多元求積公式在布朗片測度下的平均誤差

董彥琦，許貴橋

(天津師范大學數學科學學院，天津 300387)

多元求積公式在布朗片測度下的平均誤差

董彥琦，許貴橋

(天津師范大學數學科學學院，天津 300387)

討論了基于Chebyshev節點的多元Lagrange求積公式在布朗片測度下的平均誤差，得到了相應量的強漸近階.在多元情形下，構造性地建立了平均框架下有關數值求積公式的誤差分析，提出的算法更加簡單適用，且具有一定的收斂速度.

Chebyshev節點；布朗片測度；平均誤差；多元求積公式

1 預備知識

信息基復雜度是目前函數逼近論研究的熱點問題之一，其核心是研究信息基算子的構造和誤差.信息基算子是指利用目標函數的若干個已知信息(主要是函數在某些點的值，稱為標準信息)來構造問題的近似解.但在誤差估計中，由于目標函數除已知的若干個信息之外，其他信息均不明確，只能對目標函數作某些假設，然后根據此假設來探討算法的誤差.在平均框架下，假設目標函數為一個函數概率空間，算法的誤差為空間的個體元素逼近誤差的期望值.下面引入算法的平均誤差[1]定義.

假設F是定義在一個函數類上的線性賦范空間，G是一個范數為‖·‖的Banach空間，μ是定義在F的Borel子集上的概率測度.稱：F到G的可測映射S為解算子；F到Rn的一個可測映射N為信息算子；Rn到G的一個可測映射φ為算法.信息基算子逼近φ°N相應于測度μ的平均誤差定義為

(1)

數值問題的平均誤差分析起始于Suldin[2-3]，之后許多學者進行了大量研究，有關一元函數和多元函數的結果可見文獻[4-5].注意到多元積分逼近研究所用的方法大多是非確定性的，本文將利用基于第一類切比雪夫多項式零點的拉格朗日求積公式給出相應的多元張量積求積公式，并在布朗片測度下計算其平均誤差.

(2)

做基于T1，n的d元張量積求積公式，即對任意f∈C([-1，1]d)，

(3)

下面給出多維布朗片測度的概念.對F1={f∈C[-1，1]|f(-1)=0}賦予上確界范數，則(F1，‖·‖C)成為一個可分的Banach空間.把(F1，‖·‖C)上的Borel集記為B(F1)，B(F1)上的Wiener測度記為ω，由文獻[7]可知ω的協方差核為

記Fd為F1的d重張量積空間，由文獻[8]知Fd上的d維布朗片測度ρd的協方差核為：對任意x=(x1，…，xd)及y=(y1，…，yd)，有

(4)

2 主要結論及其證明

定理1 假設Sd(f)和Td，n(f)分別由(2)和(3)式定義，則

證明 由(1)―(3)式可知

(5)

其中

下面分別計算I1，I2，I3.對于I1，由Fubini定理及(4)式可得

(6)

(7)

由sinx=Im(eix)，cosx=Re(eix)及等比數列求和公式得

(9)

(10)

(11)

由(7)—(11)式可得

(12)

對于I3，由(4)式可得

(13)

簡單計算得

(14)

而由cosx=Re(eix)及等比數列求和公式得

(15)

由(13)—(15)式可得

(16)

由

可檢驗得

(17)

(18)

由(5)，(6)，(12)，(16)—(18)式可得

(19)

定理證畢.

注1 目前計算多元積分的常用方法是蒙特卡洛算法和平移格算法.同這些算法相比，本文的算法為一種確定性算法，計算過程簡單，而且有一定的收斂速度.特別地，當d=1時，由文獻[4]知本文的算法達到了最優逼近速度n-1.

[1] TRAUB J F，WASILKOWSKI G W，WOZNIAKOWSKI H.Information-based complexity[M].New York：Academic Press，1988：1142-1143.

[2] SULDIN A V.Wiener measure and its applications to approximation methods[J].Izv Vyssh Ucheb Zaved Mat，1959，13：145-158.

[3] SULDIN A V.Wiener measure and its applications to approximation methods[J].Izv Vyss Ucheb Zaved Mat，1960，18：165-179.

[4] KLAUS R.Average-case analysis of numerical problems[M].New York：Spring-Verlag，2000：11-225.

[5] NOVAK E，WOZNIAKOWSKI H.Tractability of multivariate problems：standard information for operator[M].Zurich：EMS，2012：99-558.

[6] RAINER K.Numerical Analysis[M].New York：Springer-Verlag，2003：72-238.

[7] XU G Q.The average errors for Lagrange interpolation on the Wiener space[J].Acta Math Sinica，2012，28：1581-1596.

[8] LIFSHITS M A.Lectures on Gaussian processes[M].New York：Springer，2012：18-117.

(責任編輯：李亞軍)

The average error of multivariate quadrature formulae on the Brownian sheet measure

DONG Yan-qi，XU Gui-qiao

(College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China)

The average errors of multivariate tensor product quadrature formulae based on the Chebyshev nodes on the Brownian sheet measure are studied and the corresponding stronger asymptotic order is obtained.In the past，the average error analysis of multivariate quadrature formula is non-constructive.But the algorithm of this paper is constructive，which is simpler and more applicable.At the same time，this algorithm has a certain convergence rate.

Chebyshev nodes；Brownian sheet measure；average error；multivariate quadrature formulae

1000-1832(2017)02-0030-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.007

2015-12-12

國家自然科學基金資助項目(11471043).

董彥琦(1993—)，女，碩士，主要從事函數逼近論研究；通信作者：許貴橋(1963—)，男，教授，主要從事函數逼近論研究.

O 174.41 [學科代碼] 110·4140

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