相對(duì)論色散關(guān)系與白矮星半徑的量子引力修正效應(yīng)

陳海霖,顏 駿,余 毅,鐘 鑫

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,四川 成都 610066)

相對(duì)論色散關(guān)系與白矮星半徑的量子引力修正效應(yīng)

陳海霖,顏 駿*,余 毅,鐘 鑫

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,四川 成都 610066)

研究狹義相對(duì)論中的變形色散關(guān)系,得到Lorentz破缺和光速變化的關(guān)系,分析量子引力放大效應(yīng)作用下光速的變化.另外,根據(jù)修正色散關(guān)系計(jì)算白矮星的半徑-質(zhì)量關(guān)系式.文獻(xiàn)(Amelino-Camelia G.Living Rev Relati,2013,16(2):7-105.)指出白矮星半徑的變化可能存在一些觀測(cè)效應(yīng),但他們并沒有討論這些效應(yīng)的物理根源,研究結(jié)果表明:在放大效應(yīng)或極高密度情況時(shí),白矮星半徑的改變才比較明顯.

狹義相對(duì)論; 修正色散關(guān)系; 白矮星; 量子引力效應(yīng)

1 預(yù)備知識(shí)

1905年愛因斯坦提出狹義相對(duì)論以來,該理論已成為現(xiàn)代物理學(xué)的三大基礎(chǔ)理論之一,并通過無數(shù)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證,如光速不變?cè)怼r(shí)間膨脹效應(yīng)、緩慢運(yùn)動(dòng)物體的電磁現(xiàn)象等[1],其中光速不變?cè)硪淹ㄟ^天文觀測(cè)和粒子物理實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證,目前還未發(fā)現(xiàn)光速發(fā)生變化或超光速現(xiàn)象的存在,但這些實(shí)驗(yàn)都是在能標(biāo)較低的情況下進(jìn)行的.20世紀(jì)60年代,K.Greisen[2]、G.T.Zatsepin等[3]提出了GZK截?cái)嗖孪?由于宇宙線中的質(zhì)子與宇宙微波背景光子發(fā)生作用而導(dǎo)致能量損失,因此這種高能粒子不能達(dá)到地球觀測(cè)點(diǎn),但是在實(shí)驗(yàn)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)更高能量的粒子事件,為了解釋GZK截?cái)喱F(xiàn)象,那么有可能修改狹義相對(duì)論中的Lorentz對(duì)稱性.

近年來,人們從各種研究角度重新研究了不同物理系統(tǒng)中的Lorentz破壞現(xiàn)象,如弦理論中的對(duì)稱性破缺[4]、非對(duì)易時(shí)空中的LI對(duì)稱性破缺[5-7]、粒子物理中的LI對(duì)稱性破缺[8]、圈量子引力中的LI對(duì)稱性破缺[9].本文將重點(diǎn)研究狹義相對(duì)論中的色散關(guān)系修正(MDR)[10],以及對(duì)應(yīng)的LI對(duì)稱性破缺問題.由于粒子物理中的標(biāo)準(zhǔn)模型已獲得了無數(shù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,因此近年來人們將興趣轉(zhuǎn)向?qū)Τ綐?biāo)準(zhǔn)模型的研究,如在1012eV能標(biāo)以上粒子加速器可能驗(yàn)證超對(duì)稱粒子和5維時(shí)空是否存在[11],在高能標(biāo)下證實(shí)狹義相對(duì)論中的修正色散關(guān)系,以及LI對(duì)稱性是否成立,將是非常有意義的研究課題.

文獻(xiàn)[12-13]曾研究修正色散關(guān)系光子氣體的熱力學(xué)性質(zhì),結(jié)果發(fā)現(xiàn)量子引力效應(yīng)對(duì)宇宙氦豐度有一定的修正,并且計(jì)算了氦豐度對(duì)高能光子和暗能量的約束;因此,修正色散帶來的量子引力效應(yīng)可能對(duì)致密星體或早期宇宙的物理性質(zhì)產(chǎn)生影響.

