超代數上廣義李超導子

袁 鶴

(吉林師范大學數學學院，吉林 四平 136000)

超代數上廣義李超導子

袁 鶴

(吉林師范大學數學學院，吉林 四平 136000)

利用超代數上的函數恒等式理論，證明了超代數上的廣義李超導子可以表示成一個廣義超導子和一個線性映射之和.

函數恒等式；超代數；廣義李超導子

0 引言

設R是環，若R上加法映射d滿足d(xy)=d(x)y+xd(y)，x，y∈R，則稱d是R上的導子.若R上加法映射d滿足d[x，y]=[d(x)，y]+[x，d(y)]，x，y∈R，則稱d是R上的李導子.顯然，每個導子都是李導子，那么反之是否成立呢?Bresar[1]證明了素環上的李導子可以表示成一個導子和一個加法映射之和.文獻[2]將這個結果推廣到了超代數上，得到超代數上的李超導子可以表示成一個超導子和一個線性映射之和.

隨著對導子的研究不斷深入，學者們對廣義導子的研究也日益增多.1998年，Hvala[3]給出了環上廣義導子的定義：若對于環R上的加法映射g，存在R上導子d滿足g(xy)=g(x)y+xd(y)，x，y∈R，則稱g是R上的廣義導子.Hvala[4]還證明了素環上的廣義李導子可以表示成一個廣義導子和一個中心映射之和.本文將利用超代數上的函數恒等式理論把這個結果推廣到超代數上.

函數恒等式理論是一個比較新的理論，人們用它來研究函數的表達式或者滿足某函數恒等式的環的結構.這個理論源于交換映射理論[5]，后來逐漸被應用到很多方面.2000年，Beidar和Chebotar[6-7]提出的d-自由集理論為函數恒等式理論的研究提供了強有力的工具，使函數恒等式理論的研究取得了實質性的突破并快速發展.學者們利用d-自由集理論解決了Herstein提出的關于李映射的猜想.[8-10]2009年，王宇[11]確定了素超代數上的函數恒等式理論，并利用此理論研究了素超代數上的李超同態.在上述工作的基礎上，王宇[12]又確立了超代數上的函數恒等式理論，給出了d-超自由集和擬超多項式的定義.本文將利用文獻[12]中結果研究超代數上的廣義李超導子的表示形式.

1 預備知識

下面給出超導子，廣義超導子，李超導子和廣義李超導子的定義.

設A是超代數且k∈{0，1}，稱一個A到A的Φ-線性映射dk是度為k的超導子，如果其滿足dk(Ai)?Ak+i，i∈Z2，且dk(ab)=dk(a)b+(-1)k|a|adk(b)，a，b∈A0∪A1.如果d=d0+d1，則稱d是A上的超導子.

設A是超代數且i∈{0，1}，稱一個A到A的Φ-線性映射ɡi是度為i的廣義超導子，如果其滿足ɡi(Aj)?Ai+j，j∈Z2，且存在A上度為i的超導子di使得ɡi(ab)=ɡi(a)b+(-1)i|a|adi(b)，a，b∈A0∪A1.如果g=ɡ0+ɡ1，則稱g是A上的廣義超導子；d=d0+d1為g的伴隨超導子.

設A是超代數且j∈{0，1}，稱一個A到A的Φ-線性映射hj是度為j的李超導子，如果其滿足hj(Ai)?Ai+j，i∈Z2，且hj([a，b]s)=[hj(a)，b]s+(-1)j|a|[a，hj(b)]s，a，b∈A0∪A1.如果h=h0+h1，則稱h是A上的李超導子.

設A是超代數且m∈{0，1}，稱一個A到A的Φ-線性映射fm是度為m的廣義李超導子，如果其滿足fm(Aj)?Am+j，j∈Z2，且存在A上度為m的李超導子hm使得對于任意的a，b∈A0∪A1有

fm([a，b]s)=fm(a)b-(-1)|a||b|fm(b)a+(-1)m|a|ahm(b)-(-1)m|b|+|a||b|bhm(a).

如果f=f0+f1，則稱f是A上的廣義李超導子；h=h0+h1為f的伴隨李超導子.

