帶加性噪聲的分數(shù)階隨機Ginzburg-Landau方程的漸近行為

王云肖,舒 級,楊 袁,李 倩,汪春江

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川 成都 610066)

帶加性噪聲的分數(shù)階隨機Ginzburg-Landau方程的漸近行為

王云肖,舒 級*,楊 袁,李 倩,汪春江

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川 成都 610066)

考慮帶加性噪聲的隨機分數(shù)階Ginzburg-Landau方程在L2(D)中的漸近性質(zhì).首先將隨機偏微分方程轉(zhuǎn)化為僅含隨機參數(shù)的隨機方程,然后對該方程的解進行先驗估計,從而得到隨機動力系統(tǒng)的緊性,最后證明L2(D)中隨機吸引子的存在性.

隨機分數(shù)階Ginzburg-Landau方程; 隨機動力系統(tǒng); 隨機吸引子; 加性噪聲

復(fù)Ginzburg-Landau方程是關(guān)于非平衡流體動力系統(tǒng)和化學(xué)系統(tǒng)的不穩(wěn)定、超導(dǎo)和超流體、非線性光纖和Bose-Einstein凝聚及其空間模型描述的重要模型.它是一個非常有趣的模型.非線性Schr?dinger方程是一Hamilton系統(tǒng),在有限時間擁有局部奇異解,復(fù)Ginzburg-Landau方程是非線性Schr?dinger方程的耗散情形.目前有許多關(guān)于Ginzburg-Landau方程的研究[1-9].Guo B.L.等[9]研究了廣義2D Ginzburg-Landau方程

并得到了在

條件下整體吸引子的存在性.對于隨機情形,文獻[10]研究了隨機廣義2D Ginzburg-Landau方程

本文考慮如下帶加性噪聲的隨機廣義2D分數(shù)階Ginzburg-Landau方程

(1)

具有周期邊界條件和初始條件:

(2)

其中,u(x,t,ω)是未知復(fù)值函數(shù),x∈D=[0,1]×[0,1],t>0,ω∈Ω,(-△)α是分數(shù)階拉普拉斯算子,Φ是線性算子,ρ>0,1<α<2,γ,μ,β是實參數(shù),λ1和λ2是復(fù)參數(shù).W是關(guān)于時間的雙邊柱形Wiener過程,它是定義在適應(yīng)于{Ft}t≥0的完備概率空間(Ω,F,P)中的取值于L2(0,1)上的函數(shù),可寫為

其中,wk(k∈N)是相互獨立的Brown序列,(ek)k∈N是L2(D)上的正交基.

令Ω={ω∈C(R,U)|ω(0)=0},其中U是一個Hilbert空間并且滿足L2(D)U是Hilbert-Schmidt嵌入的,則W(t)是取值于U的隨機過程,且其對應(yīng)的隨機變量屬于C(R,U).Φ是L2(D)上的有界線性算子.

本文的目的是證明問題(1)和(2)在L2(D)上存在隨機吸引子.為此,需要證明u(t)關(guān)于時間在不同空間的一致有界性.本文應(yīng)用類似于文獻[11-14]中的方法來解決這個問題.

1 預(yù)備知識

首先給出隨機動力系統(tǒng)的一些相關(guān)知識[15-16].若(Ω,F,P)是一個概率空間,{θ:Ω→Ω},t∈R+是一簇保測度變換,并且映射(t,ω)|→θtω是可測的,θ0=IX,θt+s=θtθs,其中,s,t∈R,則(θt)t∈T是一個流,((Ω,F,P),(θt)t∈T)是一個可測動力系.

定義 1.1 設(shè)(X,d)是可分的距離空間,F是Borelσ-代數(shù),θt是(Ω,F,P)對應(yīng)的保測度變換,若可測映射

在X上滿足:

1)S(0,ω)=IX,

2) 對任意的s,t∈R,ω∈Ω,有S(t+s,ω)=S(t,θsω)°S(s,ω),其中°代表復(fù)合算子,

3)S(t,ω):X→X是連續(xù)的;

那么稱S是一個連續(xù)隨機動力系統(tǒng).

定義 1.2 給定一個隨機集K,集合

稱為K的Ω-極限集.

定義 1.3 若S是隨機動力系統(tǒng),存在隨機緊集ω|→A(ω)滿足以下條件:

1)A(ω)是嚴格不變的,即對于所有t>0,S(t,ω)A(ω)=A(θtω),

2)A(ω)吸引所有確定有界集B?X;

那么稱A(ω)為S的隨機吸引子.

定理 1.1 假設(shè)S是Polish空間上的隨機動力系統(tǒng),若存在緊集ω|→K(ω)吸收每一個有界非隨機集B∈X,那么集合

是S的隨機吸引子.

接下來給出交換子估計的相關(guān)引理[17].

引理 1.1 設(shè)u∈Lq并且對于u的m階導(dǎo)數(shù)為Dmu∈Lr,1≤q,r≤∞.對于Dju,0≤j

(3)

并有

(4)

引理 1.2 假設(shè)S>0并且p,p2,p3∈(1,∞).如果f,g∈S,并且

(5)

則有不等式

(6)

下面給出分數(shù)階拉普拉斯算子和分數(shù)階Sobolev空間及其范數(shù)的定義[18].

另外,分數(shù)階Sobolev空間Hα的范數(shù)規(guī)定如下

本文常用的幾個函數(shù)空間定義如下

其范數(shù)分別記為‖·‖和‖·‖V.

