)PSNR及SSIM值

3 總結(jié)

本文提出的基于圖像梯度Lp范數(shù)稀疏正則化的圖像去模糊方法，可以有效的去除圖像的模糊問題，恢復(fù)出原始圖像的本來面貌.該方法在圖像模糊核估計(jì)中選用服從超拉普拉斯先驗(yàn)的Lp范數(shù)來近似圖像梯度的重尾分布，稀疏先驗(yàn)知識(shí)更加真實(shí)，提高了模糊核估計(jì)的準(zhǔn)確性的同時(shí)有效的抑制了細(xì)小邊緣對(duì)模糊核估計(jì)的影響.在關(guān)于Lp范數(shù)的數(shù)值求解問題中，本文擴(kuò)展了經(jīng)典的軟閾值方法，采用GISA可以簡單且有效的求解任意p值下的最優(yōu)化問題，大大提高了算法的魯棒性.從圖1的仿真測試圖中，可以看出本文所提出的方法可以有效的復(fù)原模糊圖像，且復(fù)原后的圖像恢復(fù)出原本的清晰，特別是針對(duì)重要的文字信息，復(fù)原效果更佳；很好的復(fù)原了圖像的重要信息.在算法對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)中，Cho等人[12]的方法存在明顯的振鈴效應(yīng)；賈佳亞等人[13]的方法存在局部過分銳利的現(xiàn)象，Daniele等人[14]的方法雖然圖像銳利度較高，比較討好眼球，但圖像細(xì)節(jié)展示不自然，PSNR及SSIM客觀指標(biāo)低.而本文所提出的方法復(fù)原后的圖像自然、清晰，很好的恢復(fù)了原始圖像的本來面貌.同時(shí)本文也存在著一些不足，所采用的卷積模糊模型僅適用于單一模糊核的情況，不適于如微距照片、局部運(yùn)動(dòng)模糊等無法用單一模糊核來表示的圖像模糊問題.為此，需要對(duì)模糊核不一致的情況做進(jìn)一步的改進(jìn).

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Research on Blind Image Deblurring Based on LpRegularization Method

PENG Hong1，YAN Jingwen2，LIN Zhe3
（1.Department of Mechanical and Electrical Engineering,Shantou Polytechnic,Shantou 515073,Guangdong,China; 2.College of Engineering,Shantou University,Shantou 515063,Guangdong,China; 3.Department of Computer,Shantou Polytechnic,Shantou 515073,Guangdong,China）

Kernel estimation is the core problem of blind image deblurring.Usually,image gradient obeying heavy-tailed distribution as a priori knowledge is widely used in kernel estimation.Unfortunately,it is difficult solved as a non-convex optimization.Typically,the heavy-tailed distribution can be well modeled by a hyper-Laplacian distribution.In this paper, a kernel estimation method for Lpsparse regularization is proposed.Under the MAP framework, the Lpregularization ofimage gradient obeys the hyper-Laplacian distribution,which can improve the accuracy of kernel estimation.At the final non-convex optimization,the generalized iterated shrinkage algorithm is extended for Lpminimization with any p value.Compared with the traditional method,the newmethod can effectively improve the image quality,and the deblurred image is clearer.

image deblurring;Lpnorm;kernel estimation;deconvolution;point spread function （PSF）;hyper-Laplacian distribution

TP391.1

A

2016-07-09

彭 鴻（1989—），男（漢族），江西省贛州人，碩士.研究方向：圖像去模糊及稀疏重建方法. E-mail：stp_ph@126.com.閆敬文（1964—），男（漢族），吉林省磐石人，博士，教授.研究方向：壓縮感知及小波應(yīng)用.

汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研課題資助項(xiàng)目（SZK2016Y13，SZK2015Y20）；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015A030313654）

1001-4217（2017）02-0058-08