折線模糊數(shù)的重心定位及其排序方法

王 欽，李貴春

(天津師范大學(xué)管理學(xué)院，天津 300387)

折線模糊數(shù)的重心定位及其排序方法

王 欽，李貴春

(天津師范大學(xué)管理學(xué)院，天津 300387)

給出了折線模糊數(shù)的定義及其有序表示，并結(jié)合兩個(gè)具體例子討論了折線模糊數(shù)與其有序表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.提出了折線模糊數(shù)的重心定位計(jì)算公式及其指標(biāo)排序準(zhǔn)則，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了折線模糊數(shù)排序方法的有效性.

模糊數(shù);折線模糊數(shù);有序表示;重心坐標(biāo);指標(biāo)排序

0 引言

在決策分析和優(yōu)化問題中模糊數(shù)的排序占有十分重要的地位，但由于基于Zadeh擴(kuò)展原理的模糊數(shù)算術(shù)運(yùn)算不滿足封閉性，從而導(dǎo)致模糊數(shù)運(yùn)算極其復(fù)雜和繁瑣.2002年，劉普寅[1]首次提出折線模糊數(shù)概念，并通過(guò)n-折線模糊數(shù)的擴(kuò)展運(yùn)算來(lái)近似替代傳統(tǒng)的Zadeh擴(kuò)展運(yùn)算，進(jìn)而研究了折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛逼近性.文獻(xiàn)[2]系統(tǒng)地給出了折線模糊數(shù)的算術(shù)運(yùn)算法則及其相關(guān)性質(zhì).文獻(xiàn)[3]從數(shù)學(xué)理論層面討論了折線模糊數(shù)空間的完備性.此外，由于折線模糊數(shù)可用有限個(gè)有序?qū)崝?shù)表示，故在處理模糊信息時(shí)具有一定優(yōu)勢(shì).例如，折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可將內(nèi)部運(yùn)算直接作用在特殊模糊集上，并通過(guò)折線模糊數(shù)的有限個(gè)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行信息處理.2012年，文獻(xiàn)[4]通過(guò)引入等距剖分方法對(duì)折線模糊數(shù)定義做了改進(jìn)，并在K-積分模意義下研究了折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)一類可積函數(shù)的逼近性.文獻(xiàn)[5]基于折線模糊數(shù)的擴(kuò)展運(yùn)算構(gòu)造了一個(gè)具體的三層前向折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.然而，上述這些方法和結(jié)果始終回避一個(gè)關(guān)鍵問題，那就是折線模糊數(shù)該如何排序?

事實(shí)上，模糊數(shù)的排序是討論多屬性決策分析和優(yōu)化問題的一個(gè)關(guān)鍵性指標(biāo)，以往人們從不同角度對(duì)三角形模糊數(shù)或梯形模糊數(shù)給出若干排序準(zhǔn)則和排序方法.[6-9]然而，這些方法在不同程度上都存在丟失信息的現(xiàn)象，迄今為止，對(duì)一般模糊數(shù)的排序方法罕見于已有文獻(xiàn).這不僅是因?yàn)橐话隳：龜?shù)的結(jié)構(gòu)和算術(shù)運(yùn)算復(fù)雜多樣，而且是因?yàn)槟：龜?shù)自身結(jié)構(gòu)缺乏一個(gè)統(tǒng)一的指標(biāo)準(zhǔn)則.本文將通過(guò)引入折線模糊數(shù)作為衡量模糊數(shù)的指標(biāo)排序準(zhǔn)則，并系統(tǒng)討論了折線模糊數(shù)與其有序表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而基于重心定位坐標(biāo)提出折線模糊數(shù)的指標(biāo)排序準(zhǔn)則及其排序方法.

1 折線模糊數(shù)

由于一般模糊數(shù)不能簡(jiǎn)單地進(jìn)行線性運(yùn)算，且只能依賴于頗為復(fù)雜的Zadeh擴(kuò)展原理進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，這給模糊數(shù)的應(yīng)用帶來(lái)了許多不便.為克服這些不足，文獻(xiàn)[1]率先引入折線模糊數(shù)概念.

本文一律用Rn表示n維歐式空間，N表示自然數(shù)集，R+表示正實(shí)數(shù)集，F(xiàn)0(R)表示R上全體普通模糊數(shù)構(gòu)成的集合.

圖1 n-折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖像

圖2 模糊數(shù)與等距分片后n-折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖像

事實(shí)上，引入折線模糊數(shù)的重要意義遠(yuǎn)不止于此，重要的是其對(duì)每個(gè)普通模糊數(shù)都可依據(jù)不同n值截取一個(gè)n-折線模糊數(shù)，換言之，一般模糊數(shù)可用n-折線模糊數(shù)來(lái)逼近或近似表示，見圖2.