另外,A.Camacho[14-15]建議通過量子光子中的相干性質(zhì)從光子氣體上探測(cè)修正色散關(guān)系,D.Mattingly[16]則較全面地綜述了粒子物理、天體物理和宇宙學(xué)中的Lorentz違反規(guī)律,當(dāng)然,在何種能量標(biāo)度上出現(xiàn)光速的變化或Lorentz對(duì)稱性破缺,則需要進(jìn)一步精密實(shí)驗(yàn)加以證實(shí).

2 相對(duì)論力學(xué)中Lorentz變換的破缺效應(yīng)

在狹義相對(duì)論中經(jīng)典力學(xué)方程及對(duì)應(yīng)的力學(xué)量都需要修正為Lorentz協(xié)變形式,光速不變?cè)砜山o出時(shí)空間隔平方為不變量,由此可以定義固有時(shí)間dτ、4維速度矢量Uu=(γu,iγc)和4維動(dòng)量Pu=(γm0u,iγm0c),

(1)

u是物體的運(yùn)動(dòng)速度,c為光速,m0為物體靜止質(zhì)量,當(dāng)u?c,4維矢量的分量分別代表物體低速運(yùn)動(dòng)下物體的動(dòng)量和能量.4維能量動(dòng)量矢量還可表示為[17]

(2)

(3)

所以得到如下能量動(dòng)量的色散關(guān)系式

(4)

如果考慮了量子引力效應(yīng)的作用,那么這一色散關(guān)系的修正形式[18-19]可推廣為

(5)

其中,η為無量綱耦合系數(shù),Ep為Planck能量,n為量子效應(yīng)的放大或縮小指數(shù).由于光子的靜質(zhì)量m0=0,那么由(5)式可導(dǎo)出如下光速

(6)

所以在量子引力效應(yīng)的作用下光速可能發(fā)生變化,當(dāng)η>0,光速變大;當(dāng)η<0,則光速變小.光速的有效變化值為

(7)

取E=p=1×1012eV,Ep=1019×109eV,可計(jì)算放大指數(shù)對(duì)應(yīng)的光速變化值(見表1).

表1 量子引力效應(yīng)作用下光速的變化值Table 1 The change of light speed under the action of quantum gravity effect

如果不存在放大效應(yīng),那么n=1,這時(shí)光速的變化非常微小,幾乎可以忽略;如果放大效應(yīng)存在,那么隨著放大指數(shù)的減小,則光速的變化增大.在量子引力效應(yīng)影響下,那么時(shí)空間隔量可定義為:

(8)

(9)

其中

(10)

(11)

v1、v2、E1、E2、p1、p2分別表示2個(gè)坐標(biāo)系中的光速以及能量和動(dòng)量.由(8)～(11)式可以推導(dǎo)出時(shí)空間隔的變化量,Lorentz變換設(shè)為:

(12)

(13)

(14)

(15)

將(12)～(15)式代入(9)式后與(8)式相減得

δds2=ds′2-ds2=

(16)

其中

(17)

(18)

再將(17)和(18)式代入(16)式化簡得

(19)

這時(shí)無量綱Lorentz破缺量定義為

(20)

當(dāng)E1=E2,p1=p2,由(7)和(20)式可得Lorentz破缺量和光速變化值的如下關(guān)系

(21)

因此,Lorentz破缺正比于光速變化的程度.如E和p處于1012eV能量標(biāo)度,當(dāng)n=1,由于光速的變化非常小,所以Lorentz破缺效應(yīng)不明顯.只有E和p都處于Planck能量標(biāo)度時(shí),光速c的變化和Lorentz的破缺的程度才比較顯著.

