不等式恒成立問題的解法初探

莊喜

[摘要]不等式恒成立問題是高考數(shù)學中的重點及難點，其涉及的知識面廣，包括導數(shù)、基本函數(shù)、不等式等，出題形式多樣化，對學生思維的靈活性及創(chuàng)新性有很大的要求，這些都是學生難以掌握的點，給解題帶來很大的挑戰(zhàn)，故對此類問題的解法進行歸納顯得尤為重要。

[關鍵詞]不等式恒成立數(shù)形結合構造函數(shù)分離參數(shù)

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼]A

[文章編號]1674-6058（2016）32-0062

不等式恒成立問題大都出現(xiàn)在高考的大題中，在填空題和選擇題中也常作為壓軸題出現(xiàn)，本文通過舉例介紹不同題型下所采取的不同解題方法，讓學生更好地體會解題方法，提高解題能力。

一、數(shù)形結合法

數(shù)形結合法體現(xiàn)在此處就是畫出函數(shù)的圖像，利用圖像的位置關系來確定不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍，學生要注意這一思想的前提是函數(shù)經(jīng)過一定的變換后所表示的是常見的數(shù)學圖像，否則不得盲目利用此方法。

點撥：題中通過對已知函數(shù)進行變形后畫出圖像來求解參數(shù)，使問題更加直觀地呈現(xiàn)在我們面前，這也是對問題的極大簡化，在減少學生計算量的同時，還開拓學生的思維，實現(xiàn)數(shù)與形的真正結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的精髓。

二、構造函數(shù)法

構造函數(shù)法著重體現(xiàn)在“構造”二字，是指通過分析題中的條件及不等式關系，構造出一個新的函數(shù)，通過對新函數(shù)的求導等運算，得出原不等式中參數(shù)的取值范圍。

點撥：本題證明采用了作差法構造出新的函數(shù)，體現(xiàn)了構造函數(shù)中的構造性，常見的構造方法還有將兩式相除或相加，這種題型描述雖然簡潔，卻可以考查學生多方面的能力，正符合高考的出題理念。

三、分離參數(shù)法

分離參數(shù)是指在含有參數(shù)的不等式中，通過恒等關系的變形將所求的參數(shù)與自變量分離在不等式的兩邊，此時就變成了對參數(shù)的直接求解，使問題轉化為求只含主元函數(shù)的最值問題，分離參數(shù)法對學生的解題思路要求嚴格。

點撥：本題中對于參數(shù)的分離考查了學生對絕對值函數(shù)的處理方法、對三角函數(shù)變換的掌握以及整體的變換思路等多個方面，最后變量的替換也是需要學生長久積累才可以看出的方法，完美地考查了學生的綜合解題能力。