依圖2不難看出，對(duì)給定模糊數(shù)來(lái)說(shuō)，其對(duì)應(yīng)折線模糊數(shù)主要依賴于n值的選取.n值越大所得分片和結(jié)點(diǎn)越多，該折線模糊數(shù)逼近所給模糊數(shù)的能力就越強(qiáng)，但其復(fù)雜程度也隨之加大.

2 折線模糊數(shù)的有序表示

事實(shí)上，若給定一個(gè)折線模糊數(shù)的解析表達(dá)式，不僅n值可確定，而且其有序表示也可確定.反之，若給定2n+2個(gè)有序?qū)崝?shù)(有序表示)，也可唯一確定折線模糊數(shù)的解析表達(dá)式.下面將通過(guò)實(shí)例來(lái)進(jìn)一步討論折線模糊數(shù)與其有序表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

圖3 有序表示所對(duì)應(yīng)的3-折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖像

此外，由于所給有序表示中含有8個(gè)有序?qū)崝?shù)，故令2n+2=8，解之n=3.這意味著在y軸的閉區(qū)間[0，1]上插入兩個(gè)分點(diǎn)λ1=1/3，λ2=2/3.此時(shí)，待求3-折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)與水平直線y=1/3和y=2/3的交點(diǎn)(結(jié)點(diǎn))坐標(biāo)為(-4，0)，(-3，1/3)，(0，2/3)，(1，1)，(2，1)，(4，2/3)，(5，1/3)，(7，0).

在平面坐標(biāo)系內(nèi)確定上述8個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的位置，然后用直線段依次連接相鄰結(jié)點(diǎn)，即可獲得所求3-折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖像，見圖3.

上述兩個(gè)實(shí)例說(shuō)明了一個(gè)n-折線模糊數(shù)與其有序表示是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

3 重心定位

由于折線模糊數(shù)是由若干小梯形疊加而成，且每個(gè)小梯形除了自身高度相同外其余部分均有所不同，參見圖1—3.實(shí)際上，文獻(xiàn)[8-9]雖然給出每個(gè)梯形模糊數(shù)的中心坐標(biāo)確定方法，但該方法具有一定局限性，況且若將圖1中所有小梯形疊加后其重心坐標(biāo)該如何確定又是一個(gè)新問題.

(1)

(2)

4 排序準(zhǔn)則

通常情況下重心坐標(biāo)在三角形或梯形模糊數(shù)的排序中扮演著重要角色，但這些方法都具有一定的局限性和不同程度缺陷.例如，Cheng[6]提出三角形模糊數(shù)排序指標(biāo)公式，但該公式對(duì)重心相同的三角模糊數(shù)卻無(wú)法排序;Chu等[7]雖提出改進(jìn)的排序指標(biāo)公式，并且克服了Cheng的缺陷，但它又導(dǎo)致橫向和縱向重心坐標(biāo)乘積相等的三角模糊數(shù)無(wú)法排序;文獻(xiàn)[8]綜合采用Cheng和Chu的平均值給出新的排序指標(biāo)公式，但仍有時(shí)陷入Chu的缺陷;文獻(xiàn)[10]通過(guò)引入平均模糊集概念重新提出了指標(biāo)排序公式，該公式雖然基本克服了上述缺陷，但涉及復(fù)雜的定積分計(jì)算，嚴(yán)重影響了排序的效率.實(shí)際上，通常人們只是注重對(duì)排序指標(biāo)公式的改進(jìn)，而忽略對(duì)重心坐標(biāo)的修改，本節(jié)將在上述提出重心定位公式(1)—(2)的基礎(chǔ)上，依據(jù)文獻(xiàn)[9]的排序指標(biāo)給出折線模糊數(shù)的排序公式.

(3)

顯然，序關(guān)系“>”滿足傳遞性、獨(dú)立性和完全性，故該排序指標(biāo)準(zhǔn)則對(duì)于多個(gè)折線模糊數(shù)排序仍然適用，這些結(jié)果可從后邊的實(shí)例中明顯看出.

需要進(jìn)一步說(shuō)明的是，上述排序準(zhǔn)則僅限折線模糊數(shù)的有序表示在同一個(gè)n值情況下使用.否則，若所取n值不同，會(huì)導(dǎo)致重心坐標(biāo)乃至所有指標(biāo)都發(fā)生改變.事實(shí)上，待將來(lái)進(jìn)一步研究模糊數(shù)的排序問題時(shí)，固然都是選取同一個(gè)n值來(lái)進(jìn)行等距分片.