下面等式對于研究超代數上廣義超導子的表示形式相當重要：

[aibj，ck]s=[ai，bjck]s+(-1)ij+ik[bj，ckai]s，ai，bj，ck∈A0∪A1.

(1)

2 主要結果

本節給出超代數和素超代數上廣義李超導子的表示形式.

定理1 設A=A0?A1是超代數，Q是含有單位元的超代數且A是Q的子代數，C是Q的中心.若f：A→Q是廣義李超導子且A是Q的3-超自由子集，則存在廣義超導子ɡ：A→Q和線性映射l：A→C+Cω，滿足f(x)=ɡ(x)+l(x)，x∈A.

5)標準化因子norm。lucene的打分公式中，標準化因子由3個參數決定：document boost表示文檔的重要性；Field boost表示域重要性；lengthNorm(field)表示域中包含的Term總數。

證明 由廣義李超導子的定義，設fm是度為m的廣義李超導子，hm是度為m的李超導子，m∈{0，1}.應用fm于(1)式有

0=fm(aibj)ck-(-1)ik+jkfm(ck)aibj+(-1)m(i+j)aibjhm(ck)-
(-1)mk+ik+jkckhm(aibj)-fm(ai)bjck+(-1)ij+ikfm(bjck)ai-
(-1)miaihm(bjck)+(-1)m(j+k)+ij+ikbjckhm(ai)-(-1)ij+ik(fm(bj)ckai-
(-1)jk+ijfm(ckai)bj+(-1)mjbjhm(ckai)-(-1)m(i+k)+jk+ijckaihm(bj))，

其中ai，bj，ck∈A0∪A1.由文獻[2]，hm=dm+pm，其中dm是度為m的超導子，pm：A→C+Cω是線性映射.因此

0=fm(aibj)ck-fm(ai)bjck-(-1)miai(dm(bj)ck+(-1)mjbjdm(ck)+pm(bjck))+
(-1)ij+ik(fm(bjck)ai-fm(bj)ckai-(-1)mjbj(dm(ck)ai+(-1)mkckdm(ai)+
pm(ckai)))+(-1)ik+jk(fm(ckai)bj-fm(ck)aibj-(-1)mkck(dm(ai)bj+
(-1)miaidm(bj)+pm(aibj)))+(-1)m(i+j)aibj(dm(ck)+pm(ck))+
(-1)m(j+k)+ij+ikbjck(dm(ai)+pm(ai))+(-1)m(i+k)+ik+jkckak(dm(bj)+pm(bj)).

(2)

定義映射B：A×A→Q，

B(x，y)=fm(xy)-fm(x)y-(-1)m|x|xdm(y)，x，y∈A0∪A1.

由(2)式有

0=B(ai，bj)ck+(-1)ij+ikB(bj，ck)ai+(-1)ik+jkB(ck，ai)bj-
(-1)miaipm(bjck)-(-1)mj+ij+ikbjpm(ckai)-(-1)mk+ik+jkckpm(aibj)+
(-1)m(i+j)aibjpm(ck)+(-1)m(j+k)+ij+ikbjckpm(ai)+(-1)m(i+k)+ik+jkckaipm(bj)，

其中ai，bj，ck∈A0∪A1.因為A是Q的3-超自由子集，由文獻[12]有：

(3)

fm(xyz)=B(xy，z)+fm(xy)z+(-1)m(|x|+|y|)xydm(z)=
B(xy，z)+(B(x，y)+fm(x)y+(-1)m|x|xdm(y))z+(-1)m(|x|+|y|)xydm(z)；

fm(xyz)=B(x，yz)+fm(x)yz+(-1)m|x|xdm(yz)=
B(x，yz)+fm(x)yz+(-1)m|x|x(dm(y)z+(-1)m|y|ydm(z)).

兩式相減得

B(xy，z)+B(x，y)z-B(x，yz)=0，

(4)

其中x，y，z∈A0∪A1.

將(3)式代入(4)式中，整理得：

由文獻[12]中定理3.7有：

μ3(x1)=μ4(x1)，μ4(x1y0)=-v3(x1，y0)；

μ1(x1y1)=-v4(x1，y1).

由B的定義，

B(x0，y1)=fm(x0y1)-fm(x0)y1-x0dm(y1)，

B(y1，x0)=fm(y1x0)-fm(y1)x0-(-1)my1dm(x0).

