一類非線性Volterra-Fredholm型四重無窮積分不等式

林遠華,王五生

(河池學院 數學與統計學院,廣西 宜州 546300)

一類非線性Volterra-Fredholm型四重無窮積分不等式

林遠華,王五生*

(河池學院 數學與統計學院,廣西 宜州 546300)

研究了一類積分上限為無窮大,下限變化的非線性Volterra-Fredholm型四重積分不等式.首先假定不等式中的已知函數應該滿足的條件,然后利用分析技巧:比如變量替換、不等式放大、積分微分、反函數等,給出Volterra-Fredholm不等式中未知函數的估計.最后,為了說明所得結果的有效性,舉例說明所得結果可以用來估計一類四重積分方程解的模.

Volterra-Fredholm型積分不等式; 無窮積分; 變下限積分; 未知函數的估計

因為T.H.Gronwall[1]型積分不等式對研究微分方程和積分方程解的定性性質有重要作用,有些數學工作者致力于Gronwall型積分不等式的各種推廣形式的研究,參見文獻[2-12].1992年,D.Bainov等為了研究微分方程邊值問題,在文獻[2]中研究了Volterra-Fredholm型積分不等式

(1)

2004年,B.G.Pachpatte[4]研究了較復雜的Volterra-Fredholm型線性積分不等式

(2)

2008年,Ma Q.等[6]進一步研究了Volterra-Fredholm型非線性時滯積分不等式

2012年,Zheng B.等[8]又研究了Volterra-Fredholm型離散不等式

(4)

受文獻[5-8]的啟發,研究了Volterra-Fredholm型變下限四重積分不等式

(5)

此不等式與文獻[6]中的不等式(3)比較,被積函數含有2個不同的非線性函數φ和φ.與文獻[8]中的不等式(4)比較,不等式(5)把差分不等式(4)推廣成積分不等式.

1 主要結論

本文中R表示全體實數的集合,R+:=[0,∞),X,Y∈R+,Ω=[X,∞)×[Y,∞).為了敘述方便,利用不等式(5)中的已知函數定義2個函數:

(6)

(7)

其中

(8)

(9)

定理 1.1 假設函數u∈C(Ω,R+),函數a∈C(Ω,R+)關于每個變量都是不增的,且有a(x,y)>0,4個函數fi∈C(Ω2,R+)(i=1,2,3,4)關于后2個變量都是不增的,且f1、f2至少有一個函數不恒等于零,f3、f4也至少有一個函數不恒等于零,f3、f4還滿足μ2≤∞.假設φ,φ∈C(R+,R+)都是嚴格增函數,且有對任意r>0，φ(r)>0,φ(r)>0,Ψ是嚴格增函數.假設α∈C1([X,∞),[X,∞))(β∈C1([Y,∞),[Y,∞)))是不減函數,且滿足α(x)≥x,α(X)=X,α(∞)=∞(β(y)≥y,β(Y)=Y,β(∞)=∞).如果函數u∈C(Ω,R+)滿足不等式(5),則

證明 由于函數a和f3的單調性,由不等式(5)可以推出

(11)

令函數z1(x,y)表示不等式(11)的右端,即

(12)

顯然z1(x,y)關于每個變量都是不增的,且有:

(13)

(14)

和

(15)

其中

(16)

令函數z2(x,y)表示不等式(15)的右端,則有

(17)

(18)

求z2(x,y)關于x的導數,利用(17)式,z2(x,y)的不增性和φ、φ、α、β的性質,得到

不等式(19)兩邊同除于φ(φ-1(z2(x,y)))得到

(20)

從x到∞積分上式兩邊得

(21)

即

(22)

綜合(16)～(18)和(22)式推出

(23)

上式整理得

(24)

即

(25)

因為Ψ是嚴格增的,由上式得

(26)

綜合(13)、(17)、(22)和(26)式,得到所要的估計式(33).

注 令φ(z)=z2,φ(z)=z2,z>μ1,則Φ(z)=lnz-lnc,Ψ(z)=ln ((z-μ1)/μ2)-lnz=ln (1/μ2-μ1/(μ2z)).顯然(1/μ2-μ1/(μ2z))>0是嚴格增函數,進而Ψ(z)是嚴格增函數,故Ψ(z)存在逆函數.由此可以看出,當φ(z)和φ(z)滿足一定的條件時,Ψ(z)是嚴格增函數,故Ψ(z)存在逆函數.

