一類二階Hamilton系統(tǒng)次調(diào)和解的存在性

萬樹園,王智勇

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇 南京 210044)

一類二階Hamilton系統(tǒng)次調(diào)和解的存在性

萬樹園,王智勇*

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇 南京 210044)

研究了一類次二次的二階Hamilton系統(tǒng)次調(diào)和解的存在性.利用鞍點(diǎn)定理,得到了一個(gè)新的存在性結(jié)果,推廣和改進(jìn)了以往文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論.

次調(diào)和解; 次二次; 臨界點(diǎn); 鞍點(diǎn)定理

1 主要結(jié)果

考慮二階系統(tǒng)

(1)

其中T>0,F:[0,T]×RN→R關(guān)于第一變量是T-周期的且滿足以下假設(shè):

(A) F(t,x)對(duì)每個(gè)x∈RN關(guān)于t是可測的,對(duì)a.e.t∈[0,T]關(guān)于x是連續(xù)可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1(0,T;R+)使得對(duì)所有x∈RN與a.e.t∈[0,T]有:

通常把kT-周期解稱為次調(diào)和解.許多學(xué)者利用變分方法研究了問題(1)次調(diào)和解的存在性,并得到了一系列存在性和多解性結(jié)論,如文獻(xiàn)[1-6].特別地,P.H.Rabinowitz[1]考慮了F(t,x)是次二次的情況并得到如下定理:

定理 A[1]若F∈C1(R×RN,R)且滿足以下條件:

(F1) 存在常數(shù)1<μ<2,L1>0,使得對(duì)所有|x|≥L1,t∈[0,T]有

(F2) 存在常數(shù)a1,a2>0,1

定義 1.1 假設(shè)φ是這樣的連續(xù)函數(shù)集合,對(duì)?θ∈φ,存在常數(shù)M>0使得:

(i) 對(duì)所有t∈R+,θ(t)>0;

最近,文獻(xiàn)[7]通過引入控制函數(shù)θ∈φ,得到了一個(gè)新的次二次條件,并在此條件下研究了問題(1)周期解的存在性.受文獻(xiàn)[1,3,7-9]的啟發(fā),本文利用文獻(xiàn)[7]中新的次二次條件,考慮問題(1)的次調(diào)和解的存在性,給出本文的主要結(jié)論:

定理 1.2 若F滿足假設(shè)(A)及以下條件:

(H2) 當(dāng)|x|→+∞時(shí),F(t,x)≥0對(duì)a.e.t∈[0,T]一致成立;

(H3) 存在子區(qū)間E?[0,T]滿足meas(E)>0,使得對(duì)a.e.t∈E有

則問題(1)對(duì)每一個(gè)正整數(shù)k有kT-周期解uk,且滿足當(dāng)k→+∞時(shí),‖uk‖∞→+∞.

注 1.3 顯然定理1.2中的一系列假設(shè)都弱于定理A,因此結(jié)果顯著推廣了定理A.存在函數(shù)滿足定理1.2但不滿足文獻(xiàn)[1,3-5,10-14]中的相關(guān)結(jié)果.例如:令

其中

設(shè)θ(|x|)=ln(2+|x|2)時(shí),計(jì)算可知F(t,x)滿足條件(H1)～(H3)但不滿足(F1)與(F2).

注 1.4 因?yàn)镕(t,x)關(guān)于t是T-周期的,不失一般性,可假設(shè)條件(A)中的b(t)是T-周期的.

2 預(yù)備知識(shí)

則有

(2)

考慮能量泛函

由文獻(xiàn)[1]易知,φk的臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)于問題(1)的kT-周期解.

為了證明定理1.2,需要如下結(jié)論.

引理 2.1[10]若F滿足假設(shè)(A),E是[0,T]的一個(gè)可測子集,假設(shè)對(duì)a.e.t∈E有

則對(duì)?δ>0,存在E的子集Eδ滿足meas(EEδ)<δ使得

對(duì)所有的t∈Eδ一致成立.

引理 2.2[7]若F(t,x)滿足假設(shè)(A)和(H1),則對(duì)所有x∈RN與a.e.t∈[0,T]有

其中

注 2.3 由θ的性質(zhì)(ii),可知當(dāng)|x|→+∞時(shí),有G(|x|)→0;又依據(jù)1/θ的范圍,有

因此t2G(t)關(guān)于t是遞增的.

3 定理證明

定義 3.1[15]設(shè)X是Banach空間,φk∈C1(X,RN),如果存在c∈R,{un}?X滿足

稱{un}為(C)c序列.如果對(duì)任意的c∈R,(C)c序列都有收斂的子列,我們稱泛函φk滿足Cerami條件(簡稱(C)條件).

引理 3.2 若假設(shè)條件(A)、(H1)、(H2)與(H3)成立,則能量泛函φk滿足(C)條件.

(3)

由假設(shè)(A)和(H1),對(duì)?x∈RN與a.e.t∈[0,T]有

(4)

其中h2(t)=(2+M)h1(t)≥0.結(jié)合(3)和(4)式,對(duì)?n∈N有

因此,存在常數(shù)M1>0使得

(5)

由(2)、(3)式和引理2.2、注2.3,對(duì)?n∈N有

(6)

因此,當(dāng)n→+∞時(shí),有|un(t)|→∞對(duì)t∈[0,T]一致成立.由(H2)和(H3),有當(dāng)n→∞時(shí),

(I2) ?u∈RN,當(dāng)|x|→+∞時(shí),有φk(x+ek)→-∞.

結(jié)合注2.3可得(I1)成立.

(7)

由ek(t)=k(cosωt/k)x0,則

由(H2)可知存在常數(shù)M1>0使得當(dāng)|x|≥M1時(shí)有F(t,x)≥0.所以對(duì)?x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

(8)

因此利用(H2)和(7)、(8)式及注1.4,并注意到1/θ的范圍,可知對(duì)所有|x|≥G+k,有

(9)

由β的任意性有當(dāng)|x|→+∞時(shí),φk(x+ek)→-∞.因此(I2)成立.

綜上可知,存在臨界點(diǎn)uk∈E使得

對(duì)x∈RN,令

由文獻(xiàn)[4]可知,對(duì)所有充分大的k有

(10)

(11)

對(duì)?x∈RN和充分大的k,用與(9)式類似的方法,再結(jié)合(11)式并注意到θ的范圍有

(12)

所以有

由β的任意性有

因此

(13)

最后,證明當(dāng)k→+∞時(shí),‖uk‖∞→+∞.假設(shè)結(jié)論不成立,則存在一個(gè)子列使得對(duì)所有k∈N有

其中C為一個(gè)正實(shí)數(shù).因此,由條件(A)及注1.4有

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2010 MSC：34C25

(編輯 陶志寧)

Subharmonic Solutions for a Class of Second-order Hamiltonian Systems

WAN Shuyuan,WANG Zhiyong

(SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceTechnology,Nanjing210044,Jiangsu)

In this paper,we investigate the existence of subharmonic solutions for subquadratic second-order Hamiltonian systems.By using saddle point theorem,a new existence theorem is obtained.Our theorem extends and improves known results.

subharmonic solution; subquadratic; critical point; saddle point theorem

2016-02-06

國家自然科學(xué)基金(11571176)

O175.12

A

1001-8395(2017)02-0172-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.005

*通信作者簡介：王智勇(1979—),男,副教授,主要從事非線性泛函分析的研究,E-mail:mathswzhy@126.com