上面兩式相減得

B(x0，y1)-B(y1，x0)=fm([x0，y1]s)-(fm(x0)y1-fm(y1)x0)-
(x0dm(y1)-(-1)my1dm(x0))=x0pm(y1)-(-1)my1pm(x0)，

從而

λ2x0y1+μ2(x0)y1+v2(x0，y1)-μ3(y1)x0-v3(y1，x0)-x0pm(y1)+(-1)my1pm(x0)=0.

由文獻[12]中定理3.7有λ2=0，λ4=0.因此

B(x0，y0)=μ1(x0)y0-μ1(x0y0)，
B(x0，y1)=μ1(x0)y1-μ4(x0y1)，
B(x1，y0)=μ4(x1)y0-μ4(x1y0)，
B(x1，y1)=μ4(x1)y1-μ1(x1y1).

(5)

設

由(5)式，fm(xy)+μm(xy)=fm(x)y+(-1)m|x|xdm(y)+μm(x)y，x，y∈A0∪A1.

設fm+μm=ɡm，l=-μ0-μ1，則ɡ=ɡ0+ɡ1是廣義超導子，l：A→C+Cω是線性映射.結論證畢.

由文獻[12]中定理4.16和定理1可得下面結論.

推論1 設A=A0?A1是素超代數，Q是A的極大右商環，C是A的擴展型心.若f：A→Q是廣義李超導子且deg(A1)≥7，則存在廣義超導子ɡ：A→Q和線性映射l：A→C+Cω，滿足f(x)=ɡ(x)+l(x)，x∈A.

[1] BREASAR M.Commuting traces of biadditive mappings：commutativity-preserving mappings and Lie mappings[J].Trans Amer Math Soc，1993，335(2)：525-546.

[2] 袁鶴.超代數上的超導子和三角代數上的廣義導子[D].長春：吉林大學，2014.

[3] HVALA B.Generalized derivations in rings[J].Comm Algebra，1998，26(4)：1147-1166.

[4] HVALA B.Generalized Lie derivations in prime rings[J].Taiwanese J Math，2007，11(5)：1425-1430.

[5] BREASAR M.Centralizing mappings and derivations in prime rings[J].J Algebra，1993，156：385-394.

[6] BEIDAR K I，CHEBOTAR M A.On functional identities andd-free subsets of rings：Ⅰ[J].Comm Algebra，2000，28(8)：3925-3951.

[7] BEIDAR K I，CHEBOTAR M A.On functional identities andd-free subsets of rings：Ⅱ[J].Comm Algebra，2000，28(8)：3953-3972.

[8] BEIDAR K I，BREASAR M，CHEBOTAR M A，et al.On Herstein’s Lie map conjectures：Ⅰ[J].Trans Amer Math Soc，2001，353(10)：4235-4260.

[9] BEIDAR K I，BREASAR M，CHEBOTAR M A，et al.On Herstein’s Lie map conjectures：Ⅱ[J].J Algebra，2001，238：229-264.

[10] BEIDAR K I，BREASAR M，CHEBOTAR M A，et al.On Herstein’s Lie map conjectures：Ⅲ[J].J Algebra，2002，249：59-94.

[11] WANG Y.Functional identities and Lie superhomomorphisms on prime superalgebras[J].Comm Algebra，2009，37(12)：4193-4226.

[12] WANG Y.Functional identities in superalgebras[J].J Algebra，2013，382：144-176.

(責任編輯：李亞軍)

Generalized Lie superderivations of superalgebras

YUAN He

(College of Mathematics，Jilin Normal University，Siping 136000，China)

It is proved that a generalized Lie superderivation is the sum of a generalized superderivation and a linear mapping by using the theory of functional identities in superalgebras.

functional identity；superalgebra；generalized Lie superderivation

1000-1832(2017)02-0011-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.003

2015-11-18

國家自然科學基金資助項目(11471090)；吉林省科技發展計劃資助項目(20170520068JH)；吉林省教育廳“十三五”科學技術研究項目(吉教科合字[2016]第214號).

袁鶴(1983─)，女，博士，講師，主要從事環理論研究.

O 152 [學科代碼] 110·21

A