5 實(shí)例分析

下面通過(guò)給定一組折線模糊數(shù)的有序表示，按照上述排序指標(biāo)公式和排序準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行具體排序.這里為簡(jiǎn)便起見，不妨選取n值為3.

按照定義1及其有序表示，不難將這4個(gè)3-折線模糊數(shù)放置圖4中.

圖4 例3中4個(gè)3-折線模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖像

現(xiàn)按公式(1)—(2)計(jì)算橫向重心坐標(biāo)和縱向重心坐標(biāo)分別為：

同理，也可計(jì)算出其他橫向和縱向重心坐標(biāo)分別為：

將此重心坐標(biāo)代入排序指標(biāo)公式(3)得

從例1中不難看出，若給定一組折線模糊數(shù)的有序表示(限定固定n值)，可先依公式(1)—(2)分別計(jì)算每個(gè)有序表示的橫向和縱向重心坐標(biāo)，進(jìn)而按照公式(3)即可獲得排序指標(biāo)K(·)的確切值.

6 結(jié)論

折線模糊數(shù)是一個(gè)比較新的概念，它的提出起源于一般模糊數(shù)的算術(shù)運(yùn)算.正因如此，折線模糊數(shù)的一些優(yōu)良性質(zhì)自然還要回歸于模糊數(shù)的應(yīng)用.本文首次針對(duì)折線模糊數(shù)提出有序表示、橫向重心坐標(biāo)和縱向重心坐標(biāo)等重要概念，并給出重心平均排序指標(biāo)和指標(biāo)排序準(zhǔn)則步驟.最后，通過(guò)實(shí)例給出一組3-折線模糊數(shù)的排序方法.事實(shí)上，任何一個(gè)普通模糊數(shù)都可用一組折線模糊數(shù)來(lái)逼近或近似表示，因此折線模糊數(shù)排序的意義遠(yuǎn)不在于其自身，更重要的是它為一般模糊數(shù)的排序搭建了一個(gè)橋梁!當(dāng)然，對(duì)一般模糊數(shù)的排序也是下一步將要重點(diǎn)探討的問題.

[1] 劉普寅.一種新的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其逼近性能[J].中國(guó)科學(xué)(E輯)，2002，32(1):76-86.

[2] LIU P Y，LI H X.Symmetric polygonal fuzzy number space [J].Journal of Fuzzy Mathematics，2007，15(1):27-42.

[4] 王貴君，李曉萍.K-積分模意義下折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛逼近性[J].中國(guó)科學(xué)(信息科學(xué))，2012，42(3):362-378.

[5] 李丹，孫剛，王貴君.一類三層前向折線模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，44(3):55-59.

[6] CHENG C H.A new approach for ranking fuzzy numbers by distance method [J].Fuzzy Sets and Systems，1998，95：307-317.

[7] CHU T C，TSAO C T.Ranking fuzzy numbers with an area between the centroid points and original point [J].Computers and Mathematics with Applications，2002，43：111-117.

[8] WANG Y M，YANY J B，XU D L，et al.On the centroids of fuzzy numbers [J].Fuzzy Sets and Systems，2006，157：919-926.

[9] 趙娟，劉瓊蓀.一種基于模糊數(shù)中心的模糊數(shù)排序方法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22(2):142-146.

[10] 王秀榮，張俊容.一種新的模糊數(shù)排序方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012，8：78-80.

[11] 王濤，李鍵，李井翠.模糊數(shù)的一種梯形模糊數(shù)的逼近方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010，17：31-33.

[12] 錢存華，張琳，戴檳，等.三角模糊數(shù)的加權(quán)平均及其在評(píng)價(jià)決策中的應(yīng)用[J].運(yùn)籌與管理，2005，14(2):5-9.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Centroid positioning of the polygonal fuzzy number and its ordering method

WANG Qin，LI Gui-chun

(School of Management，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China)

The definition of polygonal fuzzy number and its ordered expression are given and the corresponding relationship between polygonal fuzzy number and its ordered expression is discussed through two specific examples.The calculation formulas of the centroid positioning of polygonal fuzzy number and the criterion of the index ranking are put forward.The effectiveness of the ordering method of polygonal fuzzy numbers is verified through a practical example.

fuzzy number；polygonal fuzzy number；ordered expression；centroid coordinates；index ranking

1000-1832(2017)02-0025-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.006

2016-01-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374009).

王欽(1989—)，男，碩士，主要從事物流管理與決策分析研究；通信作者：李貴春(1964—)，男，博士，教授，主要從事物流管理、決策分析與供應(yīng)鏈研究.

O 159 [學(xué)科代碼] 110·74

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