善總結速解題

王玲霞

“圖形變換”屬于“圖形與幾何”領域的內容，主要涉及圖形的軸對稱、平移、旋轉、相似、位似與視圖等知識，是中考的熱門考點，因為這部分知識既可以考查我們對基本圖形本質的理解，又能培養我們的實踐與操作能力，形成空間觀念和運動變化的意識.這類問題怎樣快速求解呢？我們從以下幾道典型例題進行剖析.

一、軸對稱

軸對稱知識在中考中一般以圖形的折疊方式呈現，包括三角形、矩形、菱形、正方形、圓的折疊，解題策略是“折疊→全等→勾股或相似”，折疊后所有對應的線段和角相等，無論是“勾股”還是“相似”都是為了找到未知量與已知量之間的等量關系列方程求解.

例1 （2016·安徽）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=6，AD=10，點E在CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰落在邊BC上的點F處，點G在BF上，將△ABG折疊，點B恰落在線段AF上的點H處，有以下結論：（1）∠EAG=45°；（2）△CEF∽△BAG；（3）S△ABG=[23]S△FGH；（4）BG+CF=FG，其中正確的是 .（把所有正確結論的序號都選上）

【解析】由折疊得到相等的角和相等的線段，結合矩形的性質可求∠EAG的度數.在Rt△CEF和Rt△FGH中根據勾股定理建立方程，分別求出CE、GH、FG的長，根據相似三角形的判定方法對（2）作出判斷，根據三角形面積公式對（3）作出判斷，（4）可以根據各線段的長度直接進行判斷.

【簡解】由折疊知∠BAG=∠FAG，∠FAE=∠DAE，∴∠EAG=[12]∠DAB=45°，（1）正確；由勾股定理結合方程思想易得CE=[83]，BG=3，易得△CEF與△BAG不相似，（2）錯誤；通過面積計算，易得（3）正確；BG+CF=3+2=5=FG，（4）正確.故填（1）（3）（4）.

【點評】凡涉及折疊的問題，尋找到對應角和對應邊是關鍵.在直角三角形中，根據勾股定理建立方程，求出直角三角形的三邊長，這是常用的方法之一.

二、旋轉

旋轉問題是熱點問題，一般來說，只要涉及“共頂點的相等線段”就有了旋轉的基礎，進而可構造全等或者相似三角形.

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設CD的長為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數關系式是 .

【解析】題中恰好有“共頂點的相等線段”AB=AD，于是可以考慮將△ABC繞點A逆時針旋轉90°得△ADE（圖2（1）），這樣四邊形ABCD的面積就轉化成直角梯形EACD的面積，一切迎刃而解了！

【簡解】由旋轉得△ACB≌△AED，設BC=a，可得四邊形ABCD的面積=10a2，如圖2（2），補圖形易證四邊形ACFE為正方形，得x=5a，所以y=[25]x2.

【點評】在學習相似時，有一個非常重要的模型是“一線三等角”，如下圖.

可以作DF⊥AC，再將△AFD繞AD的中點旋轉180°即可（圖2（3）），也能解決問題.由此可見，有動態的思維習慣，解題更加便捷.

三、相似

相似在初中數學中所占比例大，難度也高，是中考必考的內容，我們要掌握常見類型如A型相似、X型相似、一線三等角、子母型相似，常見輔助線，如作平行線構造相似，作高求解等.在解決相似問題時較難的是將相似作為一種策略.

例3 如圖3，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC為直徑在矩形內作半圓，自點A作半圓的切線，則[CEBC]= .

【解析】通常情況下：從結論著手，BC=2，只要知道CE長即可，而在Rt△BEC中只有∠BEC=90°，BC=2，不能求出CE長，此時需借助一個已知三角形，結合切線長定理及基本圖形.連接AO，如圖4，得Rt△ABO，易證△ABO∽△BEC，所以[CEBC]=[BOAO]=[110]=[1010].

【點評】題目中沒有現成的相似三角形，就要我們添線構造，而要想到“相似”，就要在平時的學習中勤于思考和總結.

四、解直角三角形

這個知識點的應用有非常強烈的個性，就是一定要緊扣定義，將銳角放置于一個直角三角形中，如果沒有就要創造條件，即通過作輔助線構造直角三角形.另外這類題目在中考中的呈現越來越生活化.請看：

例4 （2016·白銀）圖5是小明在健身器上進行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖6是小明鍛煉時上半身由ON位置運動到與地面垂直的OM位置時的示意圖，已經AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°.（參考數據：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）

（1）求AB的長；（精確到0.01米）

（2）若測得ON=0.8米，試計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑[MN]的長度.（結果保留π）

【解析】本題考查解直角三角形和弧長的計算公式，解題的關鍵是構造直角三角形.（1）見圖7，借助于20°這一條件，把20°和AB邊共同放置于一個直角三角形中，即過點B作AC的垂線段，設垂足為F，在直角△ABF中，利用三角函數求解；（2）[MN]是以點O為圓心，ON為半徑的圓中的一條弧且所對的圓心角是110°，利用弧長公式進行計算即可.

【答案】AB≈1.17（米），l弧MN=[2245π]（米）.

【點評】在一般三角形中已知一些邊和角，求另外的邊長的問題，通常都是通過作垂線，構造直角三角形，運用解直角三角形的知識來解決問題.對于弧長的計算，一是要知道弧所在圓的半徑，二是要知道圓心角的度數，再利用弧長公式進行計算.

五、投影

投影是相似知識的應用之一，分為中心投影和平行投影.中心投影是物體在點光源下的投影，平行投影是在太陽光等平行光線下的投影，這個知識經常和行程問題“聯手”考查大家，非常有意思，請看：

例5 （2015·鎮江）某興趣小組開展課外活動，如圖8，A、B兩地相距12米，小明從點A出發沿AB方向勻速前進，2秒后到達點D，此時他（CD）在某一燈光下的影長為AD，繼續按原速行走2秒到達點F，此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達點H，此時他（GH）在同一燈光下的影長為BH（點C、E、G在一條直線上）.

（1）請在圖8中畫出光源O點的位置，并畫出小明位于點F時在這個燈光下的影長FM（不寫畫法）；

（2）求小明原來的速度.

【解析】（1）利用光的直線傳播原理，確定光源O點位置；（2）由兩對相似△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB得比例關系，建立關于速度的方程，解之即可.

【簡解】（1）延長AC、BG相交于點O，延長OE交AB于點M，如圖9，則點O、FM即為所作.

（2）設小明原來的速度為xm/s，則AD=DF

=CE=2x（m），FH=EG=3x（m），AM=（4x-1.2）m，BM=（12-4x+1.2）m.

由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB.

∴[CEAM]=[OEOM]，[EGMB]=[OEOM].

得：[2x4x-1.2]=[3x13.2-4x].

解得x1=1.5，x2=0（不合題意，舍去），

經檢驗，x=1.5是原方程的解，故x=1.5.

答：小明原來的速度為1.5m/s.

【點評】此類問題容易出錯的地方有三處，一處是對中心投影掌握不牢，不會畫光源點及相關線段的投影；二是不能利用中心投影下的相似三角形建立關于小明原來速度的方程，導致第二問求不出來；三是分式方程忘記驗根而丟分.

同學們，在中考復習中注意夯實基礎，勤做典型題，善于總結解題常見方法和規律，往往能事半功倍！

（作者單位：江蘇省揚州市江都區第三中學）