3 MDR和電子氣體的簡并壓強(qiáng)

白矮星是一種半徑較小,光度較低的天體,其質(zhì)量不超過Chandrasekhar極限,約為太陽質(zhì)量的1.44倍,其密度約為107g/cm3,中心溫度約為107K(103eV).白矮星可看成是一種由氦組成的高溫高密度球體[20-21],其中氦處于一種離子化的狀態(tài);因此,可將白矮星簡化為一種基態(tài)電子構(gòu)成的理想模型,這些電子在氦核的背景中運(yùn)動(dòng).氦核可以產(chǎn)生束縛引力而電子可產(chǎn)生簡并壓強(qiáng),在這2種力的作用下星體處于一種平衡狀態(tài)[22].

文獻(xiàn)[23]首先研究了修正色散關(guān)系(MDR)對(duì)白矮星半徑-質(zhì)量關(guān)系的影響,討論了和Lorentz對(duì)稱性破缺的聯(lián)系.文獻(xiàn)[24]分析了白矮星半徑中量子引力的放大效應(yīng),并指出極高密度情況下量子引力效應(yīng)才比較明顯.文獻(xiàn)[25]則計(jì)算了MDR存在情況下的Chandrasekhar極限質(zhì)量,結(jié)果發(fā)現(xiàn)量子引力耦合系數(shù)為正時(shí),MMDR>Mch;當(dāng)耦合系數(shù)為負(fù)時(shí),MMDR

由(5)式可得到電子氣體的零點(diǎn)能量為

(22)

其中,V是體積,pF是Fermi動(dòng)量,me是電子靜質(zhì)量.這里已取c=1,現(xiàn)在分別計(jì)算(22)式中3項(xiàng)的積分值.第1項(xiàng)積分為

(23)

(24)

第3項(xiàng)積分為

(25)

第1項(xiàng)和第3項(xiàng)合并后用函數(shù)f(xF)表示為

(26)

同理,第2項(xiàng)積分為

(27)

綜上所述,可得到電子氣體的零點(diǎn)能量為

(28)

其中

(29)

接下來可根據(jù)E0計(jì)算出電子氣體的簡并壓強(qiáng),于是有

(30)

首先在(28)式中第1項(xiàng)對(duì)體積微分得

(31)

當(dāng)xF?1時(shí)

(32)

又因?yàn)?/p>

(33)

所以

(34)

其次,在(28)式中第2項(xiàng)對(duì)體積微分得

(35)

其中

(36)

所以

(37)

綜上所述,電子氣體的簡并壓強(qiáng)為

(38)

根據(jù)這一簡并壓強(qiáng)可進(jìn)一步計(jì)算出白矮星中的半徑-質(zhì)量關(guān)系式.

4 白矮星半徑的量子引力修正效應(yīng)

在Chandrasekhar模型中白矮星的穩(wěn)定性質(zhì)要求引力壓強(qiáng)和Pauli簡并排斥力達(dá)到平衡,Newton引力給出的壓強(qiáng)為

(39)

其中,mp是質(zhì)子質(zhì)量,me是電子質(zhì)量;并且

(40)

(41)

(42)

式中第2項(xiàng)是小量修正.進(jìn)一步化簡后得

(43)

(44)

其中

(46)

(46)式為Chandrasekhar半徑,而(45)式為MDR形式下的修正半徑,它描述了量子引力效應(yīng)對(duì)白矮星半徑產(chǎn)生的影響;因此半徑變化量和Chandrasekhar半徑的比值為

(47)

其中,n>0時(shí),R修正>0,表示白矮星半徑變大;n<0時(shí),R修正<0,表示白矮星半徑變小.因?yàn)?me/Ep)的數(shù)量級(jí)約為10-22,取不同的質(zhì)量和放大指數(shù)可計(jì)算出白矮星的半徑變化值,如表2所示.

