一個帶有復合Euler函數方程的正整數解

王 洋，張四保

(1.四川交通職業技術學院公共教學部，四川 成都 611130；2.喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844008)

一個帶有復合Euler函數方程的正整數解

王 洋1，張四保2

(1.四川交通職業技術學院公共教學部，四川 成都 611130；2.喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844008)

設φ(n)為Euler函數，探討了帶有復合歐拉函數的方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2正整數解的問題，利用初等方法給出了其所有的正整數解.

Euler函數；正整數解；初等方法

1 預備知識

設n為正整數，φ(n)為Euler函數[1]，φ(n)在正整數n上的值為不超過n且與n互素的正整數個數.Euler函數φ(n)是數論中的一個重要函數，它與著名的Smarandache函數有著莫大的關系，眾多學者對與之相關的方程進行了大量研究.[2-7]

對于帶有復合歐拉函數方程正整數解的研究可參見文獻[8-11].本文討論帶有復合歐拉函數的方程

φ(φ(n-φ(φ(n))))=2

(1)

的正整數解問題，并通過初等方法給出其所有的正整數解.

引理1[12]方程φ(x)=2P的正整數解x為：當P=1時，x=3，4，6；當P=2時，x=5，8，10，12；當P=3時，x=7，9，14，18.

引理2[13]若n為大于等于2的整數，則φ(n)

2 主要結論及證明

定理1 方程(1)的所有正整數解為n=6，7，9，10，11，12，13，14，16，17，22.

證明 由引理1可知φ(x)=2的所有正整數解為x=3，4，6，從而方程(1)為φ(n-φ(φ(n)))=3，4，6.再由引理2可知，φ(n-φ(φ(n)))=4，6.

由引理1可知：當φ(n-φ(φ(n)))=4時，n-φ(φ(n))=5，8，10，12；當φ(n-φ(φ(n)))=6時，n-φ(φ(n))=7，9，14，18.由此可將n-φ(φ(n))的值分為n-φ(φ(n))=5，7，9與n-φ(φ(n))=8，10，12，14，18這兩種情形.

情形1n-φ(φ(n))=5，7，9.

即

情形1.1β1≠0，βi=0，i=2，3，…，t.

情形1.1.1β1=1.

當αj=0(j=1，2，…，k)時，q1-1=2γ，從而 2γ-φ(2γ)=4，6，8.因而2γ-1=4，6，8，γ=3，4.此時，n=9，17是方程(1)的二個正整數解.

當αj(j=1，2，…，k)中至少有1個滿足αj≠0時，有

(2)

此時，α1=1，αj=0，j=2，3，…，k；p1=3；q1-1=6.從而n=7是方程(1)的正整數解.

有

由于2p1p2…pk-(p1-1)(p2-1)…(pk-1)>(p1-1)(p2-1)…(pk-1)≥2，因而方程(1)無正整數解.

情形1.1.2β1≥2.

情形1.2β1≠0，β2≠0，βi=0，i=3，4，…，t.

情形1.2.1β1=1，β2=1.

此時，q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=5，7，9.注意到

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>8，

因而只討論q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=9的情形.

事實上，當q1=3，q2=5時，q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=9不成立；當q1=3，q2>5時，

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>9；

當q1≥5，q2≥7時，

q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+q1+q2-1>9.

故此時方程(1)無正整數解.

情形1.2.2β1，β2中至少有一個大于等于2.

類似于情形1.2.1的討論可知此時方程(1)無正整數解.

情形1.3βi中有三個或者三個以上不等于0.

類似于情形1.2.1的討論可知此時方程(1)無正整數解.

情形2n-φ(φ(n))=8，10，12，14，18.

當βi=0(i=1，2，…，t)時，2δ-φ(2δ-1)=8，10，12，14，18.顯然此時δ≥4，進而有2δ-2×3=8，10，12，14，18.此時只有2δ-2×3=12有正整數解δ=4，故n=24=16是方程(1)的正整數解.同時可知當δ≥5時，方程(1)無正整數解.因而，在討論至少存在某個βi≠0時δ的情形時，只需考慮1≤δ≤4.

情形2.1δ=1.

此時，

(3)

情形2.1.1β1≠0，βi=0，i=2，3，…，t.

