數學建模：賦予兒童數學學習自然生長的力量

焦世偉

所謂“數學建模”，是指在數學教與學中，運用數學的語言描述實際問題，用數學的思想、方法解決實際問題，進而將實際問題抽象成“數學模型”的過程。實施“數學建模”教學，不僅是引導兒童掌握數學知識的需要，而且是發展兒童數學思維、培養兒童數學眼光、形成兒童數學素養的需要。立足于“兒童立場”和“數學視野”，“數學建模”能夠賦予兒童數學學習自然生長的力量。

一、從問題出發，激發兒童的建模興趣

“問題”是數學的心臟，也是激發兒童數學思維的“起搏器”。數學教學中，教師要從數學問題出發，激發兒童數學建模的興趣。“數學模型”是現實問題被抽象化、形式化后的數學結構。教師要讓問題充滿內在的張力，將問題設置于兒童的“最近發展區”，通過問題召喚，引領兒童展開數學化思考。例如教學“確定位置”（蘇教版小學數學教材第10冊），教學中教師首先要找準新知的生長點，將新知嫁接到兒童的舊知上。在小學一年級，孩子們曾經將物體排一排，這是在一維空間上的確定位置。從一維導向二維，教師可以出示班級座位圖，讓學生表示出班長的位置，這是兒童現實生活中的問題，有一種內在的驅動力。于是有的孩子用文字表示，有的孩子用符號表示，有的孩子用圖形表示，等等。在不同的表征中，有的孩子先從左往右表示，有的孩子先從前往后表示，等等，由此出現了位置確定的表達混亂。為了統一，自然地生成了規定的表示方法，于是“數對”的概念自然創生，“用數對確定位置”的數學模型被自然建立。為了深化和拓展兒童模型化的數學思維，教師可由線而面、由面而體，將二維的平面圖導向三維的立體圖。通過出示立體的空間點子圖，有孩子自然地提出從長、寬、高三個維度用三個數形成“數對”表示點的位置。模型化數學思維的逐步培養，讓兒童形成了“用數學”的意識、方法和思想。兒童在解決實際問題的過程中形成了系統化的數學思維能力和綜合素養。

二、從經驗出發，豐富兒童的建模內容

兒童的數學建模建基于兒童的已有數學知識經驗和生活經驗。教學中，一方面，教師要發掘教材中的“模型因子”，善于尋找數學建模之“源”與“流”；另一方面，教師要讓數學的模型對接兒童的生活經驗，讓兒童善于從自己的已有經驗中找尋建模的主題內容，激發兒童數學創造的“場”。例如相同加數的和的簡便運算就是乘法的建模內容；單價、數量與總價，速度、時間與路程，工效、工時與工總等也是乘法的建模內容；溫度計的零上與零下、海平面以上和海平面以下等是正負數的建模內容；尋找數量間的相等關系是方程的建模內容；長方體、正方體、圓柱體的體積公式是直柱體體積公式的建模內容；堆放木頭的根數就是梯形面積的建模內容；整數加減法、小數加減法、分數加減法等是“計數單位相同才能相加減”的建模內容，分數乘整數、整數乘分數以及分數乘分數等是分數乘法的建模內容；“轉盤游戲”是統計與概率的建模內容，等等。不難看出，大部分數學知識內容本身就是一種數學模型。教學中，教師要引領兒童對實際問題進行簡約、抽象，展開數學知識的“再創造”。通過數學建模，讓兒童把握知識的來龍去脈、數學知識的本質，進而學會“數學地思維”，乃至“通過數學學習學會思維”。

三、從方法出發，展現兒童的建模過程

“數學建模”有“縱向建模”和“橫向建模”之分。所謂“縱向建模”是指從問題的簡單情形開始，逐步發現規律，進而用一種固定的模型表示出來。所謂“橫向建模”是指從對某一問題的不斷追問、舉一反三中將某一題型歸結為一個數學模型。在“數學建模”過程中可以采用比較法、圖像法和邏輯推理法等，讓兒童舍棄問題的非本質屬性，凸顯本質屬性，形成純數學結構。例如從長方形的面積公式模型可以推理出平行四邊形的面積公式模型，從平行四邊形的面積公式模型可以推理出三角形、梯形面積公式模型等。教學“圓的面積”，首先通過圓的內接正方形和外切正方形，得出圓面積大于半徑平方的2倍而小于半徑平方的4倍。在此基礎上，引導兒童展開猜想。于是他們有的猜想圓的面積可能是半徑平方的2倍多，有的猜想圓的面積可能是半徑平方的3倍多，究竟哪種猜想正確呢？接著筆者引導兒童通過剪切、拼合的方法將圓轉化成長方形、平行四邊形、三角形或梯形等，推出圓的面積是半徑平方的π倍。如此，孩子們洞悉了圓的面積和半徑平方的關系，感悟到“把圓等分成的份數越多，圓的面積就越接近于平行四邊形、長方形、三角形或梯形的面積”等的極限思想，建立了圓的面積的數學模型。由于兒童經歷了“圓的面積”數學模型的建構過程，因此他們的數學觀察、猜想、實驗和分析的能力得到了提升。

總之，要將“數學建模”融入數學課堂教學之中，讓兒童在不知不覺中發現問題、分析問題、解決問題，促進兒童數學知識的自主性建構和數學思想方法的內生性生長。

（作者單位：江蘇揚州市邗江區楊壽學校）