2 隨機分數(shù)階Ginzburg-Landau方程的解及其對應(yīng)的隨機動力系統(tǒng)

下面證明問題(1)和(2)隨機動力系統(tǒng)的存在性.為此,方程(1)可寫為

(7)

Φ:L2(D)→D是線性算子.引入如下帶初值的線性方程

初始條件為z(0)=0.該方程的解z是Ornstein-Uhlenbeck過程,z∈C([0,∞],V)[13],z是穩(wěn)態(tài)遍歷過程,它的跡是P-a.s.連續(xù)的,并且對于任意t和s有

設(shè)B是H中的有界集,對于t0<0和u(t0)∈B,令

其中,u是方程(1)的解.由方程(7)和v的形式知,隨機過程v滿足隨機方程

(8)

(9)

對于P-a.s.ω∈Ω,v0∈L2(D),存在唯一解v∈C1((0,T):H)∩C([0,T):H),?T<∞,且對于t≥t0,映照ξ=v(t0)|→v(t)從H到V是連續(xù)的.

對任意v(t0)=v0,v(t,ω;t0,v0)表示方程(8)和(9)的解有

顯然,由

定義了隨機動力系統(tǒng){(S(t,ω;t0))}t≥t0,ω∈Ω,稱為由帶加性噪聲的隨機分數(shù)階Ginzburg-Landau方程產(chǎn)生的流.對于t≥t0,映照ω→S(t,ω;t0)u0是可測的.

3 隨機吸引子的存在性

現(xiàn)證明{(S(t,ω;t0))}t≥t0,ω∈Ω是緊的,并且t=0時在H、V中存在緊吸收集.令v是方程(8)和(9)的解,對于ω∈Ω,需要得到解v在H、V上的先驗估計.在本文中,εi(i=1,2,…,13),i(i=1,2,…,8),ki(i=1,2,…,8),κi(i=1,2,…,14),C和c表示依賴方程(1)系數(shù)的正常數(shù).

證明 將方程(8)與v作內(nèi)積,并取實部得

(10)

首先有

(11)

(10)式右邊第1項可估計為

(12)

(10)式右邊第2和第3項分別估計為

(13)

和

(14)

通過(10)～(14)式得到

(15)

其中

且

(16)

通過(15)和(16)式可得到

且

那么可得

根據(jù)Gronwall不等式有

在t→-∞時,ω∈ω,g3(t)≥0,P-a.s,至多以多項式增長,即r1是P-a.s.有限的[11].

引理 3.2 不等式

成立,且g5(t)證明過程中給出.

證明 將方程(8)與|v|6v作內(nèi)積,并取實部得

(17)

注意到

(18)

(17)式左邊為

(19)

(17)式右邊第2項可估計為

對任意ε有0<ε<α并且p<∞且1/p+1/q=1,令ε=1/p得到

(20)

方程(17)等號右邊第3項可以估計為

(21)

方程(17)等號右邊第4項估計為

(22)

注意到

其中,在1

(22)式右邊第1項可估計為

(22)式右邊第2項可估計為

(22)式右邊第3項可被估計為:

和

由上式,(22)式可估計為

(23)

其中

且

因為

求得

同上可得

(24)

由(18)～(25)式,(17)式可變?yōu)?/p>

其中

得證.

證明 將方程(8)與(-△)αv作內(nèi)積,并取實部得

(26)

注意到

(27)

(26)式右邊第1項展開可得

(28)

且

(29)

因為

(30)

由(28)～(30)式可估計為

(31)

其中

(26)式右邊第2項和第3項,可分別估計為

和

且

(32)

其中

通過(26)～(32)式,(26)式可變?yōu)?/p>

(33)

其中

根據(jù)(33)式和引理3.2可得

其中

使得

上式的積分是一個二次型,若其矩陣M為非負定的,則有

(34)

則二次型也是非負定的,于是積分為非正.

注意到

(35)

即

(37)

且

(38)

根據(jù)(34)～(38)式得

(39)

則

有

(40)

g8(t)≥0(t→∞)至多以多項式增長,即r2是P-a.s.有限的.

定理 3.1 帶附加噪聲的隨即廣義2D分數(shù)階Ginzburg-Landau方程的隨機流{(S(t,s;ω))}t≥s,ω∈Ω,在H中存在緊的吸引子.

證明 由引理1.2和3.3可得該隨機動力系統(tǒng)在H、V中存在吸收集,又嵌入VH在區(qū)域D上是緊的,因此由定理1.1便得定理3.1.

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2010 MSC：35Q56; 60H15

(編輯 李德華)

Asymptotic Behavior of the 2D Generalized Fractional Stochastic Ginzburg-Landau Equation with Additive Noise

WANG Yunxiao,SHU JI,YANG Yuan,LI Qian,WANG Chunjiang

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

In this paper,the asymptotic dynamic problem is considered for the fractional stochastic Ginzburg-Landau equation with additive noise defined inL2(D).Firstly,the partial differential equation is trasformed into the random equation that only includes the random parameters.The compactness of the random dynamical system then is established by a priori estimation method.And finally,the existence of a random attractor for the random dynamical system is proved inL2(D).

stochastic fractional Ginzburg-Landau equation; random dynamical system; random attractor; additive noise

2016-04-13

四川省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)計劃項目(2016JY0204)和四川省教育廳自然科學(xué)重點科研基金(14ZA0031)

O177.92

A

1001-8395(2017)02-0149-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.002

*通信作者簡介：舒 級(1977—),男,副教授,主要從事隨機動力系統(tǒng)和偏微分方程的研究,E-mail:shuji2008@hotmail.com