表2 對(duì)于不同質(zhì)量和放大指數(shù)的白矮星半徑變化Table 2 The change radius of white dwarfs for the different mass and magnified index

從表2可以看出,當(dāng)白矮星質(zhì)量一定,隨著放大指數(shù)減小,半徑的變化值增大,并且其數(shù)量級(jí)變化非常大.當(dāng)放大指數(shù)一定時(shí),隨著白矮星質(zhì)量變小,其半徑變化值也變小,但仍處于同一數(shù)量級(jí).取白矮星的半徑Rchan=103km,如果放大效應(yīng)不存在,這時(shí)n=1,那么其半徑變化值約為10-19km,這時(shí)白矮星的半徑變化幾乎可以忽略.另一方面,當(dāng)M=0.8M0,n=1/8,η=10-3時(shí),那么其半徑的變化值約為3.5 km.當(dāng)M=0.6M0,n=1/6,η=0.5×10-3時(shí),那么其半徑變化值約為2.3 km,在這種情況下白矮星的半徑有比較明顯的變化.

另外,白矮星半徑-質(zhì)量關(guān)系式還可表示為如下的等價(jià)形式

(48)

其中

(49)

(50)

這里ρchan為Chandrasekhar半徑對(duì)應(yīng)的密度.當(dāng)ρchan≈ρ0時(shí),如取n=1/8,那么ρchan～10-7.25GeV4,已接近于白矮星的中心密度[26],因此量子引力的放大效應(yīng)比較明顯.如果放大效應(yīng)并不明顯,并且半徑變化值較大,則要求ρchan遠(yuǎn)大于白矮星的內(nèi)部密度.只有量子引力存在放大效應(yīng)時(shí),才有可能觀測(cè)到白矮星半徑的顯著變化,或者說只有在極高物質(zhì)密度情況下,才可能觀測(cè)到Lorentz對(duì)稱破缺的物理效應(yīng).

5 結(jié)論與討論

根據(jù)修正色散關(guān)系研究量子引力效應(yīng)對(duì)光速和白矮星半徑的可能影響,結(jié)果表明只有放大效應(yīng)存在時(shí)光速變化比較明顯.另外,在白矮星內(nèi)部電子處于極高密度時(shí),并且量子引力也存在放大效應(yīng),那么其半徑的變化才具有可觀測(cè)性.

本文仔細(xì)討論了修正色散關(guān)系對(duì)白矮星半徑的修正,考慮放大效應(yīng)的作用后具體計(jì)算半徑的變化范圍.還研究了放大效應(yīng)存在時(shí)白矮星半徑變化的規(guī)律,計(jì)算不同質(zhì)量和放大指數(shù)對(duì)應(yīng)的半徑變化數(shù)值,分析了物質(zhì)密度對(duì)白矮星半徑變化的可能影響.

如果量子引力的放大效應(yīng)存在,那么隨著放大指數(shù)的減小,則Lorentz破缺程度變大,即使處于1012eV以上能標(biāo),Lorentz破缺效應(yīng)也可能比較明顯.這些由量子引力效應(yīng)帶來的光速變化或Lorentz對(duì)稱性破缺,將由進(jìn)一步的物理實(shí)驗(yàn)加以證實(shí)或排除.因此,深入研究Lorentz協(xié)變性和破缺規(guī)律,將有利于人們對(duì)量子引力性質(zhì),光速變化或超光速現(xiàn)象的深入理解,這將是今后物理學(xué)中值得注意的一個(gè)研究方向.

[1] 張?jiān)?狹義相對(duì)論實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,1979:1-144.

[2] GREISEN K.End to the cosmic-ray spectrum[J].Phys Rev Lett,1966,16(17):748-750.

[3] ZATSEPIN G T,KUZMIN V A.Upper limit of the spectrum of cosmic rays[J].Jetp Lett,1966,4:78-80.

[4] JENKINS A.Topics in Theoretical Particle Physics and Cosmology Beyond the Standard Model[D].California:California Institute of Technology,2006:1-112.

[5] KERSTING N,YAN J.Elimination of IR/UV via gravity in non-commutative field theory[J].Mod Phys Lett,2008,A23(39):3341-3348.

[6] YAN J.Functional integrals and quantum fluctuations on two-dimensional non-commutative space-time[J].Commun Theory Phys,2009,52(3):445-448.

[7] AMELINO-CAMELIA G,MAJID S.Waves on non-commutative space-time and gamma-ray bursts[J].Int J Mod Phys,2000,A15(27):4301-4324.

