Banach空間有界線性算子加權群逆的存在條件與擾動分析

胡春梅

(麗江師范高等專科學校 數計系,云南 麗江 674100)

Banach空間有界線性算子加權群逆的存在條件與擾動分析

胡春梅

(麗江師范高等專科學校 數計系,云南 麗江 674100)

算子; 加權群逆; 充要條件; 擾動

1 預備知識和引理

由于目前關于加權群逆所取得的結果主要是建立在有限維矩陣空間中,本文將在無限維的Banach空間中研究算子加權群逆.

下面給出本文采用的記號與術語.設X和Y為任意可分的Banach空間,L(X,Y)是從X到Y的有界線性算子的全體,特別地,L(X)=L(X,X).對任意算子A∈L(X,Y),記R(A)、N(A)和‖A‖分別為A的值域、零空間和范數,若存在B∈L(Y,X),使得ABA=A,則B稱為A的1-逆,A稱為正則算子,通常記B=A(1).

定義 1.1[1]設A∈L(X,Y),W∈L(Y,X),稱滿足下列方程組的算子X∈L(X,Y)

AWXWA=A,XWAWX=X,AWX=XWA,

引理 2.1[1]設A∈L(X,Y),U∈L(Y),V∈L(X),則有:

(i) AA(1)L(X,Y)=AL(X),L(X,Y)A(1)A=L(Y)A;

(ii) AL(Y,X)=AA(1)L(Y),L(Y,X)A=L(X)A(1)A;

(iii) 若L(Y)U=L(Y),VL(X)=L(X),則L(Y,X)U=L(Y,X),VL(Y,X)=L(Y,X).

U=AWAA(1)+IY-AA(1),

(1)

引理 2.2 令A∈L(X,Y),則下列條件等價:

(i) UL(Y)=L(Y);

(ii) AWAL(Y,X)=AL(Y,X);

(iii) VL(X)=L(X).

證明 (i)?(ii) 由引理2.1及UL(Y)=L(Y),則有

AWAL(Y,X)=AA(1)AWAA(1)L(Y)=

(ii)?(i) 由于AWAL(Y,X)=AL(Y,X),且A(1)∈L(Y,X),因此存在X∈L(Y,X)使得

AWAX=AA(1).

(2)

記M=AXAA(1)+IY-AA(1),則有

AWAXAA(1)+IY-AA(1)=IY.

所以(i)成立.

(ii)?(iii) 記N=A(1)AXA+IX-A(1)A,X滿足方程(2),則有

A(1)AWAXA+IX-A(1)A=IX.

所以(iii)成立.

(iii)?(ii) 由引理2.1的(iii)可得VL(Y,X)=L(Y,X),則有

AWAL(Y,X)=AA(1)AWAL(Y,X)=

AVL(Y,X)=AL(Y,X).

對偶地可得以下引理.

引理 2.3 令A∈L(X,Y),則下列條件等價:

(i) L(Y)U=L(Y);

(ii) L(Y,X)AWA=L(Y,X)A;

(iii) L(X)V=L(X).

定理 2.1 令A∈L(X,Y),則下列條件等價:

(ii)U可逆;

(iii)V可逆;

(iv) 算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A有解,而且

(3)

(4)

(5)

其中,X和Y分別是方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

證明 顯然U和V可逆當且僅當UL(Y)=L(Y),L(Y)U=L(Y)和VL(X)=L(X),L(X)V=L(X)分別成立;算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A有解當且僅當AWAL(Y,X)=AL(Y,X)和L(Y,X)AWA=L(Y,X)A成立.由引理2.2和引理2.3,(ii)、(iii)和(iv)是等價的,且

AYAA(1)+IY-AA(1),

A(1)AYA+IX-A(1)A,

其中,X和Y分別是算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

因此,只需證明(i)和(ii)等價.

所以,AWAL(Y,X)=AL(Y,X),L(Y,X)AWA=L(Y,X)A.由引理2.2和引理2.3,U可逆.

(ii)?(i) 若U可逆,由UA=AWA,則有

A=U-1AWA.

必存在X使得AWAX=AA(1)且

U-1A=U-1AA(1)A=U-1AWAXA=AXA,

則有

AWU-2AWA=AWU-1A=AWAXA=A,

U-2AWAWU-2A=U-2AWAWU-1AXA=

U-2AWAWAXAXA=U-2AWAA(1)AXA=U-2A.

U-2AWA=U-1A=AXA=AWAXAXA=

AWU-1AXA=AWU-2A,

令

S=AWAWAA(1)+IY-AA(1),

T=A(1)AWAWA+IX-A(1)A.

(6)

對照引理2.2和引理2.3,有以下引理.

引理 2.4 令A∈L(X,Y),則下列條件等價:

(i)SL(Y)=L(Y);

(ii)AWAWAL(Y,X)=AL(Y,X);

(iii)TL(X)=L(X).

引理 2.5 令A∈L(X,Y),則下列條件等價:

(i) L(Y)S=L(Y);

(ii) L(Y,X)AWAWA=L(Y,X)A;

(iii) L(X)T=L(X),

則對照定理2.1,可直接得到以下定理.

定理 2.2 令A∈L(X,Y),則下列條件等價:

(ii)S可逆;

(iii)T可逆;

(iv) 算子方程AWAWAX=AA(1)和YAWAWA=A(1)A有解,且

AYAA(1)+IY-AA(1),

A(1)AYA+IX-A(1)A,

其中,X和Y分解是算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

引理 3.1[7]令A∈L(X,Y),W∈L(Y,X),則下列條件等價:

(ii) (AW)#和(WA)#存在,且R(AW)=R(A),N(WA)=N(A);

(iii)R(WA)⊕N(A)=X,N(AW)⊕R(A)=Y.

引理 3.2[9]令A∈L(X),L和M是X的閉子空間,且有X=L⊕M,PL,M為沿M到L的投影算子,則有:

(i)PL,MA=A?R(A)?L;

(ii)APL,M=A?N(A)?M.

引理 3.3[9]令B∈L(X).若‖B‖<1,則算子I±B均可逆,且

則有

則有

再由引理3.2,則有

即

同理

則有

(ii) 由(i)有

且

(iii) 由(i)和(ii)有

從而

4 算例

例 4.1 令

由計算可得

則有:

U=AWAA(1)+I3-AA(1)=

V=A(1)AWA+I4-A(1)A=

S=AWAWA(1)+I3-AA(1)=

T=A(1)AWAWA+I4-A(1)A=

而且

例 4.2 令

顯然

B=A+E=

且R(A)=R(B),N(A)=N(B).

利用行初等變換將

轉化為

和右邊矩陣交換最后的零行,則有

利用行初等變換有

再由計算得

同理

即得定理3.1.

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2010 MSC：15A09; 65F10

(編輯 李德華)

Existence Conditions and Perturbation Analysis for the Weighted Group Inverse of Linear Operators on Banach Space

HU Chunmei

(DepartmentofMathmaticsandComputerScience,LijiangTeachersCollege,Lijiang674100,Yunnan)

operator; weighted group inverse; necessary and sufficient conditions; perturbation

2016-03-29

云南省科技廳青年計劃項目(2013FD060)

胡春梅(1984—),女,講師,主要從事廣義逆理論及應用的研究,E-mail:chunmeihu2008@163.com

O151

A

1001-8395(2017)02-0199-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.010