此時，由(3)式有

(4)

當β1=1時，由(4)式可知 2q1-φ(q1-1)=8，10，12，14，18.當q1=5時，2q1-φ(q1-1)=8，即n=2×5=10是方程(1)的正整數解；當q1=7時，2q1-φ(q1-1)=12，即n=2×7=14是方程(1)的正整數解；當q1=11時，2q1-φ(q1-1)=18，即n=2×11=22是方程(1)的正整數解；當q1=13時，2q1-φ(q1-1)=8，10，12，14，18均不成立；當q1≥17時，2q1-φ(q1-1)=(q1-1)-φ(q1-1)+(q1+1)>18，因而此時方程(1)無正整數解.

情形2.1.2β1≠0，β2≠0，βi=0，i=3，4，…，t.

此時，

(5)

當β1=1，β2=1時，由(5)式有 2q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=8，10，12，14，18.由于

2q1q2-φ((q1-1)(q2-1))=2(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+2q1+2q2-2=

(q1-1)(q2-1)-φ((q1-1)(q2-1))+2q1+2q2-2+(q1-1)(q2-1)>18，

因而此時方程(1)無正整數解.并由該情形的討論可知，當βi(i=1，2，…，t)中有多于兩個不等于0時，方程(1)亦無正整數解.

故此時方程(1)無正整數解.并由該情形的討論可知，當β1，β2中至少有一個大于等于2時，方程(1)亦無正整數解.

仿照t=1情形的討論可得：當t=2時，n=22×3=12是方程(1)的正整數解；當t=3與t=4時，方程(1)無正整數解.

綜合以上討論，即得定理1結論.

[1] 閔嗣鶴，嚴仕健.初等數論[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003：58.

[2] 孫翠芳，程智.若干包含Euler函數φ(n)的方程[J].吉林大學學報(理學版)，2012，50(5)：859-862.

[3] 張四保，劉啟寬.關于Euler函數一個方程的正整數解[J].東北師大學報(自然科學版)，2015，47(3)：49-54.

[4] 史寶懷，潘曉瑋.關于數論函數方程φ(x1…xn-1xn)=m(φ(x1)+…+φ(xn-1)+φ(xn))[J].數學的實踐與認識，2014，44(24)：307-310.

[5] 張文鵬.關于F.Smarandache函數的兩個問題[J].西北大學學報(自然科學版)，2008，38(2)：173-176.

[6] 范盼紅.關于F.Smarandache函數和歐拉函數的三個方程[J].黑龍江大學學報(自然科學版)，2012，29(5)：626-628.

[7] 呼家源，秦偉.一個包含Smarandache Ceil函數的對偶函數及Euler函數的方程及其可解性[J].西北大學學報(自然科學版)，2013，43(3)：364-366.

[8] ZHANG T P.An equation involving Euler functionφ(n)[J].Scientia Magna，2008，4(1)：109-112.

[9] 田呈亮，付靜，白維祖.一個包含歐拉函數的方程[J].純粹數學與應用數學，2010，26(1)：96-98.

[10] 多布杰.關于歐拉函數方程φ(φ(x)) = 2t的可解性[J].純粹數學與應用數學，2014，30(6)：564-568.

[11] 呂志宏.一個包含Euler函數的方程[J].西北大學學報(自然科學版)，2006，36(1)：17-20.

[12] 姜友誼.關于Euler 函數方程φ(x)=m的解[J].重慶工業管理學院學報，1998，12(5)：91-94.

[13] ROSEN K H.Elementary number theory and its applications[M].5th ed.London：Addison Wesley，2005：225.

(責任編輯：李亞軍)

Positive integer solutions of an equation involving compound Euler function

WANG Yang1，ZHANG Si-bao2

(1.Department of Public Teaching，Sichuan Vocational and Technical College of Communications，Chengdu 611130，China；2.School of Mathematics and Statistics，Kashgar University，Kashgar 844008，China)

Letφ(n) be Euler function.The problem of positive integer solutions of an equation involving compound Euler functionφ(φ(n-φ(φ(n))))=2 is studied.All the positive integer solutions of it are given by using elementary method.

Euler function；positive integer solutions；elementary method

1000-1832(2017)02-0021-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.005

2015-09-27

新疆維吾爾自治區自然科學基金資助項目(2016D01A014).

王洋(1985—)，男，博士，講師，主要從事高等數學教學及應用數學研究；通信作者：張四保(1978—)，男，碩士，副教授，主要從事數論研究.

O 156 [學科代碼] 110·17

A