2 應用

為了說明所得結果的有效性,下面將利用定理1.1中不等式的結果研究一類非線性Volterra-Fredholm型積分方程解的估計.

(27)

其中Fi∈C(Ω2×R,R)(i=1,2,3,4)滿足條件:

(28)

(29)

(30)

(31)

其中,p>1,fi∈C(Ω2,R+)(i=1,2,3,4)關于后2個變量都是不增的,|b(x,y)|關于每個變量都是不增的,f1、f2至少有一個函數不恒等于零,f3、f4至少有一個函數不恒等于零.如果函數u(x,y)是積分方程(27)的解.利用條件(28)～(31),由積分方程(27)推出不等式

(32)

令φ(u)=up,φ(u)=up/2.可以看出不等式(32)具有不等式(5)的形式,不等式(32)中的函數滿足定理2.1中對應函數的條件.利用定理2.1就可以得到積分方程(27)解的估計.

(33)

其中

[1] GRONWALL T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations[J].Ann Math,1919,20:292-296.

[2] BAINOV D,SIMEONOV P.Integral Inequalities and Applications[M].Dordrecht:Kluwer Acad Publishers,1992.

[3] PACHPATTE B G.A note on certain integral inequality[J].Tamkang J Math,2002,33:353-358.

[4] PACHPATTE B G.Explicit bound on a retarded integral inequality[J].Math Inequal Appl,2004,7:7-11.

[5] AGARWAL R,DENG S,ZHANG W.Generalization of a retarded Gronwall-like inequality and its applications[J].Appl Math Comput,2005,165:599-612.

[6] MA Q,PECARIC J.Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequalities[J].Nonlinear Anal,2008,69:393-407.

[7] ZHENG B.Qualitative and quantitative analysis for solutions to a class of Volterra-Fredholm type difference equation[J].Adv Difference Equ,2011,2011:30.

[8] ZHENG B,FU B.Some Volterra-Fredholm type nonlinear discrete inequalities involving four iterated infinite sums[J].Adv Difference Equ,2012,2012:228.

[9] 吳宇,鄧圣福.一類弱奇性Volterra積分不等式的推廣[J].四川大學學報(自然科學版),2004,41(3):472-479.

[10] 吳宇.關于一類弱奇性Volterra積分不等式的注記[J].四川師范大學學報(自然科學版),2008,31(5):534-537.

[11] 周俊.關于一個積分不等式組的討論[J].四川大學學報(自然科學版),2009,46(1):21-25.

[12] 王五生,李自尊.一類新的非線性時滯積分不等式及其應用[J].四川師范大學學報(自然科學版),2012,35(2):180-183.

[13] 侯宗毅,王五生.非線性三變量差分不等式及其應用[J].四川師范大學學報(自然科學版),2015,38(4):514-517.

2010 MSC：26D15; 26D20; 45G10

(編輯 周 俊)

A Class of Nonlinear Volterra-Fredholm Type Integral Inequality Involving Four Iterated Infinite Integral

LIN Yuanhua,WANG Wusheng

(SchoolofMathematicsandStatistics,HechiUniversity,Yizhou546300,Guangxi)

A class of nonlinear Volterra-Fredholm type four iterated integral inequalities with variable lower limit and infinite upper limit is studied.Firstly,the conditions satisfied by known functions in the inequalities are supposed,then estimation for the unknown function in Volterra-Fredholm type integral inequalities is given by analytic techniques,such as change of variable,amplification of inequality,differentiation and integration,inverse function etc.Finally,in order to illustrate the validity of the established results,an application is presented,in which explicit bounds for the solutions of a class of Volterra-Fredholm type four iterated integral equations are deduced.

Volterra-Fredholm type integral inequalities; infinity integral; integral with variable lower limit; estimation of unknown function

2015-11-13

國家自然科學基金(11561019和11161018)、廣西自然科學基金(2016GXNSFAA380090和2012GXNSFAA053009)和廣西高等學

O175.5

A

1001-8395(2017)02-0184-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.007

校科研項目(KY2015ZD103和LX2014330)

*通信作者簡介：王五生(1960—),男,教授,主要從事微分方程與動力系統的研究,E-mail:wang4896@126.com