[8] COLEMAN S,GLASHOW S L.High-energy tests of Lorentz invariance[J].Phys Rev,1999,D59(11):116008.

[9] ROVELLI C.Quantum Gravity[M].Cambridge:Cambridge University Press,2004:315-319.

[10] AMELINO-CAMELIA G.Quantum gravity phenomenology[J].Living Rev Relat,2013,16(2):7-105.

[11] RANDALL L,SUNDRUM R.A large mass hierarchy from a small extra dimension[J].Phys Rev Lett,1999,83(17):3370-3373.

[12] 蘇文杰.暗能量宇宙與暗能量天體物理性質(zhì)的研究[D].成都:四川師范大學(xué),2012:96-114.

[13] ZHANG X Y,SHAO L J ,MA B Q .Photon gas thermodynamics in doubly special relativity[J].Astopart Phys,2011,34(11):840-845.

[14] CAMACHO A .Deformed dispersion relations and the Hanbury-Brown-Twiss effect[J].Gen,Relat,Gravit,2005,37(8):1405-1410.

[15] CAMACHO A.Continuous distribution of frequencies and deformed dispersion relations[J].Cluass Quant Grav,2005,22(11):2101-2106.

[16] MATTINGLY D.Modern tests of Lorentz invariance[J].Living Rev Relat,2005,8(15):5-61.

[17] 虞福春,鄭春開.電動(dòng)力學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1992:290-292.

[18] AMELINO-CAMELIA G.A phenomenological description of quantum gravity induced space-time noise[J].Nature,2001,410(6832):1065-1067.

[19] AMELINO-CAMELIA G.Quantum gravity phenomenology:status and prospects[J].Mod Phys Lett,2002,A17(15/17):899-922.

[20] ZELDOVICH Y B,NOVIKOV I D.Stars and Relativity[M].Chicago and London:University of Chicago Press,1971:271-275.

[21] SHAPIRO S,TEUKOLSKY S A.Black Holes,White Dwarfs,and Neutron Stars:Physics of Compact Objects[M].Weinheim:Wiley-VCH Verlag Gmbh & Co.K Ga A,2004:55-102.

[22] 楊展如.量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007:153-158.

[23] CAMACHO A.White dwarfs as test objects of Lorentz violations[J].Class Quantum Grav,2006,23(24):7355-7368.

[24] AMELINO-CAMELIA G,LORET N,MANDANICI N,et.al.UV and IR quantum space-time effects for the Chandrasekhar model[J].Int J Modern Phys,2012,D21(6):275-291.

[25] GREGG M,MAJOR S A.On modified dispersion relations and the Chandrasekhar mass[J].Int Mod Phys,2009,D18(6):971-982.

[26] 徐仁新.天體物理導(dǎo)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006:146-154.

(編輯 鄭月蓉)

Relativity Dispersion Relation and Quantum Gravity Correction Effect for the Radius of White Dwarfs

CHEN Hailin,YAN Jun,YU Yi,ZHONG Xin

(CollegeofPhysicsandElectronicEngineering,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

The deformed dispersion relation in special theory of relativity is studied in this paper,the relation of Lorentz breaking and change of the light speed is obtained,we analyze that change of light speed under the action of quantum gravity magnified effect.In addition,the relation of radius-mass is calculated according to the modified dispersion relation.Literature(Amelino-Camelia G.Living Rev Relati,2013,16(2):7-105.)pointed out that it is possible to exist some observation effects for changing of white dwarf radius,but they did not discuss the physical origin of these effects.The results of this paper show that in the case of amplification effect or extremely high density,the change of white dwarf radius is more obvious.

special theory of relativity; modified dispersion relations; white dwarf; quantum gravity effect

2015-12-18

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)科研基金(11ZA100)

O412; P145

A

1001-8395(2017)02-0205-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.011

*通信作者簡介：顏 駿(1965—),男,教授,主要從事量子場論和引力理論的研究,E-mail:yanjun5@sina.com